第1页（共 18页）一次函数动点问题1模型介绍：古希腊有一个著名的“ 将军饮马问题 ” ，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图 ，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图，作 B关于直线 l 的对称点 B ，连接 AB 与直线 l 交于点 C，点 C就是所求的位置请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答（1）理由：如图，在直线L上另取任一点 C ，连接 AC ，BC ，BC ，直线 l 是点 B，B 的对称轴，点 C，C 在 l 上CB=，C B=AC +CB=AC +CB =在AC B中， AB AC +C B，AC +CB AC +C B即 AC +CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用 “ 两点之间线段最短 ” ，即转化为 “ 三角形两边之和大于第三边” 的问题加以解决（其中C为 AB 与 l 的交点，即 A、C、B 三点共线）本问题可拓展为 “ 求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值” 问题的数学模型（2）模型应用如图 ，正方形 ABCD的边长为 2，E为 AB的中点， F是 AC上一动点求 EF +FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第2页（共 18页）于直线 AC对称，连结 ED交 AC于 F，则 EF +FB的最小值就是线段的长度， EF +FB的最小值是如图，一次函数y=2x+4 的图象与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，点 O 为坐标原点， 点 C与点 D 分别为线段 OA， AB的中点，点 P为 OB上一动点，求： PC +PD的最小值，并写出取得最小值时P点坐标名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第3页（共 18页）2已知一次函数图象经过点A（3，5）和点 B（4，9）两点，求此一次函数的解析式；若点（ a，2）在该函数的图象上，试求a 的值若此一次函数的图象与x 轴交点 C，点 P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合） ，设 POC的面积是 S，试求 S关于 m 的函数关系式3已知函数 y=kx+b 的图象经过点 A（4，3）且与一次函数 y=x+1 的图象平行，点 B（2，m）在一次函数 y=kx+b 的图象上（1）求此一次函数的表达式和m 的值？（2）若在 x轴上有一动点 P（x，0） ，到定点 A（4，3） 、B（2，m）的距离分别为 PA和 PB ，当点 P的横坐标为多少时， PA+PB的值最小名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第4页（共 18页）4已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点 P为该一次函数图象上一动点，且点A 为该函数图象与 x 轴的交点，若 SOAP=2，求点 P的坐标名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第5页（共 18页）5阅读下面的材料：在平面几何中， 我们学过两条直线平行的定义 下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k10）的图象为直线 l1，一次函数 y=k2x+b2（k20）的图象为直线l2，若 k1=k2，且 b1b2，我们就称直线 l1与直线 l2互相平行解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=x的图象为直线 l1，求过点 P（1，3）且与已知直线 l1平行的直线 l2的函数表达式；（2）设直线 l2分别与 y 轴、x 轴交于点 A、B，求 l1和 l2两平行线之间的距离；（3）若 Q 为 OA上一动点，求 QP+QB的最小值时 Q点的坐标为（4）在 x 轴上找一点 M，使 BMP为等腰三角形，求M 的坐标 （直接写出答案）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第6页（共 18页）6阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数 y=k1x+b1（k10）的直线为 l1，一次函数 y=k2x+b2（k20）的图象为直线 l2若 k1?k2=1，我们就称直线l1与直线 l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线 l 与直线 y=x1 互相垂直，且直线l 的图象过点 P（1，4） ，且直线 l 分别与 y 轴、x 轴交于 A、B两点（1）求直线 l 的函数表达式；（2）若点 C是线段 AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点 Q 是 AO上的一动点，求 BPQ周长的最小值，并求出此时点Q 的坐标；（4）在（ 3）的条件下，若点P关于 BQ的对称点为 P ，请求出四边形ABOP 的面积名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第7页（共 18页）一次函数动点问题参考答案与试题解析一解答题（共6 小题）1模型介绍：古希腊有一个著名的“ 将军饮马问题 ” ，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图 ，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图，作 B关于直线 l 的对称点 B ，连接 AB 与直线 l 交于点 C，点 C就是所求的位置请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答（1）理由：如图，在直线L上另取任一点 C ，连接 AC ，BC ，BC ，直线 l 是点 B，B 的对称轴，点 C，C 在 l 上CB= CB，C B=CBAC +CB=AC +CB = AB在AC B中， AB AC +C B，AC +CB AC +C B即 AC +CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用 “ 两点之间线段最短 ” ，即转化为 “ 三角形两边之和大于第三边” 的问题加以解决（其中C为 AB 与 l 的交点，即 A、C、B 三点共线）本问题可拓展为 “ 求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值” 问题的数学模型名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第8页（共 18页）（2）模型应用如图 ，正方形 ABCD的边长为 2，E为 AB的中点， F是 AC上一动点求 EF +FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关于直线 AC对称，连结 ED交 AC于 F，则 EF +FB的最小值就是线段DE的长度，EF +FB的最小值是如图，已知 O 的直径 CD为 4，AOD的度数为 60 ，点 B 是的中点，在直径 CD上找一点 P，使 BP +AP的值最小，则 BP +AP的最小值是2；如图，一次函数y=2x+4 的图象与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，点 O 为坐标原点， 点 C与点 D 分别为线段 OA， AB的中点，点 P为 OB上一动点，求： PC +PD的最小值，并写出取得最小值时P点坐标【解答】解： （1）理由：如图，在直线 L上另取任一点 C ，连接 AC ，BC ，BC ，直线 l 是点 B，B 的对称轴，点 C，C 在 l 上CB=CB ，C B=CBAC +CB=AC +CB =AB在AC B中， AB AC +C B，AC +CB AC +C B即 AC +CB最小故答案为： CB，CB，AB；（2）模型应用解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关于直线 AC对称，连结 ED交 AC于 F则 EF +FB的最小值就是线段DE的长度， EF +FB的最小值是名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第9页（共 18页）在正方形 ABCD中，AB=AD=2 ，BAD=90 点 E是 AB中点，AE=1 ，根据勾股定理得， DE=，即：EF +FB的最小值，故答案为： DE ，；如图，由圆的对称性可知， A 与 A关于直径 CD对称，连结 AB交 CD于 F，则 AE +EB的最小值就是线 ABE的长度，AOD= AOD=60 点 B是的中点，AOB= BOD= AOD=30 ，AOB=90 O的直径为 4，OA=OA=OB=2 ，在 RtAOB中，AB=2，BP +AP的最小值是 2故答案为 2，如图，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第10页（共 18页）由平面坐标系中的对称性可知，C与 C关于直径 y 轴对称，连结 CD交 y 轴于 P，则 PC +PD的最小值就是线CD的长度，一次函数 y=2x+4 的图象与 x，y 轴分别交于 A，B两点，A（2，0） ，B（0，4） ，C （1，0） ，D（1，2） ，C与 C关于直径 y 轴对称，C（1，0） ，CD=2，PC +PD的最小值为 2，C（1，0） ，D（1，2） ，直线 CD的解析式为 y=x+1，P（0，1） 2已知一次函数图象经过点A（3，5）和点 B（4，9）两点，求此一次函数的解析式；若点（ a，2）在该函数的图象上，试求a 的值若此一次函数的图象与x 轴交点 C，点 P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合） ，设 POC的面积是 S，试求 S关于 m 的函数关系式【解答】 解：设一次函数解析式为y=kx+b，依题意，得，解得，一次函数解析式为y=2x1；将点（ a，2）代入 y=2x1 中，得 2a1=2，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第11页（共 18页）解得 a=；由 y=2x1，令 y=0得 x= ，C （，0） ，又点 P（m，n）在直线 y=2x1 上，n=2m1，S= | n| = | （2m1）| =|m| 3已知函数 y=kx+b 的图象经过点 A（4，3）且与一次函数 y=x+1 的图象平行，点 B（2，m）在一次函数 y=kx+b 的图象上（1）求此一次函数的表达式和m 的值？（2）若在 x轴上有一动点 P（x，0） ，到定点 A（4，3） 、B（2，m）的距离分别为 PA和 PB ，当点 P的横坐标为多少时， PA+PB的值最小【解答】 解： （1）函数 y=kx+b 的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，解得：，一次函数的表达式为y=x1当 x=2时，m=x1=21=1，m 的值为 1（2） 作点 B关于 x 轴的对称点 B ， 连接 AB 交 x 轴于点 P， 此时 PA +PB取最小值，如图所示点 B的坐标为（ 2，1） ，点 B 的坐标为（ 2，1） 设直线 AB 的表达式为 y=ax+c，将（2，1） 、 （4，3）代入 y=ax+c，解得：，直线 AB 的表达式为 y=2x5当 y=0时，2x5=0，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第12页（共 18页）解得： x=，当点 P的横坐标为时，PA +PB的值最小4已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点 P为该一次函数图象上一动点，且点A 为该函数图象与 x 轴的交点，若 SOAP=2，求点 P的坐标【解答】 解： （1）设一次函数解析式为y=kx+b，把（ 2，3） 、 （2，1）分别代入得，解得，所以一次函数解析式为y=x+1；（2）当 y=0时， x+1=0，解得 x=1，则 A（1，0） ，设 P（t，t+1） ，因为 SOAP=2，所以1| t+1| =2，解得 t=3 或 t=5，所以 P点坐标为（ 3，4）或（ 5，4） 5阅读下面的材料：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第13页（共 18页）在平面几何中， 我们学过两条直线平行的定义 下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k10）的图象为直线 l1，一次函数 y=k2x+b2（k20）的图象为直线l2，若 k1=k2，且 b1b2，我们就称直线 l1与直线 l2互相平行解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=x的图象为直线 l1，求过点 P（1，3）且与已知直线 l1平行的直线 l2的函数表达式；（2）设直线 l2分别与 y 轴、x 轴交于点 A、B，求 l1和 l2两平行线之间的距离；（3） 若 Q 为 OA上一动点，求 QP +QB的最小值时 Q 点的坐标为Q （0，）（4）在 x 轴上找一点 M，使 BMP为等腰三角形，求M 的坐标 （直接写出答案）【解答】 解： （1）根据正比例函数y=x 的图象为直线 l1，设直线 l2的函数表达式为 y=x+b，把 P（1，3）代入得： 3=1+b，即 b=4，则过点 P（1，3）且与已知直线 l1平行的直线 l2的函数表达式为y=x+4；（2）过 O 作 ONAB，如图 1 所示， ON为 l1和 l2两平行线之间的距离，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第14页（共 18页）对于直线 y=x+4，令 x=0，得到 y=4；令 y=0，得到 x=4，A（0，4） ，B（4，0） ，即 OA=OB=4 ，ABC为等腰直角三角形，AB=4，且 ON为斜边上的中线，ON= AB=2，则 l1和 l2两平行线之间的距离为2；（3）找出 B关于 y 轴的对称点 B （4，0） ，连接 PB ，与 y 轴交于点 Q，连接PQ，此时 QP +QB最小，设直线 BP 的解析式为 y=mx+n，把 B 和 P坐标代入得：，解得： m=，n=，直线 BP 的解析式为 y=x+，令 x=0，得到 y=，即 Q（0，） ；故答案为： Q（0，） ；（4）如图 2 所示，分三种情况考虑：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第15页（共 18页）当 PM1=PB时，由对称性得到M1（2，0） ；当 PM2=BM2时，M2为线段 PB垂直平分线与 x 轴的交点，直线 PB的解析式为 y=x+4，且线段 PB中点坐标为（ 2.5，1.5） ，线段 PB垂直平分线解析式为y1.5=x2.5，即 y=x1，令 y=0，得到 x=1，即 M2（1，0） ；当 PB=M3B=3时，OM3=OB+BM3=4+3，此时 M3（43，0） ，M3（4+3，0） 综上， M 的坐标为（ 2，0）或（ 1，0）或（ 43，0）或（ 4+3，0） 6阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数 y=k1x+b1（k10）的直线为 l1，一次函数 y=k2x+b2（k20）的图象为直线 l2若 k1?k2=1，我们就称直线l1与直线 l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线 l 与直线 y=x1 互相垂直，且直线l 的图象过点 P（1，4） ，且直线 l 分别与 y 轴、x 轴交于 A、B两点（1）求直线 l 的函数表达式；（2）若点 C是线段 AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点 Q 是 AO上的一动点，求 BPQ周长的最小值，并求出此时点Q 的坐标；（4）在（ 3）的条件下，若点P关于 BQ的对称点为 P ，请求出四边形ABOP 的面积名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第16页（共 18页）【解答】 解：（1）设直线 l 的解析式为 y=kx+b，直线 l 与直线 y=x1 互相垂直，k=1，解得 k=2，直线 l 的图象过点 P（1，4） ，k+b=4，即 2+b=4，解得 b=6，直线 l 的解析式为 y=2x+6；（2）如图 1，过 O作 OC AB于点 C，此时线段 OC的长度最小，在 y=2x+6 中，令 x=0 可得 y=6，令 y=0 可求得 x=3，A（0，6） ，B（3，0） ，OA=6，OB=3AB=3，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第17页（共 18页）AB?OC= OA?OB ，3OC=3 6，OC=，即线段 OC长度的最小值为；（3）如图 2，作点 P关于 y 轴的对称点 P ，连接 BP 交 y 轴于点 Q，过 P 作 PGx 轴于点 G，则 PQ=P Q，PQ +BQ=BQ +QP ，点 B、Q、P 三点在一条线上，BQ +PQ最小，P（1，4） ，P （1，4） ，PG=4 ，OG=1 ，BG=BO +OG=4=P G ，OBQ=45 ，BP =4 ，OQ=BO=3 ，Q点坐标为（ 0，3） ，又 BP=2，此时 BPQ的周长 =BP +BP =4 +2；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第18页（共 18页）（4）由（ 3）可知 OBQ= OQB=45 ，PQA= PQA=45 ，PQ BQ，如图 3，延长 PQ到点 P ，使 PQ=P Q ，则 P 即为点 P关于 BQ的对称点，过 P 作PH y 轴于点 H，由（3）可知 PQ=QP=，QH=HP=1 ，OH=OQ QH=31=2，S四边形ABOP =SAOB+SAOP =63+61=12，即四边形 ABOP 的面积为 12名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -