1引例引例导数的定义导数的定义导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系可导与连续的关系求导举例求导举例第一节第一节 导数的概念导数的概念(derivative)第二章第二章 导数与微分导数与微分2例例1 1直线运动的瞬时速度问题直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动一质点作直线运动,已知路程已知路程 s 与时间与时间 t 的的试确定试确定t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).一、一、引例引例关系关系 这段时间内的这段时间内的平均速度平均速度在每个时刻的速度在每个时刻的速度.解解若运动是若运动是匀速的匀速的, 平均速度就等于质点平均速度就等于质点质点走过的路程质点走过的路程,00tttD D+ +从时刻从时刻3它越近似的它越近似的定义为定义为并称之为并称之为t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).若运动是若运动是非匀速非匀速的的,平均速度平均速度是这段是这段时间内运动快慢的平均值时间内运动快慢的平均值, 越小越小,表明表明 t0 时运动的快慢时运动的快慢. 因此因此, 人们把人们把 t0时的速度时的速度0limD Dt此式既是它的定义式此式既是它的定义式,又指明了它的计算又指明了它的计算瞬时速度是路程对时间的变化率瞬时速度是路程对时间的变化率.注注注注方法方法,4处切线的斜率处切线的斜率.已知曲线的方程已知曲线的方程确定点确定点 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,C在点在点M处的处的切线切线.如图如图,割线的极限位置割线的极限位置 切线位置切线位置.例例2 2曲线在一点的切线问题曲线在一点的切线问题5割线割线MN的斜率为的斜率为切线切线MT的斜率为的斜率为0limxx7定义定义函数函数与自与自平均变化率平均变化率. .二、导数的定义二、导数的定义8存在存在,平均变化率的极限平均变化率的极限:(derivative)或有导数或有导数.则称此极限值为则称此极限值为或或可用下列记号可用下列记号处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.当极限当极限(1)式不存在时式不存在时, 就说函数就说函数 f (x)在在x09注：注：当当(1)式的极限为式的极限为有时也说在有时也说在x0处导数是正处导数是正(负负)无穷大无穷大,正正(负负)无穷时无穷时,但这时但这时导数不存在导数不存在.10注注导数定义可以写成多种形式导数定义可以写成多种形式:或或特别特别，11关于导数的说明关于导数的说明(1) 点导数是因变量在点点导数是因变量在点x0处的变化率处的变化率, 它反映了它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.(2) 如果函数如果函数y = f (x)在开区间在开区间 I 内的每点处都可导内的每点处都可导,就称函数就称函数 f (x)在开区间在开区间 I 内可导内可导.记作记作(3) 对于任一对于任一都对应着都对应着 f (x)的一个确定的导数值的一个确定的导数值.这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数f (x)的的导函数导函数.12注注即即或或13例例 用导数表示下列极限用导数表示下列极限15右导数右导数4. 单侧导数单侧导数 左导数左导数(left derivative)(right derivative)16处的可导性处的可导性.此性质常用于判定此性质常用于判定分段函数分段函数在在 分段点分段点如果如果在开区间在开区间内可导内可导,都存在都存在,17三、求导举例三、求导举例( (几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数) ) 步步 骤骤 18例例解解即即19和差化积公式：和差化积公式：20例例解解即即同理可得同理可得21例例解解即即更一般地更一般地如如22例例解解即即23例例解解即即24例例解解即即251.几何意义几何意义即即四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义26特别地特别地:)(,()(, 0)()1(000xfxxfyxf在点在点则曲线则曲线若若= = = ;轴轴的切线平行于的切线平行于Ox27例例解解得切线斜率为得切线斜率为由由导数的几何意义导数的几何意义,所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为即即即即282.物理意义物理意义路程对时间的导数为物体的瞬时速度路程对时间的导数为物体的瞬时速度;变速直线运动变速直线运动30该点必连续该点必连续. .定理定理如果函数如果函数则函数在则函数在五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系在点在点x处可导处可导, ,证证即即根据函数极限与无穷小的关系，可知根据函数极限与无穷小的关系，可知所以所以, ,31如如, ,该定理的逆定理不一定成立该定理的逆定理不一定成立.注注连续是可导的必要条件连续是可导的必要条件, ,不是可导的充分条件不是可导的充分条件. .32例例解解33为了使为了使 f(x) 在在x0处可导处可导, 解解 首先函数必须在首先函数必须在x0处连续处连续.由于由于故应有故应有应如何选取应如何选取a,b ?34又因又因从而从而,当当 f(x) 在在x0处可导处可导.35导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导; 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.六、小结六、小结36判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.37思考题思考题(是非题是非题)非非可导可导;但但不可导不可导.38非非但但不可导不可导.39作业作业习题习题2-1(82-1(86页页) )6；9（偶）；（偶）；11；14；16；171，2，3写在书上写在书上