深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院zwjszu.edu.cn主讲：张文俊主讲：张文俊数学欣赏数学欣赏数学欣赏A数学概览数学概览主讲：张文俊主讲：张文俊深圳大学数学学院2006年9月A Survey on MathematicsIn this Chapter数学及其发展数学及其发展1数学的价值数学的价值2SZUSZU 第一节第一节 数学及其发展数学及其发展zwjszu.edu.cn数学数学是什么是什么 数学分数学分支发展支发展数学的数学的分类分类 主要主要内容内容数学发数学发展轨迹展轨迹 zwjszu.edu.cn地王大厦有多高？ zwjszu.edu.cn地王大厦有多高？ v文学家文学家：巍然屹立、高大宏伟、高耸入云：巍然屹立、高大宏伟、高耸入云v物理学家物理学家：拿根绳子去量一量：拿根绳子去量一量v数学家数学家：类类比比：选选取取标标尺尺，然然后后利利用用标标尺尺与与大大厦厦投投影影的的长长度度及及相相似似原原理理，准准确确地地测测量量出出大大厦厦的高度；的高度；转转化化：利利用用直直角角三三角角形形直直角角边边长长与与其其对对角角的的依依赖赖关关系系，把把大大厦厦高高度度的的测测量量转转化化为为对对仰视角的测量。仰视角的测量。 zwjszu.edu.cn名人语录 任何一门科学，只有当它用到数学时，才能任何一门科学，只有当它用到数学时，才能得到真正完善的发展。得到真正完善的发展。 Karl Marx 数学是打开科学大门的钥匙。数学是打开科学大门的钥匙。 Rogen Bacon 数学是我们时代有势力的科学，它不声不响数学是我们时代有势力的科学，它不声不响地扩大它所征服的领域；那种不用数学为自己服务的地扩大它所征服的领域；那种不用数学为自己服务的人将会发现数学被别人用来反对他自己。人将会发现数学被别人用来反对他自己。 J. F. Herbartzwjszu.edu.cn深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院zwjszu.edu.cn数学的数学的是什么？是什么？1 1一、数学是什么 ？ v19世纪时由恩格斯给出的定义世纪时由恩格斯给出的定义 数数学学是是研研究究现现实实世世界界的的数数量量关关系系和和空空间间形形式（简称：数与形）的科学式（简称：数与形）的科学 按照恩格斯所说，按照恩格斯所说， 数数与与形形是是数数学学的的两两大大基基本本柱柱石石之之一一。整整个个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。数学都是由此提炼、演变与发展起来的。zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ 代代数数数数量量关关系系的的科科学学，有有序序思思维维占占主主导导，培养计算与逻辑思维能力培养计算与逻辑思维能力；几几何何空空间间形形式式的的科科学学，视视觉觉思思维维占占主主导导，培养直觉能力和洞察力培养直觉能力和洞察力；分分析析数数形形关关系系的的科科学学，量量变变关关系系占占主主导导，函函数数为为对对象象、极极限限为为工工具具，培培养养周周密的逻辑思维能力和建模能力密的逻辑思维能力和建模能力。zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ v20世纪初的定义世纪初的定义 数学是研究模式与秩序的科学数学是研究模式与秩序的科学 数数学学研研究究的的基基本本对对象象是是各各种种各各样样的的集集合合以以及在它们上面赋予的各种结构。及在它们上面赋予的各种结构。zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ 数学中基本的集合包括：数学中基本的集合包括：各种数的集合；各种数的集合；各类图形；各类图形；各类函数；各类函数；各种空间；各种空间；一般的抽象集合等一般的抽象集合等zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ 数学中的基本结构有三种：数学中的基本结构有三种：代代数数结结构构（反反映映“合合作作”关关系系的的各各种种运运算算及其算律）及其算律）; ;顺顺序序结结构构（反反映映对对比比关关系系的的大大小小、先先后后，反映隶属关系的蕴涵）反映隶属关系的蕴涵）; ;拓拓扑扑结结构构（反反映映亲亲疏疏程程度度与与规规模模大大小小的的距距离）。离）。 zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？数学之比喻数学之比喻 数学像游戏，离不开数学像游戏，离不开道具和规则。道具和规则。 数学中，各种集合是数学中，各种集合是道具，而在各种集合上赋道具，而在各种集合上赋予的各种结构是规则。予的各种结构是规则。zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？数学之比喻数学之比喻 数学像演戏，离不开数学像演戏，离不开演员和剧本。演员和剧本。 数学中，各种集合是数学中，各种集合是演员，演员被分配了角色演员，演员被分配了角色才能演戏。才能演戏。zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ 比如：实数集实数集就是数学的一种道具，就是数学的一种道具，要在其上赋予要在其上赋予代数结构、序结构代数结构、序结构、拓扑结构，拓扑结构，才能展开数学理论。才能展开数学理论。zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ 集集合合与与结结构构的的建建立立与与组组合合有有其其特特有有的的原原则则和和方方法法，这这体现为体现为数学的独特思考方式数学的独特思考方式。这些方式包括：。这些方式包括：模型化模型化最优化最优化公理化公理化抽象化抽象化符号化符号化类比类比化归化归分类分类zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ 这这些些是是数数学学体体系系的的特特征征，也也是是数数学学能能力力的体现。它们保证了的体现。它们保证了p数学体系的简洁性与严谨性数学体系的简洁性与严谨性p数学结论的可靠性与普适性数学结论的可靠性与普适性p数学方法的有效性与便利性数学方法的有效性与便利性p数学思想的科学性与深刻性数学思想的科学性与深刻性 zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ 分分类类研研究究是是数数学学研研究究中中的的重重要要思思想想，比比如如，数数学学中中许许多多对对象象是是通通过过定定义义引引入入的的，这这种种“定定义义”的的方方法法，本本质质上上是是对对事事物物进进行行分分类类的的手手段段，它它把把符符合合某某种种性性质质的的事事物物划划为为一一类类，深深入入研研究究其其基基本本性性质。质。 zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ 化化归归方方法法是是数数学学中中的的重重要要方方法法。这这一一方方面面表表现现在在处处理理数数学学问问题题的的过过程程中中，将将复复杂杂对对象象或或陌陌生生对对象象化化归归为为更更熟熟悉悉的的简简单单对对象象；另另一一方方面面也也表表现现在在数数学学的的结结论论中中，数数学学中中许许多多结结论论都都表表现现为为对对一一种种数数学学对对象象的的多多个个等等价价刻刻画画，数数学学中中的的“充充分分必必要要条条件件”是是描描述述这这一一现现象象的的典典型型语语句句，它它本本质质上上也也是是对对数数学学对对象象性性质质的化归。的化归。zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ 类类比比方方法法也也在在数数学学中中扮扮演演着着极极为为重重要要的的角角色色，许许多多陌陌生生对对象象的的性性质质和和研研究究方法都来自于数学家的类比思想。方法都来自于数学家的类比思想。zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ 抽抽象象化化与与符符号号化化是是数数学学的的重重要要特特征征，它它使使得得数数学学概概念念脱脱离离了了事事物物的的物物质质属属性性，形形式式简简洁洁、内内涵涵丰丰富富、应应用用广广泛。泛。zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ 公公理理化化方方法法使使数数学学丰丰富富的的理理论论建建立立在在最最简简单单明明了了的的、不不容容怀怀疑疑的的事事实实基基础础之之上上，容容易易明明辨辨是是非非。比比如如，几几何何学学的的正正确确性性归归结结于于诸诸如如“等等量量加加等等量量，总总量量仍仍相相等等”等等公公理理体体系系的的正正确确性性。公公理理化化方方法法也也是是数数学学逻逻辑辑严严密密性性的的一一种种表表现现。在在人人类类的的每每一一个个认认识识领领域域，当当经经验验知知识识积积累累到到相相当当数数量量时时，就就需需要要进进行行综综合合、整整理理，使使之之条条理理化化、系系列列化化，从从而而形形成成新新的的概概念念理理论论以以更更新新系系统统，以以实实现现认认识识从从感感性性阶阶段段到到理理性性阶阶段段的的飞飞跃跃。从从理理性性认认识识的的初初级级水水平平发发展展到到高高级级水水平平，又又表表现现为为抽抽象象程程度更高的公理化体系。度更高的公理化体系。zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ 最优化最优化是数学追求的目标之一是数学追求的目标之一；模模型型化化是是人人类类将将实实际际问问题题转转化化为为数数学学问问题题的的重要手段；重要手段； 二二者者都都为为人人类类圆圆满满地地解解决决实实际际问问题题发挥了重要作用。发挥了重要作用。 zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ v新世纪人们对数学的新认识：新世纪人们对数学的新认识： “方法方法”或或“工具工具” “思维思维” “数数学思维学思维”； “学学科科” “文文化化” “数数学文化学文化”； “知知识识” “素素质质” “数数学素质学素质”。 zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ “数数学学思思维维”是是一一种种能能够够通通过过分分析析、类类比比等等方方法法从从众众多多的的事事物物现现象象中中归归纳纳出出其其共共性性和和本本质质性性的的抽抽象象性性思思维维，一一种种能能够够从从已已知知事事理理中中推推知知未未知知事事理理的的逻逻辑辑性性思思维维，一一种种敢敢于于突突破破常常规规、勇勇于于创创新新的的创创造造性性思思维维，一一种种用用数数学学方方法法模模拟拟与与验验证证现现实实世界的模式化思维。世界的模式化思维。zwjszu.edu.cn一、数学是什么 ？ “数数学学文文化化”是是现现代代科科技技文文化化的的核核心心，是是现现代代科科技技的的形形式式语语言言，是是理理性性主主义义观观念。念。“数数学学素素质质”则则是是具具有有“数数学学思思维维”能能力力和和运运用用数数学学思思想想方方法法解解决决实实际际问问题题的的能力的一种特殊素质。能力的一种特殊素质。zwjszu.edu.cn深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院zwjszu.edu.cn数学的数学的分类分类2 2二、数学的分类 v从纵向划分：从纵向划分： 初等数学和古代数学；初等数学和古代数学；变量数学；变量数学；近代数学；近代数学；现代数学。现代数学。zwjszu.edu.cn二、数学的分类 初等数学和古代数学初等数学和古代数学：古希腊时期建立的欧古希腊时期建立的欧氏氏几何学几何学；古古代代中中国国、古古印印度度和和古古巴巴比比伦伦时时期期建建立立的的算术算术；欧洲文艺复兴时期发展起来的欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程代数方程等。等。 初等数学又叫初等数学又叫常数数学常数数学。zwjszu.edu.cn二、数学的分类 变变量量数数学学：是是指指17-1917-19世世纪纪初初建建立立与与发展的数学。发展的数学。起点：解析几何；标志：微积分（数学分析）；特点：数形结合，引入了变量，可以研究运动。zwjszu.edu.cn二、数学的分类 近代数学近代数学：是指：是指1919世纪的数学。世纪的数学。主要特征：分析的严密化;代数的抽象化;几何的非欧化。zwjszu.edu.cn二、数学的分类 现代数学现代数学：是指：是指2020世纪的数学。世纪的数学。起点：1900年Hilbert提出的23个未解决的数学问题；特点：学科分支增多，交叉增强(如：代数拓扑、微分拓扑、代数几何等）；基础：Cantor的集合论。 zwjszu.edu.cn二、数学的分类 v现代数学的三大趋势：交错发展、高度综合、逐步走向统一的趋势；交错发展、高度综合、逐步走向统一的趋势；边缘、综合、交叉学科与日俱增的趋势；边缘、综合、交叉学科与日俱增的趋势；数学表现形式、对象和方法日益抽象化的趋势。数学表现形式、对象和方法日益抽象化的趋势。zwjszu.edu.cn二、数学的分类 v现代数学的六大特征：从单变量到多变量，从低维到高维；从单变量到多变量，从低维到高维；从线性到非线性；从线性到非线性；从局部到整体，从简单到复杂；从局部到整体，从简单到复杂；从连续到间断，从稳定到分岔；从连续到间断，从稳定到分岔；从精确到模糊；从精确到模糊；计算机的应用。计算机的应用。zwjszu.edu.cn二、数学的分类 v从横向划分：从横向划分： o基础数学（理论、纯粹数学）（代数、几何、分析，三大分支）o应用数学o计算数学o概率统计o运筹与控制论 zwjszu.edu.cn二、数学的分类 做出以上的分类方法是按照中国几十年的惯例进行的。耶鲁大学计算机科学教授拉斯兹洛（Lszl Lovsz）在ICM98上载文“只有一个数学不存在划分数学的自然方法”，从数学的三个新趋势：规模的扩大、应用领域的扩大、计算机工具的介入，说明试图寻找对数学的科学分类是徒劳的。比如，他说：zwjszu.edu.cn二、数学的分类 没有一个领域能够退回到它的象牙塔里而对应用关上大门；也没有一个领域可以宣称自己是应用数学。zwjszu.edu.cn深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院zwjszu.edu.cn数学分支发展概观数学分支发展概观3 3三、数学分支发展概观按按照照恩恩格格斯斯关关于于数数学学研研究究对对象象的的论论述述，数数学学大大体体上上分分为为三三类类：代代数数学学、几几何何学学、分分析析学学。这这其其实实包包含含了了经经典典数数学学的的基基本本分分支。支。经经典典数数学学研研究究的的是是事事物物的的确确定定的的数数量量关关系系和和空空间间形形式式，康康托托的的经经典典集集合合论论是是其其理论基础。理论基础。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观然然而而，现现实实生生活活中中的的事事物物并并非非全全都都如如此此，它它们们既既有有确确定定性性现现象象，也也有有随随机机现现象象，还还有有模模糊糊现现象象，更更有有可可变变化化的的事事物物现现象象，因因此此相相应应地地就就产产生生了了研研究究随随机机现现象象的的随随机机数数学学，研研究究模模糊糊现象的模糊数学，研究可变现象的可拓数学。现象的模糊数学，研究可变现象的可拓数学。 zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观1 1 几何学通论几何学通论几几何何学学就就是是人人类类文文明明对对空空间间本本质质的的“认认识识论论”；宇宇宙宙中中的的所所有有事事物物皆皆存存在在于于其其中中、发发生生于于其其内内，并并永永远远受受着着空空间间本本质质的的制制约约与与孕孕育育；而而空空间间既既完完美美又又简简朴朴的的本本质质则则是是孕孕育育着着宇宇宙宙万万物物万万象象中中至至精精至至简简的的根根源源。几几何何学学的的目目的的就就是是去去研研究究、理理解解空空间间的的本本质质，它它是是我我们们认认识识大大自自然然、理理解解大大自自然然的的自自然然起起点点和和基基石石所所在在；也也是是整整个个自自然然科科学学的的启启蒙蒙者者和和奠奠基基者者；是是种种种种科科学学思思想想和方法论的自然发祥地。和方法论的自然发祥地。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观研研究究对对象象: :诸诸如如“几几何何物物体体”和和图图形形的的几几何何量，是空间形式的抽象化量，是空间形式的抽象化; ;研究内容研究内容: :各种几何量的关系与相互位置各种几何量的关系与相互位置; ;研究方法研究方法: :实验方法、思辨方法、解析方法实验方法、思辨方法、解析方法. .zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观欧几里得几何学欧几里得几何学在在承承认认某某些些自自明明的的公公理理的的前前提提下下，按按照照严严密密的的演演绎绎推推理理方方法法，一一层层一一层层地地建建立立起起来来的的一一套套系系统严密的几何学知识体系。统严密的几何学知识体系。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观解析几何解析几何1637年年，法法国国数数学学家家笛笛卡卡尔尔引引入入了了坐坐标标的的观观念念，实实现现了了数数形形结结合合，创创立立了了解解析析几几何何，使使得得人人们们可可以以用用代代数数方方法法研研究究几几何何问问题题，实实现现了了数数学学的的两两大大分分支支代代数数与与几几何何的的联系。联系。两两个个重重要要观观念念：点点、数数联联系系的的坐坐标标观观念念，曲线的方程表示观念。曲线的方程表示观念。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观向量几何向量几何也也叫叫向向量量代代数数，该该学学科科产产生生于于十十九九世世纪纪中中叶叶，是是由由德德国国数数学学家家哈哈密密尔尔顿顿（W. R. Hamilton ,18051865） 和和 格格 拉拉 斯斯 曼曼 （ H. G. Grassmann，18091877）等等创创立立的的。向向量量几几何何是是不不依依赖赖于于坐坐标标系系的的解解析析几几何何，是是坐坐标标几几何何的的返返璞璞归归真真和和精精益益求求精精，它它使使得得几几何何和和代代数数结结合合得得更更加加真真切切自自然然、直直截截了当。了当。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观分形几何分形几何分分形形几几何何的的概概念念是是美美籍籍法法国国数数学学家家曼曼德德尔尔布布罗罗特特（B.B.Mandelbrot）在在1975年年首首先先提提出出的的，被被誉誉为为大大自自然然的的几几何何学学。这这是是现现代代数数学学的的一一个个新新分分支支，其其本本质质是是一一种种新新的的世世界界观观和和方方法法论论。它它与与动动力力系系统统的的混混沌沌理理论论交交叉叉结结合合，相相辅辅相相成成；它它承承认认世世界界的的局局部部可可能能在在一一定定条条件件下下、一一定定过过程程中中、在在某某一一方方面面（形形态态，结结构构，信信息息，功功能能，时时间间，能能量量等等）表表现现出出与与整整体体的的相相似似性性；它它承承认认空空间间维维数数的的变变化化既既可可以以是是离离散散的的，也也可可以以是是连连续的。续的。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观2 代数学大观代数学大观代代数数学学是是研研究究数数的的科科学学，起起源源于于古古代代中中国国和和古古埃埃及及。早早期期的的代代数数学学其其实实是是研研究究数数的的运运算算的的，因因此此叫叫做做算算术术。“代代数数学学”一一词词源源自自于于拉拉丁丁文文algebra （公公元元12世世纪纪之之后后），但但它它又又是是从从阿阿 拉拉 伯伯 文文 “还还 原原 与与 对对 消消 ”（ al-jaber walmuqabala）（公公元元820年年左左右右）或或“方程的科学方程的科学”变化而来。变化而来。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观代数学的符号化代数学的符号化第第一一阶阶段段是是文文字字代代数数学学，其其主主要要标标志志是是，代代数数书书全部由文字表述。全部由文字表述。第第二二阶阶段段是是简简写写代代数数学学，其其主主要要标标志志是是，采采用用以以速记为目的的简写形式表示数量、关系与运算。速记为目的的简写形式表示数量、关系与运算。第第三三阶阶段段是是符符号号代代数数学学。法法国国数数学学家家韦韦达达（Viete, Francois. 15401603）对对代代数数学学符号化的发展作出了重要贡献。符号化的发展作出了重要贡献。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观初等代数学初等代数学初初等等代代数数是是代代数数学学的的古古典典部部分分，它它是是随随着着解解方方程程与与方方程程组组而而产产生生并并发发展展起起来来的的，是是研研究究数数字字和和文文字字的的代代数数运运算算理理论论和和方方法法的的科科学学，更更确确切切的的说说，是是研研究究实实数数和和复复数数，以以及及以以它它们们为为系系数数的的多多项项式式的的代代数数运运算算理理论和方法的数学分支学科。论和方法的数学分支学科。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观初初等等代代数数的的中中心心问问题题是是研研究究方方程程或或方方程程组组的的解解的的存存在在性性、解解的的个个数数、解解的的结结构构问问题题，因因而而长长期期以以来来都都把把代代数数学学理理解解成成方方程程的的科科学。学。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观初等代数的基本对象包括：初等代数的基本对象包括：三种数三种数有理数、无理数、复数；有理数、无理数、复数；三种式三种式整式、分式、根式。整式、分式、根式。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观初等代数的中心对象初等代数的中心对象方方程程整整式式方方程程、分分式式方方程程、根根式式方方程和方程组。程和方程组。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观初等代数的基本内容初等代数的基本内容代代数数式式的的运运算算和和方方程程的的求求解解，其其中中代代数数运算的特点是只进行有限次的运算。运算的特点是只进行有限次的运算。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观初等代数运算十条规则：初等代数运算十条规则：五五条条基基本本运运算算律律（加加法法交交换换律律、加加法法结结合合律律、乘乘法交换律、乘法结合律、分配律）；法交换律、乘法结合律、分配律）；两两条条等等式式基基本本性性质质（等等式式两两边边同同时时加加上上一一个个数数，等等式式不不变变；等等式式两两边边同同时时乘乘以以一一个个非非零零的的数数，等等式不变）；式不变）；三三条条指指数数律律（同同底底数数幂幂相相乘乘，底底数数不不变变指指数数相相加加；指指数数的的乘乘方方等等于于底底数数不不变变指指数数相相乘乘；积积的的乘乘方方等等于乘方的积）。于乘方的积）。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观高等代数学高等代数学高高等等代代数数是是代代数数学学发发展展到到高高级级阶阶段段的的总总称称，现现在在大大学学里里开开设设的的高高等等代代数数，一一般般包包括括两两部部分分：线性代数、多项式代数。线性代数、多项式代数。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观线线性性代代数数的的研研究究对对象象是是线线性性方方程程组组，研研究究内内容容是是线线性性方方程程组组解解的的存存在在性性、解解的的个个数数、解解的的结结构构问问题题，研研究究工工具具包包括括矩矩阵阵、行行列列式式等等。围围绕绕线线性性方方程程组组的的这这些些核核心心问问题题，线线性性代代数数不不仅仅要要研研究究数数，数数的的运运算算，还还有有矩矩阵阵、向向量量、向向量量空空间间的运算以及变换等。的运算以及变换等。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观多多项项式式理理论论是是以以代代数数方方程程的的根根的的计计算算和和分分布布作作为为中中心心问问题题的的，也也叫叫做做方方程程论论。研研究究多多项项式式理理论论，主主要要在在于于探探讨讨代代数数方方程程的的性性质质，从从而而寻寻找找简简易易的的解解方方程的方法。程的方法。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观3 分析学大意分析学大意分分析析学学是是指指以以微微积积分分学学为为基基本本内内容容的的数数学学分分支支的的全全称称，包包括括微微积积分分学学、微微分分方方程程、复复变变函函数数、实实变变函函数数、泛泛函函分分析析等等。这这里里我我们们只只介介绍绍微微积积分分等等几几个个基基础础分分支学。支学。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观微积分学微积分学 简简单单地地来来说说，微微积积分分学学是是微微分分学学和和积积分分学的总称，其学的总称，其研究对象研究对象是函数；是函数；研究工具研究工具是极限；是极限；研研究究内内容容包包括括函函数数的的微微分分、积积分分，以以及及联联系微分与积分的桥梁系微分与积分的桥梁微积分基本定理。微积分基本定理。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观4 4 随机数学一瞥随机数学一瞥在在自自然然界界和和现现实实生生活活中中，一一些些事事物物都都是是相相互互联联系系和和不不断断发发展展的的。在在它它们们彼彼此此间间的的联联系系和和发发展展中中，根根据据它它们们是是否否有有必必然然的的因因果果联联系系，可可以以分分成成截截然然不不同同的的两两大大类类：一一类类是是确确定定性性现现象象，另另一一类类是是不不确确定定性性的的现现象象，这这类类现现象象是是在在一一定定条条件件下下，它它的的结结果果是是不不确确定定的的。这这种种现现象象叫叫做做偶偶然现象然现象，或者叫做，或者叫做随机现象随机现象。 zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观从从表表面面上上看看，随随机机现现象象似似乎乎是是杂杂乱乱无无章章、没没有有什什么么规规律律的的现现象象。但但实实践践证证明明，如如果果同同类类的的随随机机现现象象大大量量重重复复出出现现，它它的的总总体体就就呈呈现现出出一一定定的的规规律律性性，叫叫做做统统计计规规律律性性。概概率率论论和和数数理理统统计计就就是是研研究究大大量量同同类类随随机机现现象象的的统统计计规规律律性性的的数学学科，统称为数学学科，统称为随机数学随机数学。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观5 5 模糊数学概览模糊数学概览现现实实生生活活中中有有许许多多模模糊糊现现象象，比比如如，秃秃子子、年年轻轻、高高个个子子、胖胖子子、干干净净，好好、漂漂亮亮、善善、热热、远远等等。模模糊糊数数学学就就是是研研究究如如何何处处理理与与把把握握这这些些模模糊糊现现象象的的科科学学，其其基基础础是是1965年年美美国国控控制制论论专专家家、数数学学家家查查德德（Zadeh, L.A.1921）引引入入了了模模糊糊集集合合的的概概念念。模模糊糊集集合合描描述述事事物物“是是”与与“非非”的程度。的程度。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观6 可拓学可拓学中国人自己创立的新学科中国人自己创立的新学科全全世世界界有有2000多多门门学学科科，而而中中国国人人自自己己创创立立的的则则很很少少。以以研研究究解解决决矛矛盾盾问问题题的的规规律律和和方方法法为为内内容容的的新新兴兴学学科科可可拓拓学学，是是由由广广东东工工业业大大学学蔡蔡文文研研究究员员创创立立的的。蔡蔡文文先先生生引引进进了了物物元元的的概概念念，它它是是包包括括事事物物的的名名称称N、特特征征C和和关关于于此此特特征征的的量量值值V的的有有序序的的三三元元组组R=（N，C，V）。）。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观可可拓拓学学有有两两个个理理论论支支柱柱，一一个个是是研研究究物物元元及及其其变变化化的的物物元元理理论论，一一个个是是建建立立在在可可拓拓集集合合基基础础上上的的可可拓拓数学数学。物物元元理理论论着着重重研研究究物物元元的的可可拓拓性性，物物元元的的可可变变性性，借借以以探探索索事事物物变变化化的的过过程程，寻寻求求解解决决问问题题的的方方法法。所所谓谓物物元元的的可可拓拓性性，即即可可开开拓拓性性，是是指指事事物物变变化化的的多多种种可可能能性性，包包括括发发散散性性、可可扩扩性性、共共轭轭性性和和相相关关性性。所所谓谓物物元元的的可可变变性性，即即可可变变换换性性，是是指指在在一一定定条条件件下下，物物元元的的要要素素（事事物物、特特征征和和量量值值）的的变变换换或分解。或分解。zwjszu.edu.cn三、数学分支发展概观可可拓拓数数学学是是对对应应用用数数学学的的发发展展，它它是是建建立立在在可可拓拓集集合合的的基基础础上上的的。在在现现实实世世界界中中，事事物物是是可可变变的的，事事物物具具有有某某种种性性质质的的程程度度也也是是可可变变的的，因因此此，“是是”与与“非非”及及其其程程度度都都是是可可以以转转换换的的。蔡蔡文文先先生生在在1983年年引引入入的的可可拓拓集集合合概概念念，兼兼顾顾了了这这些些因因素素。在在此此基基础础上上，建建立立了了可可拓拓数数学学，从从经经典典数数学学对对数数量量关关系系和和空空间间形形式式的的研研究究发发展展到到对对物物元元关关系系和和物物元元空空间间形形式式的的研研究究，以以矛矛盾盾问问题题的的转转化化为为研研究究对对象象，成成为为可可拓拓学学的的一一大大理理论论支支柱柱。应应用用可可拓拓数数学学，使使人人们们能能够够定定量量研研究究自自然然科科学学、社社会会科科学学和和工工程程技技术术中中的的各各种矛盾问题。种矛盾问题。zwjszu.edu.cn深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院zwjszu.edu.cn数学形成与发展的因素与轨迹数学形成与发展的因素与轨迹 4 4四、数学形成与发展的因素与轨迹 陈省身说：陈省身说：大致说来，数学和其他科学一样，它的发展基于两个原因：（1）奇怪的现象；（2）数学结果的应用。结果把奥妙变为常识，复杂变为简单，数学便成为科学的有利而不可缺少的工具。 zwjszu.edu.cn四、数学形成与发展的因素与轨迹 1. 1. 数学的形成与发展的因素数学的形成与发展的因素 实用的、科学的、哲学的和美学的因素，共同促进了数学的形成与发展。zwjszu.edu.cn四、数学形成与发展的因素与轨迹 v第第一一动动力力：解解决决因因社社会会需需要要而而直直接接提提出出的的问问题题。这这为为人人类类认认识识与与改改造造自自然然提提供供了了工工具与方法。具与方法。 初初等等数数学学的的欧欧几几里里德德几几何何学学、代代数数方方程程以以及及高高等等数数学学的的概概率率论论、运运筹筹学学等等，都都是为解决实际问题而产生与发展的。是为解决实际问题而产生与发展的。 zwjszu.edu.cn四、数学形成与发展的因素与轨迹 v第二动力第二动力：提供自然现象的合理结构。提供自然现象的合理结构。 数数学学的的概概念念、方方法法和和结结论论都都是是物物理理学学的的基基础础。这这些些学学科科的的成成就就的的大大小小取取决决于于它它们与数学结合的程度。们与数学结合的程度。 图图论论、拓拓扑扑学学、微微分分几几何何、复复变变函函数数等都是因此而产生的。等都是因此而产生的。zwjszu.edu.cn四、数学形成与发展的因素与轨迹 v第第三三动动力力：智智力力方方面面的的好好奇奇心心和和对对纯纯思思维维的强烈兴趣。的强烈兴趣。 数数论论、非非欧欧几几何何、射射影影几几何何等等都都在在很很大程度上受这一动力的影响。大程度上受这一动力的影响。 zwjszu.edu.cn四、数学形成与发展的因素与轨迹 v第四动力第四动力：对美的追求。对美的追求。 数数学学除除了了其其完完美美的的结结构构美美以以外外，在在证证明明和和得得出出结结论论的的过过程程中中，所所运运用用的的想想象象和和直直觉觉也也为为创创造造者者提提供供了了高高度度的美学上的满足。的美学上的满足。 数数学学美美几几乎乎体体现现在在数数学学的的每每一一个个分支中。分支中。 zwjszu.edu.cn四、数学形成与发展的因素与轨迹 2. 2. 数学发展的轨迹数学发展的轨迹v数学发展的基本模式是： 具体具体抽象抽象具体。具体。 从从具具体体事事物物、现现象象（具具体体）出出发发，提提炼炼出出能能够够反反映映其其本本质质的的结结构构（抽抽象象）进进行行研研究究，研研究究的的结结果果再再返返回回到到（更更多多、更更广广泛泛的）具体事物、对象（的）具体事物、对象（具体具体）中。）中。 zwjszu.edu.cn四、数学形成与发展的因素与轨迹 在在提提炼炼与与实实现现数数学学结结构构过过程程中中，猜猜想想与与证证明明是是两两大大基基本本支支柱柱：数数学学结结论论的的孕孕育育有有赖赖于于猜猜想想，数数学学结结论论的的确确立离不开证明。立离不开证明。zwjszu.edu.cn四、数学形成与发展的因素与轨迹 v数学发展的基本思路：数学发展的基本思路：o特殊的东西，加以推广，以便适用更广；特殊的东西，加以推广，以便适用更广；o一般的东西，给予特殊化，以求更好结果；一般的东西，给予特殊化，以求更好结果；o复杂的东西，加以分解，以求各个击破；复杂的东西，加以分解，以求各个击破；o零散的东西，加以组合，以求全貌；零散的东西，加以组合，以求全貌；o陌生的东西，类比熟知，通过已知研究未知。陌生的东西，类比熟知，通过已知研究未知。zwjszu.edu.cn四、数学形成与发展的因素与轨迹 3. 3. 数学发展的启示数学发展的启示龚升教授在他的龚升教授在他的微积分五讲微积分五讲中强调中强调: 数数学学中中每每一一步步真真正正的的进进展展都都与与更更有有力力的的工工具具和和更更简简单单的的方方法法的的发发现现密密切切联联系系着着。这这些些工工具具和和方方法法同同时时会会有有助助于于理理解解已已有有的的理理论论并并把把陈陈旧旧的的、复复杂杂的的东东西西抛抛到到一一边边。数数学学科科学学发发展展的的这这种种特特点是根深蒂固的。点是根深蒂固的。 zwjszu.edu.cnSZU第二节第二节 数学的价值数学的价值zwjszu.edu.cn数学的数学的特点特点美学美学价值价值文化文化价值价值 主要主要内容内容教育教育价值价值 zwjszu.edu.cn深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院zwjszu.edu.cn起死回生的问题起死回生的问题引子引子起死回生的问题从从前前有有一一个个国国王王，非非常常爱爱惜惜人人才才，即即使使是是对对囚囚犯犯也也不不例例外外。国国王王规规定定，对对于于死死囚囚，在在押押赴赴刑刑场场时时可可以以给给他他一一次次生生存存的的机机会会。为为此此，在在押押赴赴囚囚犯犯到到刑刑场场途途中中，他他们们设设计计一一个个丁丁字字路路口口，在在这这个个路路口口有有两两个个前前进进方方向向可可供供选选择择，一一个个通通向向刑刑场场，另另一一个个则则通通向向光光明明大大道道。但但是是两两个个方方向向入入口口处处各各有有一一个个士士兵兵把把守守，这这两两个个士士兵兵中中一一个个只只讲讲真真话话不不讲讲假假话话，而而另另一一个个则则只只讲讲假假话话不不讲讲真真话话，除除了了他他们们二二人人之之外外，其其他他人人并并不不知知道道他他们们中中间间谁是讲真话者。谁是讲真话者。zwjszu.edu.cn起死回生的问题国王给囚犯提供的逃生机会是：国王给囚犯提供的逃生机会是：允允许许囚囚犯犯只只向向其其中中的的一一个个士士兵兵问问唯唯一一一一个个问问题题，然然后后根根据据士士兵兵的的回回答答来来自自己己决决定定朝朝哪哪个个方方向向前前进进。如如果果走走向向刑刑场场，则则要要执执行行死死刑刑，如如果走向光明大道，则可以自由逃生。果走向光明大道，则可以自由逃生。zwjszu.edu.cn起死回生的问题由由于于事事先先并并不不知知道道两两个个士士兵兵中中谁谁是是说说真真话话者者，又又不不能能多多问问一一个个问问题题以以求求辨辨认认真真假假，许许多多囚囚犯犯面面对对这这样样的的逃逃生生机机会会不不知知所所措措，只只好好听听天天由由命命。有有的的难难免免一一死死，有有的的侥侥幸幸逃逃生生。有有一一天天，一一个个精精通通数数学学和和逻逻辑辑的的囚囚犯犯，在在这这里里依依靠靠自自己己的的聪聪明明才才智智，明明白白无无误误地地为为自自己己捡捡来来一一条条性性命命。那那么么，他他提了一个什么问题呢？提了一个什么问题呢？zwjszu.edu.cn起死回生的问题囚犯问其中一个士兵：囚犯问其中一个士兵：如如果果我我问问他他（另另一一个个士士兵兵）哪哪一一条条路路通通向向光光明明大大道道，他会怎样回答？他会怎样回答？zwjszu.edu.cn名人语录 任何一门科学，只有当它用到数任何一门科学，只有当它用到数学时，才能得到真正完善的发展。学时，才能得到真正完善的发展。 马克思马克思zwjszu.edu.cn名人语录 参与开发一般智力参与开发一般智力不是为了不是为了今后某一职业的特定需要，应看成是今后某一职业的特定需要，应看成是数学教育的基本目标。数学教育的基本目标。 F. F. ReidtReidtzwjszu.edu.cn名人语录 音音乐乐能能激激发发或或抚抚慰慰情情怀怀，绘绘画画使使人人赏赏心心悦悦目目，诗诗歌歌能能动动人人心心弦弦，哲哲学学使使人人获获得得智智慧慧，科科学学可可改改善善物物质质生生活活，但数学能给予以上的一切。但数学能给予以上的一切。克莱因克莱因zwjszu.edu.cn名人语录 展展现现在在我我们们面面前前的的宇宇宙宙，像像一一本本用用数数学学语语言言写写成成的的书书，若若不不掌掌握握数数学学的的语语言言符符号号，就就像像在在黑黑暗暗的的迷迷宫宫里里游游荡荡，什么也认识不清。什么也认识不清。伽利略伽利略zwjszu.edu.cn深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院zwjszu.edu.cn从数学的特点看从数学的特点看数学教育对人的素质的影响数学教育对人的素质的影响1 1一、数学的特点v数学的特点数学的特点概念的抽象性概念的抽象性推理的严密性推理的严密性结论的确定性结论的确定性应用的广泛性应用的广泛性 zwjszu.edu.cn 这这四四大大特特点点反反映映了了数数学学发发展展过过程程的的整整个个内蕴与外延的本质。内蕴与外延的本质。起点起点：概念抽象；：概念抽象；过程过程：推理严密；：推理严密；结论结论：确定；：确定；结果结果：应用广泛。：应用广泛。 数数学学是是用用简简明明而而又又严严格格的的方方式式描描述述复复杂现象。杂现象。 一、数学的特点zwjszu.edu.cn1. 1. 概念的抽象性概念的抽象性 数学来自于实践，其最本质的东西是抽象，抽象是人类创造性思维最基本的特征。数学的概念、方法大多是通过对现实世界的事物对象及其关系，通过分析、类比、归纳，找出其共性与本质特征而抽象得来的。 一、数学的特点zwjszu.edu.cn对于一个数学家来说，重要的不是他的研究对象的具体化，而是它们的性质或本质规律。这种思维就是抽象思维，其要点在于通过不断深刻地从小模式中抽象出必要的性质，去除（或者综合）次要的性质，用尽可能少的条件来推出尽可能多的结论。一、数学的特点zwjszu.edu.cn“抽抽象象”不不是是目目的的，不不是是人人为为地地增增加加理理解解难难度度，而而是是要要抓抓住住事事物物的的本本质质。通通过过抽抽象象，可以可以把表面复杂的东西变得简单把表面复杂的东西变得简单把表面混沌的东西变得有序把表面混沌的东西变得有序把表面无关的东西得到统一把表面无关的东西得到统一一、数学的特点zwjszu.edu.cn数学抽象的特色：数学抽象的特色：v在数学抽象中只保留了量的关系和空间形式，在数学抽象中只保留了量的关系和空间形式，舍弃诸如色彩、品质等因素；（比如：数、点、舍弃诸如色彩、品质等因素；（比如：数、点、线等原始概念）线等原始概念）v数学抽象是一级一级逐步提高的，其抽象程度数学抽象是一级一级逐步提高的，其抽象程度远远超过了其它学科的一般抽象；（比如：从远远超过了其它学科的一般抽象；（比如：从点到线，到面，到体，到欧氏空间，再到一般点到线，到面，到体，到欧氏空间，再到一般的拓扑空间等）的拓扑空间等）v数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系之中。互关系之中。一、数学的特点zwjszu.edu.cn因此，不仅数学概念是抽象的，其思想方法也是抽象的（如加、减、群等），整个数学都是抽象的。一、数学的特点受过良好数学教育的人，善于抓住事物的本质，做事简练、不拖泥带水，具有统一处理一类问题的能力，具有创新的胆略和勇气。zwjszu.edu.cn2. 2. 推理的严密性推理的严密性 在在数数学学的的发发展展过过程程中中，数数学学每每前前进进一一步步，都都离离不不开开严严密密的的逻逻辑辑推推理理。推推理理是是从从已知到未知的合乎逻辑的思维过程。已知到未知的合乎逻辑的思维过程。从认识论的角度来看，推理有三种：从认识论的角度来看，推理有三种：归纳推理归纳推理类比推理类比推理演绎推理演绎推理 这也是数学的主要推理方法。这也是数学的主要推理方法。一、数学的特点zwjszu.edu.cn演演绎绎推推理理是是从从一一般般到到特特殊殊的的推推理理。先先有有一一个个普普遍遍规规律律，然然后后从从这这个个规规律律导导出出特特定定事事例例的的性性质质。它它可可以以通通过过对对事事物物的的某某些些已已知知属属性性，按按照照严严密密的的逻逻辑辑思思维维，推推出出事事物的未知属性。物的未知属性。在在数数学学演演绎绎推推理理中中分分析析必必须须细细致致，论论证证务务求求严严谨谨，不不允允许许用用感感知知替替代代分分析析，用用举例充当论证。举例充当论证。一、数学的特点zwjszu.edu.cn归归纳纳推推理理是是从从个个体体认认识识群群体体，即即从从许许多多特特例例中中总总结结出出一一般般性性的的普普遍遍规规律律，是是从特殊到一般的推理。从特殊到一般的推理。但完全归纳法是演绎推理。但完全归纳法是演绎推理。类类比比推推理理是是从从一一个个个个体体认认识识另另一一个个个体。个体。二二者者对对培培养养人人的的发发散散性性思思维维和和创创造造性思维具有重要作用。性思维具有重要作用。一、数学的特点zwjszu.edu.cn人类的发明创造人类的发明创造开始于感性的发散性思维，开始于感性的发散性思维，终止于理性的收敛性思维。终止于理性的收敛性思维。因因此此归归纳纳与与类类比比是是人人类类探探索索世世界界、发发现现新新事事物物的的重重要要手手段段，许许多多重重要要的的猜猜想想都是通过归纳与类比而提出的。都是通过归纳与类比而提出的。一、数学的特点zwjszu.edu.cn二、判断推理判断推理 不不论论哪哪一一种种推推理理，都都包包括括前前提提和和结结论论两两部部分：分：前前提提 是是在在推推理理过过程程中中所所运运用用的的已已有有的的真真实实判判断断（这一点必须保证或假定是正确的这一点必须保证或假定是正确的）；）；结结论论 是是人人在在头头脑脑中中经经过过推推理理的的过过程程所所引引出出的的新新的判断。的判断。zwjszu.edu.cn二、判断推理判断推理演绎推理演绎推理的一般形式是的一般形式是三段式三段式：大前提大前提 ：一个一个一般性的普遍规律一般性的普遍规律；小前提小前提 ：一个特殊对象一个特殊对象的判断的判断；结结 论论 ：这个特殊对象这个特殊对象的结论的结论。zwjszu.edu.cn二、判断推理判断推理例：例：大前提大前提 ：所有的商品都有使用价值所有的商品都有使用价值，小前提小前提 ：粮食是商品粮食是商品，结结 论论 ：所以，粮食是有使用价值的。所以，粮食是有使用价值的。zwjszu.edu.cn演绎推理的特点演绎推理的特点：1) 从从少少数数已已知知事事实实出出发发，可可以以导导出出一一个个内内容容丰丰富富的的知知识识体体系系，人人类类的的认认识识能能力力由由此此可可以以得得到到很很大提高；大提高；2) 能能够够保保证证数数学学命命题题的的正正确确性性，使使数数学学立立于于不不败败之地；之地；3) 可可以以克克服服仪仪器器、技技术术等等手手段段的的局局限限，弥弥补补人人类类经验之不足；经验之不足；4) 使人类的认识范围从有限走向无限；使人类的认识范围从有限走向无限；5) 为人类提供了一种建构理论的有效形式为人类提供了一种建构理论的有效形式。一、数学的特点zwjszu.edu.cn二、判断推理判断推理一般来讲，一般来讲，归归纳纳推推理理与与类类比比推推理理的的结结论论不不能能保保证证正正确性；确性；演演绎绎推推理理的的结结论论则则一一定定是是正正确确的的只只要前提是正确的。要前提是正确的。数数学学推推理理以以演演绎绎推推理理为为主主，间间或或使使用用其其它推理。它推理。zwjszu.edu.cn因因此此，优优秀秀的的数数学学教教育育使使人人具具有有做做事事思思路路开开阔阔、举举一一反反三三的的类类比比与与创创新新能能力力；具具有有化化繁繁为为简简、分分解解困困难难的的归归纳纳能能力力；具具有有做做事事思思维维严严谨谨、思思考考周周密密、结结构构清清晰晰、层层次次分分明明、有有条条理理、无无漏漏洞洞的的组组织织管管理理能能力。力。 一、数学的特点zwjszu.edu.cn3. 3. 结论的确定性结论的确定性 “结结论论的的确确定定性性”是是指指，对对任任一一事事件件，通通过过数数学学方方法法所所得得到到的的判判断断或或结结论论是是确确定定的的，但但它它并并不不意意味着任何事件的发展都有唯一的或确定的结果。味着任何事件的发展都有唯一的或确定的结果。数数学学结结论论由由演演绎绎推推理理为为主主的的推推理理形形成成，演演绎绎推推理理的的推推理理步步骤骤要要严严格格遵遵守守形形式式逻逻辑辑的的各各种种法法则则，以以保保证证从从前前提提到到结结论论的的推推导导过过程程中中，每每一一个个步步骤骤在在逻逻辑辑上上都都是是准准确确无无误误的的。所所以以，运运用用数数学学方方法法从从已已知知的的关关系系推推求求未未知知的的关关系系时时，所所得得到到的的结结论论具具有有逻逻辑辑上的上的确定性和可靠性。确定性和可靠性。一、数学的特点zwjszu.edu.cn为为什什么么数数学学比比其其他他一一切切科科学学受受到到特特殊殊的的尊尊重重，一一个个理理由由是是它它的的命命题题是是绝绝对对可可靠靠的的和和无无可可争争辩辩的的，而而其其他他一一切切科科学学的的命命题题在在某某种种程程度度上上都都是是可可辩辩的的，并并且且经经常常处处于于会会被被新新发发现现的的事事实实推推翻翻的的危危险险之之中中。数数学学之之所所以以声声誉誉高高，还还有有另另一一个个理理由由，那那就就是是数数学学给给予予精精密密自自然然科科学学以以某某种种程程度度的的可可靠靠性性，没没有有数数学学，这这些些科科学学是是达达不不到到这这种种可可靠靠性性的的 爱因斯坦爱因斯坦 一、数学的特点zwjszu.edu.cn数数学学教教育育能能培培养养人人做做事事严严肃肃认认真真的的态态度度，做做事事、做做人人目目标标明明确确，前前后后一致，表里如一。一致，表里如一。 一、数学的特点zwjszu.edu.cn4. 4. 应用的广泛性应用的广泛性 数数学学应应用用的的广广泛泛性性是是其其日日渐渐突突出出的的一一个个特特点点，这这不不仅仅表表现现在在数数学学作作为为一一种种工工具具的的广广泛泛应应用用，还还在在于于数数学学素素质质为为人人类类提提供供的潜能。的潜能。 一、数学的特点zwjszu.edu.cn数数学学的的重重要要性性更更体体现现在在，接接受受数数学学上上严严密密的的逻逻辑辑推推理理训训练练而而培培养养出出的的以以理理性性的的思思维维模模式式和和归归纳纳、类类比比、分分析析、演演绎绎的的思思维维方方法法等等为为特特征征的的数数学学素素质质，它它可可以以使使人人有有很很强强的的适适应应能能力力、再再生生能能力力和和移移植植能能力力。有有了了数数学学知知识识和和数数学学素素质质做做基基础础，就就有有了了享受不尽的财富。享受不尽的财富。一、数学的特点zwjszu.edu.cn数数学学概概念念的的抽抽象象性性、推推理理的的严严密密性性、结结论论的的确确定定性性这这三三个个特特点点同同时时决决定定了了数数学学科学的科学的严谨、精确、可靠与普适性严谨、精确、可靠与普适性。一、数学的特点zwjszu.edu.cn深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院zwjszu.edu.cn数学与人类文化2 2二、数学与人类文化 v文文化化是是人人类类在在社社会会历历史史发发展展过过程程中中所所创创造造的的对对社社会会有有重重要要影影响响的的物物质质财财富富与与精精神神财财富富（价价值值、意意义义）的的总总和和，包包括括人人为为制制定定的的规规范范制制度度或或历历史史传传承承下下来来的的风风俗俗习习惯惯，是是人人类类长长期期形形成成的的大大群群集集体体的的公公共共人人生生，是是人人生生的的行行为为模模式式和和指指导导模模式式，是是人人的的本本质之一。质之一。 zwjszu.edu.cnv数数学学产产生生于于人人类类的的实实际际需需要要，作作为为一一门门最最早早发发展展起起来来的的学学科科，数数学学历历来来是是人人类类文文化化的的一一个个重重要要组组成成部部分分，无无数数的的事事实实表表明明：一一个个时时代代的的总总的的特特征征在在很很大大程程度度上上与与这这个个时代的数学活动密切相关。时代的数学活动密切相关。 二、数学与人类文化 zwjszu.edu.cn二、数学与人类文化 1.1.1.1.数学是一切科学的基础数学是一切科学的基础 2.2.数学是人类思维的工具数学是人类思维的工具3.3.数学是理性的精神数学是理性的精神 4.4.信息时代就是数学时代信息时代就是数学时代zwjszu.edu.cn1. 1. 数学是一切科学的基础数学是一切科学的基础 数学是打开科学大门的钥匙数学是打开科学大门的钥匙数数学学是是一一切切科科学学的的得得力力助助手手和和工工具具。她她有有时时受受其其它它科科学学问问题题的的刺刺激激而而产产生生和和发发展展，有有时时也也先先走走一一步步，领领先先发发展展，再再获获得得应应用用。社社会会进进步步离离不不开开科科学学，科科学学发发展展离离不开数学。不开数学。 二、数学与人类文化 zwjszu.edu.cn数学是科学的语言：数学是科学的语言： 对对于于外外部部世世界界进进行行研研究究的的主主要要目目的的，在在于于发发现现上上帝帝赋赋予予它它的的合合理理次次序序与与和和谐谐，而而这这些是上帝以数学语言透露给我们的些是上帝以数学语言透露给我们的开普勒。开普勒。 数数学学能能以以其其不不可可比比拟拟、无无法法替替代代的的数数学学语语言言（概概念念、公公式式、法法则则、定定理理、方方程程、模模型等）对科学现象进行精确而简洁的描述。型等）对科学现象进行精确而简洁的描述。 二、数学与人类文化 zwjszu.edu.cn 数学语言相对自然语言的优势数学语言相对自然语言的优势简单化简单化（即对自然语言进行简化）、（即对自然语言进行简化）、清清晰晰化化（即即克克服服自自然然语语言言中中含含糊糊不不清清的的毛毛病）病）扩展化扩展化（即扩充它的表达范围）三个方面。（即扩充它的表达范围）三个方面。 由由此此，数数学学能能对对一一切切科科学学现现象象进进行行精精确而简洁的描述。确而简洁的描述。二、数学与人类文化 zwjszu.edu.cn 在科学研究中运用数学语言的好处：在科学研究中运用数学语言的好处：她她具具有有单单义义性性、确确定定性性，避避免免发发生生歧歧义义和和引起混乱；引起混乱；她她具具有有表表达达简简洁洁性性，便便于于人人们们分分析析、比比较较、判断；判断；运运用用数数学学语语言言将将问问题题转转化化为为数数学学模模型型进进行行推推理理、计计算算，可可以以节节约约人人的的思思维维劳劳动动，缩缩短研究过程，提高研究效率。短研究过程，提高研究效率。二、数学与人类文化 zwjszu.edu.cn2. 2. 数学是人类思维的工具数学是人类思维的工具数数学学思思维维不不限限于于数数学学研研究究自自身身，她她已已经经成成为为人人类类创创新新、创创造造的的源源泉泉，是是现现代代人人文文化化素素质质的的一一部部分分。对对人人类类社社会会进进步起到了极为重要的作用。步起到了极为重要的作用。二、数学与人类文化 zwjszu.edu.cn3. 3. 数学是理性的精神数学是理性的精神 数数学学作作为为文文化化的的一一部部分分，其其永永恒恒的的主主题题是是“认认识识宇宇宙宙，也也认认识识人人类类自自己己”。在在这这个个探探索索过过程程中中，它它追追求求一一种种完完全全确确定定、完完全全可可靠靠的的知知识识，把把理理性性思思维维的的力力量量发发挥挥得得淋淋漓漓尽尽致致，是是一一种种理理性性的的精精神神。它它提提供供了了一一种种思思维维的的方方法法与与模模式式，提提供供了了一一种种最最有有力力的的工工具具，提供了一种思维合理性的标准。提供了一种思维合理性的标准。二、数学与人类文化 zwjszu.edu.cn数数学学也也充充满满着着理理性性的的创创新新和和实实事事求求是是的的科科学学精精神神，它它不不断断为为人人们们提提供供新新概概念念、新新方方法法，它它促促进进着着人人类类的的思思想想解解放放。数数学学家家的的一一个个特特点点就就是是敢敢于于怀怀疑疑自自己己。数数学学越越发发展展，取取得得的的成成就就越越大大，数数学学家家就就越越要要问问自自己己的的基基础础是是不不是是巩巩固固。越越是是在在表表面面上上看看来来没没有有问问题题的的地地方方，也也就就是是数数学学的的基基础础部部分分，越越要要找找出出问题来。问题来。二、数学与人类文化 zwjszu.edu.cn4. 4. 信息时代就是数学时代信息时代就是数学时代数数学学的的发发展展，导导致致了了电电子子计计算算机机的的出出现现与与应应用用。电电子子计计算算机机的的发发展展，又又使使数数学学如如虎虎添添翼翼，结结束束了了数数学学只只用用纸纸和和笔笔的的手手工工时时代代，进进入入机机器器时时代代。依依靠靠数数学学，计计算算机机得得以以迅迅猛猛发发展展，使使得得人人类类已已经经进进入入了了信信息息时时代代，计计算算机机成成为为各各行行各各业业都都离离不不开开的的重重要要工工具具。信信息息时时代代就就是是数数学学时时代代，如如今今的的高高新新技技术术本本质质上上就是一种数学技术。就是一种数学技术。 二、数学与人类文化 zwjszu.edu.cn深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院zwjszu.edu.cn数学的美学价值数学的美学价值3 3三、数学的美学价值v美美是是自自然然，是是一一切切事事物物生生存存和和发发展展的的本本质质特特征征。数数学学是是人人们们认认识识与与改改造造自自然然的的工具，她反映的是自然，当然包含着美。工具，她反映的是自然，当然包含着美。v美美学学是是研研究究现现实实中中的的美美，以以及及如如何何去去创创造美、欣赏美的科学。造美、欣赏美的科学。zwjszu.edu.cn三、数学的美学价值美美好好的的事事物物一一定定要要具具备备某某些些客客观观上上美美的的特特征征才才能能让让人人主主观观上上感感受受其其美美，欣欣赏赏其其美美。那那么么，什什么么是是客客观观上上“美美的的标标准准”（美美的的特特征征）和和主主观观上上的的“审审美美准准则则”呢呢？一一般般来来说说，标准与准则大体上应该是一致的。标准与准则大体上应该是一致的。 zwjszu.edu.cn三、数学的美学价值数学美主要体现在以下几个方面：数学美主要体现在以下几个方面：1.数数学学美美的的简简洁洁性性（符符号号美美、抽抽象象美美、统统一美、常数美）一美、常数美）2.数数学学美美的的和和谐谐性性（和和谐谐美美、对对称称美美、序序列美、节奏美、形式美）列美、节奏美、形式美）3.数数学学美美的的奇奇异异性性（奇奇异异美美、有有限限美美、神神秘美、对比美、滑稽美）秘美、对比美、滑稽美）zwjszu.edu.cn三、数学的美学价值1. 1. 数数学学美美的的简简洁洁性性（符符号号美美、抽抽象象美美、统统一一美美、常数美）常数美） 数数学学美美的的简简洁洁性性是是数数学学结结构构美美的的重重要要标标志志，它它是是指指数数学学的的表表达达形形式式和和数数学学理理论论体体系系的的结结构构简简单单。数数学学理理论论的的过过人人之之处处之之一一在在于于她她用用简简洁洁的的方方式式揭揭示示复复杂杂的的现现象象。比如：比如：欧拉公式导致的欧拉公式导致的zwjszu.edu.cn三、数学的美学价值2. 2. 数数学学美美的的和和谐谐性性（和和谐谐美美、对对称称美美、序序列列美美、节节奏美、形式美）奏美、形式美） 数数学学美美的的和和谐谐性性也也数数学学结结构构美美的的重重要要标标志志，是是数数学学本本质质的的一一种种反反映映，它它是是指指数数学学的的整整体体与与部部分分、部部分分与与部部分分之之间间的的和和谐谐协协调调性性，是是自自然然的的本本质质反反映映自自然然界界本本身身就是一个和谐的统一体。就是一个和谐的统一体。比比如如：黄黄金金分分割割、Feibonaci数数列列；勾勾股股定定理理；矩矩阵阵乘乘积积求求逆逆与与转转置置、复复合合函函数数求求反反函函数数等等许许多多数数学学运运算算所所表表现现的的统统一一的的“脱脱衣衣规规则则”等。等。 zwjszu.edu.cn三、数学的美学价值3. 3. 数数学学美美的的奇奇异异性性（奇奇异异美美、有有限限美美、神神秘秘美美、对对比美、滑稽美）比美、滑稽美） 数数学学美美的的奇奇异异性性是是指指研研究究对对象象的的不不能能用用任任何何现现成成的的理理论论解解释释的的特特殊殊性性质质。奇奇异异是是一一种种美美，奇奇异异到极度更是一种美。到极度更是一种美。比如：比如： 在在复复解解析析动动力力系系统统中中，由由奇奇异异点点所所构构成成的的JuliaJulia集集的的无无以以伦伦比比的的美美感感，所所有有“分分形形”图图形形的的复复杂杂与与美美丽丽，由由河河图图、洛洛书书所所引引出出的的幻幻方方的的神神秘美等。秘美等。zwjszu.edu.cn深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院zwjszu.edu.cn数学教育的价值与意义数学教育的价值与意义4 4数学教育在五个方面发挥作用：数学教育在五个方面发挥作用：第第一一，掌掌握握必必要要的的数数学学工工具具，用用来来处处理理解解决决自自然然与与社社会会中中普普遍遍存存在在的的数数量量化化问问题题及及逻逻辑辑推推理问题；理问题；第第二二，了了解解数数学学文文化化，提提高高数数学学素素质质，这这种种素素质质将使人终身受益；将使人终身受益；第第三三，潜潜移移默默化化地地培培养养学学生生“数数学学方方式式的的理理性性思思维维”，如抽象思维、逻辑思维等；，如抽象思维、逻辑思维等；第四，培养全面的审美情操；第四，培养全面的审美情操；第第五五，为为学学生生进进一一步步学学习习其其它它知知识识打打基基础础、做做准准备。备。四、数学教育的价值与意义zwjszu.edu.cn数学教育过程主要有三方面内容：数学教育过程主要有三方面内容：v数学知识与方法及其应用的传授数学知识与方法及其应用的传授；v数学思想的渗透数学思想的渗透；v数数学学美美学学价价值值的的开开发发与与欣欣赏赏（数数学学美美：和和谐谐、对对称称、有有序序；规规律律性性的的（三三角角公公式式、几几何何结结论论等等）和和非非规规律律性性的的（分分形形等）。等）。 四、数学教育的价值与意义zwjszu.edu.cn在在数数学学教教育育中中，数数学学知知识识与与方方法法的的传传授授是是一一条条主主线线，但但不不是是全全部部目目的的。一一个个好好的的教教师师应应当当能能够够通通过过传传授授数数学学知知识识这这个个载载体体，对对学学生生实实施施能能动动的的心心理理和和智智慧慧引引导导，达达到到启启迪迪智智慧慧、开开发发悟悟性性、挖挖掘掘潜潜能能、培培养养能能力力、陶陶冶冶情情操操的的素素质质教教育育目目的的。这这主主要要依依靠靠教教师师在在教教学学中中要要能能抓抓住住本本质质，突突出出数数学学思思想想的的渗渗透。透。 四、数学教育的价值与意义zwjszu.edu.cn有两个方面的问题要解决：有两个方面的问题要解决：v教什么（教学内容）；教什么（教学内容）；v怎样教（教学方法）。怎样教（教学方法）。四、数学教育的价值与意义zwjszu.edu.cn关关于于“教教什什么么”的的问问题题 ，在在计计算算工工具具不不断断更更新新、数数学学知知识识体体系系迅迅速速膨膨胀胀的的今今天天，教教学学内内容容的的选选择择是是一一个个非非常重要的问题。常重要的问题。 四、数学教育的价值与意义zwjszu.edu.cn 关于关于“怎样教怎样教”的问题的问题: :v教教师师要要提提高高自自身身的的数数学学素素养养，增增强强数数学学价值的判别力价值的判别力; ;v要加强教育与数学教育理论的学习要加强教育与数学教育理论的学习; ;v要要注注意意在在教教学学过过程程中中强强调调数数学学思思想想的的渗渗透和数学素质的培养。透和数学素质的培养。四、数学教育的价值与意义zwjszu.edu.cn四、数学教育的价值与意义数数学学是是一一座座蕴蕴藏藏智智慧慧的的宝宝库库，数数学学教教育育是是一一把把开开发发智智慧慧的的钥钥匙匙，而而数数学学教教师师则则是是这这座座宝宝库库的的开开锁锁人人，其其责责任重大，影响深远。任重大，影响深远。 zwjszu.edu.cn深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院zwjszu.edu.cn