专题课堂(五)与圆有关的位置关系第二十四章圆一、点和圆的位置关系归纳：点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内如果O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆外dr；点P在圆上dr；点P在圆内dr.【例1】已知点P到O的最近距离为4 cm，最远距离为10 cm，则O的半径为_3_cm或7_cm_分析：题目未给出图形，画图时要考虑点P与圆的位置关系，显然点P不可能在圆上，再根据图和已知条件求出半径二、直线和圆的位置关系归纳：1.根据直线和圆相交、相切、相离的定义可得到：直线l和O相交dr；直线l和O相切dr；直线l和O相离dr.2判断直线和圆的位置关系有两种方法：一是根据定义即公共点个数判定；二是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定【例2】已知O的半径r3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：若d5，则m0；若d5，则m1；若1d5，则m3；若d1，则m2；若d1，则m4.其中正确命题的个数是(C)A1 B2 C3 D5分析：根据命题中数据画出草图，再根据与所给直线的距离为2的两条直线与圆的交点个数分析即可判断三、切线的判定类型：1.直线与圆的交点已确定判定方法：(定义判定)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线作法：连接过交点的半径证法：这条半径垂直于这条直线，可归纳为“连半径，证垂直”，方法：利用角度转换证垂直；利用全等证垂直；利用勾股定理逆定理证垂直2直线与圆的交点没有确定判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线辅助线作法：过圆心作直线的垂线证法：圆心到直线的距离等于半径，可归纳为“作垂直，证半径”【例3】如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的O经过点D，E是O上一点，且AED45，试判断CD与O的关系，并说明理由分析：因为O经过点D，连接OD，则OD为O的半径，根据切线的判定定理，只需证ODCD即可解：CD与O相切理由：连接OD，则AOD2AED24590.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，CDOAOD90，即ODCD，CD与O相切【对应训练】3如图，ABC为等腰三角形，ABAC，O是底边BC的中点，O与腰AB相切于点D，求证：AC与O相切解：证明：连接AO，OD，作OEAC于E.AB与O相切，ODAB.ABAC，O是底边BC的中点，BAOCAO，OEOD，AC与O相切四、切线的判定与性质的综合应用归纳：1.切线的性质与辅助线：当图形中有切线和切点时，通常连接圆心和切点，构造直角三角形或构造垂直关系来证明、计算；2切线长定理：(1)由切线长定理既可以得到线段相等，又可以得到角相等，运用时根据题意选用；(2)在运用切线长定理时，首先要注意发现其基本图形结构，其次要注意其性质与等腰三角形性质、垂径定理等知识的联系运用【例4】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB.(1)试判断BC所在的直线与小圆的位置关系，并给予证明；(2)试判断AC，AD，BC之间的数量关系，并证明分析：(1)直线BC与圆的交点没有确定，比较圆心到此直线的距离与圆的半径的大小关系即可；(2)可猜测BCACAD，由(1)可 知 AC CE， 所 以 只 需 证 BE AD即 可 ， 通 过 证 明OEBOAD可得解：(1)BC所在的直线与小圆相切证明：过圆心O作OEBC于点E.AC是小圆的切线，AB经过圆心O，OAAC.又CO平分ACB，OEBC，OEOA，BC所在直线与小圆相切(2)ACADBC.证明：连接OD.AC切小圆于点A，BC切小圆于点E，CECA.在RtOAD与RtOEB中，OAOE，ODOB，RtOADRtOEB，ADEB，ADACEBCEBCA 65