材料成形过程数值模拟热传导问题的数值解法热传导问题的数值解法Teaching Materials/Yuandong Li13.1 3.1 数数值求解方法的基本求解方法的基本组成成 3.1.1 数学模型3.1.2 微分方程的求解方法3.1.3 控制方程的离散化方法 (discretization method) 3.1.4 空间区域的离散化 3.1.5 数值网格（numerical grid）Teaching Materials/Yuandong Li23.1.1 数学模型热传导问题的数值解法是以热传导问题的数值解法是以传热学基本知识传热学基本知识为基础，应为基础，应用用偏微分方程偏微分方程求解热传导过程的一种方法。热传导偏求解热传导过程的一种方法。热传导偏微分方程为：微分方程为： (3-1)Teaching Materials/Yuandong Li33.1.2 微分方程的求解方法离散化(discretization）将连续的数据用离散的数据来记录在离散的点之间用光滑曲线通过内插来连接系数由离散点上的值确定离散化方程联结一组结点值的代数方程式(组)光滑曲线xTeaching Materials/Yuandong Li43.1.3 3.1.3 控制方程的离散化方法控制方程的离散化方法(discretization method)w有限差分法有限差分法 (finite difference method FDM) w有限体有限体积法法 (finite volume method FVM) w有限有限单元法元法 (finite element method FE)wTeaching Materials/Yuandong Li5有限差分法 (finite difference method： FDM) 微分方程 使用网格使用网格节点，点，选择微分微分方程的近似方法方程的近似方法： n将计算区域离散成有限个将计算区域离散成有限个网格网格，通常为，通常为结构化网格结构化网格 n选择方程各项的选择方程各项的差分形式差分形式（TaylorTaylor展开）展开） n对每个节点建立对每个节点建立差分方程差分方程 n整理出关于节点上未知数整理出关于节点上未知数的的非线性代数方程式非线性代数方程式 节点计算区域边界Teaching Materials/Yuandong Li6有限体积法(finite volume method： FVM) 积分方程 使用控制体使用控制体积，选择表面和体表面和体积积分的近似方法分的近似方法： n将区域离散成有限个将区域离散成有限个控制体积控制体积，适用任何形状的网格适用任何形状的网格 n选择未知函数对时间和空间的局选择未知函数对时间和空间的局部部分布曲线分布曲线（线性或曲线分布）（线性或曲线分布） n对每个对每个CVCV进行空间（表面、体积）进行空间（表面、体积）和时间的和时间的积分积分 n整理出关于节点上未知数的整理出关于节点上未知数的非线非线性代数方程式性代数方程式。 n特特点点：适适用用任任何何形形状状的的网网格格，可可用复杂几何形状与用复杂几何形状与坐标类型无关坐标类型无关 计算区域边界节点控制体CV:controlvolumeTeaching Materials/Yuandong Li7有限单元法(finite element method: FEM变分方程) 选择函数和函数和权重函数重函数 n将区域离散成有限个将区域离散成有限个体积或单元体积或单元（elementelement），），2D2D时通常为时通常为三角型三角型或多边型或多边型 n选择每个单元解的近似函数形式选择每个单元解的近似函数形式（例如：线性形状函数），与单元（例如：线性形状函数），与单元角上的值相关；角上的值相关；积分权重积分权重 n选择积分方程的选择积分方程的权重函数权重函数 n对每个节点值的积分残差为零，求对每个节点值的积分残差为零，求出离散方程出离散方程 n整理出关于节点上未知数的非线性整理出关于节点上未知数的非线性代数方程式（代数方程式（刚度矩阵刚度矩阵）。）。 n特点特点：有限单元法通常适用于不规：有限单元法通常适用于不规则的求解区域则的求解区域。 计算区域Teaching Materials/Yuandong Li83.1.4 空间区域的离散化 w计算区域算区域(domain)w网格网格(grid)w网格网格线(grid line)w格子（格子（cell）w节点点(grid pointer，node, center node)n计算算节点（点（computational node, FDM）n节点（点（FVM）w控制容控制容积(control volume，CV)w界面界面(face)计算区域边界节点控制体界面Teaching Materials/Yuandong Li93.1.5 数值网格（numericalgrid）w结构化网格结构化网格( (structured grid)structured grid)或或称称规则网格规则网格( (regular regular grid)grid)w非结构化网格非结构化网格( (unstructured grid)unstructured grid)Teaching Materials/Yuandong Li10网格线：自己不交，以其它线最多只交一次。节点可用一组坐标下标唯一表示， 例（i,j,k） 相邻节点坐标用 1 表示，2D：4个邻点，3D：6个邻点 网格形状接近长方形容易求解结构化网格构化网格Teaching Materials/Yuandong Li11非非结构化网格构化网格w主要用于有限体积法和有限单元法内 w格子(控制体积或单元)形状任意 w相邻节点数无限制 w常用格式形状有：2D：三角形、多边型；3D：蜂窝等 w通常格子的生成有专门的格子生成方式(grid generation) w对于复杂的几何区域，非结构化网格容易建立Teaching Materials/Yuandong Li12结构化网格构化网格和和非非结构化网格构化网格的比的比较w结构化网格结构化网格n易生成易生成n计算时，节点参数易储计算时，节点参数易储存存n易理解和掌握易理解和掌握n易求解易求解w非结构化网格非结构化网格n对于对于复杂的几何区域复杂的几何区域，非结构化网格容易建立非结构化网格容易建立Teaching Materials/Yuandong Li133.2 3.2 数数值求解方法的基本要求求解方法的基本要求w真真实性性（realizibility）w相容性相容性（consistency）w稳定性定性（stability） w收收敛性性（convergence） w守恒性守恒性（conservation）w精度精度（accuracy） 选择离散方法的指导原则Teaching Materials/Yuandong Li14真实性真实性（realizibility）w数值分析的解是近似解w检验结果的条件是真实性w导致不真实的原因n数值的问题w不收敛（发散）w不稳定（振荡）n物理模型的问题Teaching Materials/Yuandong Li15相容性相容性（consistency） w当网格跨度趋近于零时，离散差分方程接近微分方程w截断误差逐渐为零微分方程离散化方程Teaching Materials/Yuandong Li16稳定性稳定性（stability）任何误差不会放大w- 瞬态问题：只要真实解有解，数值解也有界。w-迭代方法：计算不发散w反义词不稳定: instability w稳定性很难判断，最常用的方法为 von Neumann方法。w许多求解方法需要限制时间步长，和采用低松弛。 Teaching Materials/Yuandong Li17收敛性收敛性（convergence）收敛性 相容性+稳定性 w当网格跨度趋近于零时，离散差分方程的解接近微分方程的解。 w收敛与稳定同样很难判断，往往采用数值实验：逐步精化网格，如方法是稳定而且收敛的，则结果将收敛到一个与网格大小无关的解。 w反义词：发散divergence Teaching Materials/Yuandong Li18守恒性守恒性（conservation） w由于求解的方程都是守恒方程，数值结果也应是守恒的。w保证物理量的守恒n总体区域的积分守恒n局部控制体积的守恒w使用有限体积法或基于严格的守恒形式进行的离散，则可保证每个控制体的守恒。Teaching Materials/Yuandong Li19精度精度（accuracy） 误差分为：n模型误差n离散误差n收敛误差 Teaching Materials/Yuandong Li20w有限差分法的物理基础是有限差分法的物理基础是能量守恒定律能量守恒定律。n可以直接从已有的可以直接从已有的导热方程导热方程及其及其边界条件边界条件来得到差分方来得到差分方程程; ;n也可以在物体内部也可以在物体内部任取一单元体任取一单元体，通过建立该单元体的，通过建立该单元体的能量能量（在导热问题中则为热量）（在导热问题中则为热量）平衡平衡来得到来得到差分方程差分方程。w无论何种数值解法，其基本思想都是把本来求解无论何种数值解法，其基本思想都是把本来求解物物体内温度随时间和空间连续变化的问题体内温度随时间和空间连续变化的问题，转化为在，转化为在空间领域和时间领域空间领域和时间领域内的内的有限个离散点上有限个离散点上求解温度求解温度值值的问题，进一步用这些离散单元上的温度值去的问题，进一步用这些离散单元上的温度值去逼逼近连续的近连续的温度分布。温度分布。 3.3 有限差分法（有限差分法（FDM）Teaching Materials/Yuandong Li213.3.1偏微分方程的一般形式w微分形式w离散后变成代数方程组，线形的或非线形的wk=1,.N,N为计算区域的结点数Teaching Materials/Yuandong Li223.3.2网格划分w网格网格n有限差分采用结构化网格划分有限差分采用结构化网格划分 w计算分子算分子（computational molecule）n计算节点和相关的相邻点计算节点和相关的相邻点Teaching Materials/Yuandong Li23网网 格格w一维w二维i-1ii+1N1Njj+1j-1j11i-1ii+1(i,j)结构化网格结构化网格Teaching Materials/Yuandong Li24计算分子（算分子（computational molecule）每个节点有一个方程式 PEWSNPWEEENNSSSWWNPEWBTSN5点计算分子15点计算分子7点计算分子(2D)(3D)pew3点计算分子(1D)Teaching Materials/Yuandong Li253.3.3基本差分格式wTaylor展开w一一阶导数的近似数的近似w二二阶导数的近似数的近似 Teaching Materials/Yuandong Li26Taylor展开w一维时间变量 的理论解为(t,x)，它在离散点上的值为投影（projection）的近似值为：,在x很小时，位置ix内的物理量T用Ti来表示，则位置(i+1)x上的值Tj+1表示为：（向前展开）(i-1)x上的值Ti+1表示为：（向后展开）n:时间的step数i:空间的step数Teaching Materials/Yuandong Li27一一阶导数（数（first derivative）的近似的近似w向前差分向前差分(forward difference，FDS) w向后差分向后差分(backward difference，BDS)w中心差分中心差分（central difference，CDS） w2次精度向前差分次精度向前差分 w上上风法、迎法、迎风法法（upwind difference, UDS）Teaching Materials/Yuandong Li28一一阶导数的近似数学基数的近似数学基础有有限限差差分分法法的的数数学学基基础础是是用用差差商商代代替替微微商商的的方方法法建建立立差差分分方方程。两者的关系说明如下：程。两者的关系说明如下：设设 T(x) 为连续函数，则其导数为：为连续函数，则其导数为： （32）式中，式中，T/T/x即为差商，其中即为差商，其中x与与TT均不为零，而均不为零，而dT/dxdT/dx是当是当x 00时极限情况下的差商，即微商。可以看出，在时极限情况下的差商，即微商。可以看出，在当当 x 00时，差商时，差商T/T/x向微商向微商dT/dxdT/dx逼近。可以把逼近。可以把T/T/x趋近于趋近于dT/dxdT/dx的过程看作是由近似向精确过渡，反之的过程看作是由近似向精确过渡，反之则意味着精确向近似过渡。当则意味着精确向近似过渡。当x不为零时，二者的差为用不为零时，二者的差为用差商差商| |T/T/x- dT/dxdT/dx| |代替微商后产生的误差。代替微商后产生的误差。Teaching Materials/Yuandong Li29向前差分(forwarddifference，FDS)向前展开向前差分式Teaching Materials/Yuandong Li30向后差分向后差分(backward difference，BDS)向后展开向后差分式时间导数、推进型、单向性强时间导数、推进型、单向性强的项常用向后差分。Teaching Materials/Yuandong Li31中心差分（中心差分（central difference，CDS）Teaching Materials/Yuandong Li32二阶导数的近似w中心差分（centraldifference，CDS）Teaching Materials/Yuandong Li33二阶导数中心差分w（i1/2）x的Taylor展开Teaching Materials/Yuandong Li343.3.4数值误差w截断误差（truncationerror）w舍入误差（round-offerror）w离散误差(discretizationerror)微分方程微分方程差分方程差分方程精确解精确解近似解近似解截断误差离散误差误差的来源：=计算值精确值，源于：错误、离散、舍入、截断 Teaching Materials/Yuandong Li35截断误差（truncationerror）w由Taylor展开产生的截断误差w例如：热传递方程微分方程微分方程 差分方程差分方程 截断误差截断误差时间向前差分，空间中心差分得离散方程 相容性：网格尺寸趋近于零时，截断误差趋近于零Teaching Materials/Yuandong Li36截断误差分析用用差差商商代代替替微微商商时时，必必然然会会产产生生误误差差，误误差差大大小小可可通通过过泰泰勒勒级数的展开做出估计。函数级数的展开做出估计。函数T(x)T(x)的泰勒级数展开分析。的泰勒级数展开分析。将将T(x+ x) T(x+ x) 按照泰勒级数展开，即：按照泰勒级数展开，即： （36）整理得：（37）Teaching Materials/Yuandong Li37截断误差分析所以用差商代替微商时产生的误差为：由此可见，差商与微商之间的偏差就是截去了Taylor级数的高阶项后所得的，称之为截断误差。向前或向后产生的截断误差为(x)的同阶量，而中心差商则为(x)2 的同阶量。Teaching Materials/Yuandong Li38截断误差的计算w将进行时间方向的Taylor展开和进行空间方向的Taylor展开w方程的截断误差为时间方向的Tayor展开0空间方向的Tayor展开热传递方程截断误差微分形式截断误差的第一项为O(t, x2)，为时间一次精度，空间二次精度。 0Teaching Materials/Yuandong Li39舍入误差（round-offerror）w舍入精度同计算精度有关 w几乎所有的CFD程序的精度都在截断误差为 3阶以下，而舍入精度都比它们小 ，因此通常CFD忽略舍入误差 w需注意超级计算机的利用n使用超级计算机，往往采用特别小的格子，这时需要注意计算机的精度问题w特别是，在使用广泛应用的一般坐标系上的守恒表达形式的条件下，要达到实质性的收敛解，需采用双精度，可使误差充分减少，但此时如采用单精度，可能误差都达不到3阶。计算机的精度引起的误差称为舍入误差单精度（32bit）、双精度（64bit）Teaching Materials/Yuandong Li40离散误差（discretizationerror）w指在无舍入误差的条件下，差分方程的解（即差分方程的严密解）和微分方程的精确解之差。n耗散耗散误差差n分散分散误差差w延延迟相位相位误差差w前前进相位相位误差差离散解精确解离散误差Teaching Materials/Yuandong Li41耗散误差（dissipativeerror）（散逸误差）散逸误差由数值扩散引起的离散误差又称人工粘性、数值粘性。精确解耗散误差波动方程Teaching Materials/Yuandong Li42分散误差精确解前进相位误差前进相位误差 :波的位置在真波前发生 延迟相位误差延迟相位误差 :波的位置在真波后发生 由相位误差引起的离散误差Teaching Materials/Yuandong Li433.3.5显式、隐式和半隐式求解格式w对于时间推进问题，有显式、半隐式和隐式三种基本格式n显式格式式格式 n隐式格式式格式n半半隐式格式式格式时间项：向前差分时间离散点序号空间离散点序号新时刻(下一时刻)旧时刻(上一时刻)Teaching Materials/Yuandong Li44显式格式Teaching Materials/Yuandong Li45显式格式Teaching Materials/Yuandong Li46隐式格式Teaching Materials/Yuandong Li47隐式格式Teaching Materials/Yuandong Li48半隐式格式克拉克-尼克尔松(CrankNico1son)格式六点差分格式(CN格式) 理解为：理解为：节点i在t时刻到t+t时刻的温度上升所需的热量，一半由节点i的相邻节点在t时刻导人，另一半在t+t时刻导入。 Teaching Materials/Yuandong Li493.3.6稳定性条件稳定性条件w相容性w稳定性w收敛性Teaching Materials/Yuandong Li50相容性w指差分方程接近微分方程的程度。w时间方向和空间方向的分割（t,x）变小，截断误差逐渐消失，即差分方程接近原来的微分方程，则称为该差分形式与偏微分方程的相容（consistent）。w大部分差分方法满足此条件。如上面差分式中只要满足的条件，则相容.Teaching Materials/Yuandong Li51稳定性w稳定性是指，计算的一步步进行，不管什么原因引起的误差都不会使其成长。w对于发展性问题，基本可以满足数值的稳定性这一条件。Teaching Materials/Yuandong Li52收敛性w指差分解接近真实解的程度。w格子变小变细后，其近似解接近于原微分方程解。离散化误差趋近零。w即只要使用足够的点，不管要求多小的误差都能达到。w注意：不是指收敛于定常流的解问题。Teaching Materials/Yuandong Li533.3.2 有限差分法差分格式的建立有限差分法差分格式的建立 有限差分法的实质是将连续的空间和时间内的温度场问题转化为一系列离散单元上不同时刻的温度值进行求解。因此，在实际求解时，首先必须对所研究的物体进行时间和空间的离散化；其次，实际导热问题必然涉及边值条件，在有限差分法中也必须将边界条件进行差分化。所以我们需要研究的不仅是差分方程本身，而是由此得到的涉及所有内部区域和边界区域的差分方程组成的代数方程组，称为差分格式。建立一个完整的差分格式以求解非稳态导热建立一个完整的差分格式以求解非稳态导热方程的步骤方程的步骤 Teaching Materials/Yuandong Li54建立一个完整的差分格式以求解建立一个完整的差分格式以求解非稳态导热方程的步骤非稳态导热方程的步骤1. 将所研究的领域进行时间和空间上的离散化。将所研究的领域进行时间和空间上的离散化。 如下图所示如下图所示2.在所有内节点上建立差分方程。在所有内节点上建立差分方程。 将初始条件与边界条件以相应的差分形式来将初始条件与边界条件以相应的差分形式来表示，并与内节点的差分方程联立，得到完整表示，并与内节点的差分方程联立，得到完整的差分格式。的差分格式。选用适当的数值计算方法求解线形代数方程组。选用适当的数值计算方法求解线形代数方程组。1.将求解的过程编制成可执行的计算机程序，则将求解的过程编制成可执行的计算机程序，则上机运行后所得到的结果即为非稳态导热过程上机运行后所得到的结果即为非稳态导热过程中物体的温度场。中物体的温度场。 NextTeaching Materials/Yuandong Li55back1.将所研究的领域进行时间和将所研究的领域进行时间和空间上的离散化。空间上的离散化。 所谓离散化，就是把实际上连续的物体划分为一系列微小的单元，单元的中心称为节点，如下图所示。时间同样可以划分为许多小区间。如下图：图21区域的离散区域离散化的物理意义在于：我们可以认为节点集中了它周围微小区域的热容，因而节点温度就是这个微小区域温度的平均值。这样，所有节点温度集合在一起就代表了这个连续区域内的温度分布。Teaching Materials/Yuandong Li562在所有内节点上建立差分方程在所有内节点上建立差分方程w应用差商代替微商，然后在热量平衡关系式的基础上建立差分方程。为了尽量减小差分方程本身所带来的截断误差应选择适当的差分公式。 backTeaching Materials/Yuandong Li57区域与时间的离散及其表示法Teaching Materials/Yuandong Li58有限差分方程的建立有限差分方程的建立 一维热传导系统有限差分方程的建立一维热传导系统有限差分方程的建立(无限长杆为例讨论)令一维区域的长度为L，材料的各项热物性值均为常数且已知，初始条件已知为T0，边界条件则为边界上的温度固定并已知为Tw。这样就构成了下面的方程组：导热方程：初始条件为；Ti0=T0(I=1,2,3,m-1)边界条件为：Tit=T0Tmt=Tw(t表示任意时刻)我们的目标是求T(x,t)。 Teaching Materials/Yuandong Li59Teaching Materials/Yuandong Li60一维热传导系统一维热传导系统建立差分方程式时，基本数学表达式为：（212） 将整个系统剖分为m个节点，对每一个节点均有： （213） Teaching Materials/Yuandong Li61一维热传导系统一维热传导系统(续）续）完整的差分方程为：完整的差分方程为： （2 21414） 式中：利用方程（214）即可计算各节点随时间的变化，在不同时刻的温度值，即可求得问题的解。(见下图） Teaching Materials/Yuandong Li62显式差分格式求解的程序框图显式差分格式求解的程序框图 开始时，各个节点的温度Tit有初始条件和边界条件确定；求解第一排节点的温度；依次类推，直到所有节点计算完毕。即； 上述所建立的差分方程有一个明显的特点，即tt时刻的温度值必须由t时刻与I节点最邻近的节点的温度进行求解，每一个节点的温度都可以进行单独求解，称这种差分格式为显式差分格式。 开始输入参数值温度场计算Ti,j,k,1/2，由上式可见，当t时刻i节点温度Tit越大，则t+t时刻I节点温度值Tit+t越小。如此继续下去，在i节点会出现温度小于绝对零的值，这显然是违反热力学第二定律的。热力学第二定律指出，一切自发过程，如高温到低温传热，气体由高压区扩散到低压区，都是不可逆的，一直进行到平衡为止。如果f1/2，则当t0时，全部切点的温度Tit+t的值总是处于Ti-1t， Tit，Ti+1t三个值的最大值与最小值之间的某个中间数值。这一事显然是符合热力学第二定律的。Teaching Materials/Yuandong Li75关于隐式差分方程无条件稳定的问题，可作如下解释。按照热力学的观点来看，一个无内热源区域内的导热过程，在已知区城内初始温度分布及整个区域边界温度分布的情况下，区域内任意一个点i，在任何时刻的温度都不应该大于韧始温度分布或边界温度分布中的最大值，也不应该小于初始温度或边界温度分布中的最小值。换句话说，一个过程的极值温度只能出现在初始条件或边界条件之中用隐式格式进行温度场计算：，正是符合上述这种物理过程的。将隐式差分方程稍加整理，可得假定t+t时刻，在区域内某一节点i处取得区域内最大温度值，即Tit+t这一时刻区域内的最高温度Teaching Materials/Yuandong Li76关于隐式差分方程无条件稳定的问题前面等号右边括号内三项的代数和必然大于零，从而，必然有TitTit+t。也就是说，在t时刻，区域内的最大温度必然大于t+t时刻区域内的温度最大值。依此类推，必然将最大温度值或推到初始条件、或推到边界条件。倘若假定t+t时刻在区域内某一点i处取得区域内最小温度值，式中括号内三项代数和必然小于零，则TitTit+t。按照上面的分析方法可知，整个过程的温度最小值，必然出现在边界条件或初始条件中。总之，上式这个计算公式不管f取任何值，它的运算逻辑都是符合热力学原理的。也即隐式差分格式是无条件稳定的。Teaching Materials/Yuandong Li77w1. 差分格式必须满足相容性差分格式必须满足相容性w即差分格式的时间步长和空间步长趋于0时，差分方程应趋近于微分方程。同理，定解条件的差分形式也应趋近于原定解条件。即从微分方程定解问题到差分格式这个过程应该是可逆的，否则即称为不满足相容性要求。 1.差分格式必须满足相容性。2.差分格式的解必须满足收敛性。3.应尽量保证差分格式解的精确性 Teaching Materials/Yuandong Li782差分格式的解必须满足收敛性差分格式的解必须满足收敛性 即当x, y, t 00时，数值解应趋近于精确解3应尽量保证差分格式解的精确性。应尽量保证差分格式解的精确性。即差分格式中代数方程组的解接近微分方程定解问题的程度。 上面所建立的差分格式经证明满足相容性和收敛性。下面介绍在求解过程中稳定性和解的精度计算。 Teaching Materials/Yuandong Li79w对各种差分格式，可推导出一个统一的稳定性判据为： 为加权系数。 对显式差分格式，满足稳定性的条件为： 即相应的，在二维条件下， 其中推导过程Teaching Materials/Yuandong Li81w因此在应用显式差分方程进行求解时，必须满足上述条件。当x一定时，时间步长即为一定值，而不是随意的。对于完全隐式差分格式，则是无条件稳定的，即不受边界条件，时间步长的选取和单元体剖分的限制。 Teaching Materials/Yuandong Li82w从热传导的物理概念出发，确定一维显式差分格式的稳定性条件，一维显式差分格式如下：在极端条件下：应为同负号。即要正时，都为正；要负时，都为负。Teaching Materials/Yuandong Li83w因此有：同理，可以证明二维和三维条件下的稳定性条件。BACKTeaching Materials/Yuandong Li842解的精确性解的精确性如果从截断误差的角度来讲，显式差分格式的截断误差为x，y的同阶小量。而在实际上，影响解的精确性的因素很多，如计算机的计算误差，对边界条件和初始条件处理时带来的误差等，因此在计算时，必须对偶然误差尽量避免，以提高解的精确性。 Teaching Materials/Yuandong Li85隐式差分格式隐式差分格式式218等号左端用一阶差商代替温度对时间的一阶偏微商；等式右端在用差商近似微商时，温度对距离的二阶偏微商用所对应的值，则式218相应的差分方程为：（219） 将上式整理后即得到以为热传导问题偏微分方程的隐式差分方程式： （220） Teaching Materials/Yuandong Li863.3.4边界条件的差分化边界条件的差分化 w在得到内部节点的差分方程以后，为了能使差分方程得到唯一的定解，还需要建立相应的具体问题的初始条件和边界条件的差分方程，即初始和边界条件的差分化，并且与差分方程进行联立求解。而初始条件和边界条件的处理影响解的精度，并决定了数值解的实际物理意义，因此必须对边界条件进行比较合理的差分化。 Teaching Materials/Yuandong Li87w物体内部的温度场必然受到物体表面条件的影响。反之，物体内部的温度场的变化也影响着表面止的条件，因此为了数值求解，还必须建立边界点的差分方程。w边界条件分类：w第一类：给定边界温度Tw=f(t)w第二类：给定边界热流密度 qw=f(t)w第三类：给定边界的对流换热和辐射换热条件qw=hc(Tw-Tf)或qw=0(T14-T24)Teaching Materials/Yuandong Li88以二维例一、给定边界温度AD面上给定温度Tw，把AD面上任一节点(i,j)及其相邻节点取出分析，如右下图，对这些边界单元直接写出结果：Tti,j=TwTeaching Materials/Yuandong Li89二、给定热流密度qww把BC面上的任一节点(i,j)及其相邻节点取出分析，根据傅立叶定律：边：边：边：边：积蓄的热量：Teaching Materials/Yuandong Li90w根据能量守恒定律得：设x=y，且f为傅立叶数。因此得：Teaching Materials/Yuandong Li91三、给定边界对流换热条件w把CD面上的任一节点(i,j)及其相邻节点取出分析，根据傅立叶定律：边：边：边：边：积蓄的热量：Teaching Materials/Yuandong Li92w根据能量守恒定律得：设x=y，且因此得：Teaching Materials/Yuandong Li93四、绝热边界w把AB面上的任一节点(i,j)及其相邻节点取出分析，根据傅立叶定律：边：边：边：边：积蓄的热量：Teaching Materials/Yuandong Li94w根据能量守恒定律得：设x=y，且因此得：Teaching Materials/Yuandong Li95五、辐射边界wAD面上受辐射热流的作用，把AD面上的任一节点(i,j)及其相邻节点取出分析，根据傅立叶定律：边：边：边：边：积蓄的热量：Teaching Materials/Yuandong Li96w根据能量守恒定律得：设x=y，且因此得：Teaching Materials/Yuandong Li97六、混合边界（思考）Teaching Materials/Yuandong Li98