垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦这条弦，并且平分弦所对的两条弧。所对的两条弧。条件条件结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧OABCDM垂径定理垂径定理OABCDMCDCDAB,AB,如图如图如图如图 CDCD是直径是直径是直径是直径, ,AM=BM,AM=BM, AC =BC, AD =BD.条件条件 CD为直径为直径 CDAB CD平分弧平分弧ADB CD平分弦平分弦AB CD平分弧平分弧A B结论结论CDAB,AB是是 O的一条弦（非直径）的一条弦（非直径）,且且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你与同伴说说你的想法和理由的想法和理由.过点过点M作直径作直径CD.O右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?小明发现图中有小明发现图中有:CD由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得AC=BC,AD=BD. MAB探究一：探究一：如图如图,小明的理由是小明的理由是: 连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在OAM和和OBM中中,OA=OB，OM=OM，AM=BMOAMOBM.AMO= BMO.CDABO关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.垂径定理的垂径定理的逆定理逆定理平分平分弦（弦（不是直径不是直径）的直径）的直径垂直垂直于于弦弦, ,并且并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧. .CDAB,垂径定理的逆定理一垂径定理的逆定理一AB是是 O的一条弦的一条弦(非直径非直径),且且AM=BM.过点过点M作直径作直径CD.OCD 由由 CD是是直径直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. AB平分弦（平分弦（ ）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.M不是直径不是直径例例 、已知：、已知： O 中，中， AB为为 弦，弦，D为为 AB 中点，中点，OC交交AB 于于C ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求 O 的半径的半径OA. CD是直径是直径, AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.且且CDAB于点于点M，OCD与圆心有何位置关系？还有什么与圆心有何位置关系？还有什么结论？为什么？结论？为什么？CD由由 CDAB于于M AM=BM可推得可推得AC=BC,AD=BD. MAB探究二：探究二：垂径定理的逆定理二垂径定理的逆定理二弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧O由由 CDAB于于M AM=BM可推得可推得AC=BC,AD=BD. MABCD CD是直径是直径,例例2、 若若D是是BC的中点的中点ADBC,BC=24,AD=9, 求求 O的半径。的半径。OABCD通过前面的两个探究，你发现了通过前面的两个探究，你发现了什么？什么？OCD CDAB于于M CD是直径是直径, AM=BM可推得可推得AC=BC,AD=BD. MAB比如还有如下正确结论：比如还有如下正确结论：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备一条直线来说。如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论以推出其他三个结论找到本质：找到本质：垂直于弦的直径平分这条弦，并且垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的两条弧。垂径定理的逆定理：垂径定理的逆定理：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧弦，并且平分弦所对的另一条弧垂径垂径定理定理再梳理一下：再梳理一下： 例例3、 如图所示，如图所示， C是是AB的中点，的中点， OC交交AB于点于点D ，AB=6cm, CD=1cm 求求 O的半径长的半径长ABCDO练习一、判断正误：练习一、判断正误：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E练习二、已知已知 o的半径为的半径为2cm，弦，弦AB的长为的长为2求这弦中点到这弦所对的劣弧的中点的距离。求这弦中点到这弦所对的劣弧的中点的距离。练习三、如图所示如图所示, o的直径长的直径长4cm，C是是AB的中的中点，弦点，弦AB、CD交于点交于点P， CD=2 求求APC的度数。的度数。垂直于弦的直径平分这条弦，并且垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的两条弧。请你想一想：可以得到垂径定理请你想一想：可以得到垂径定理的多少个逆定理呢？的多少个逆定理呢？垂径垂径定理定理记忆记忆