本章内容本章内容 4.1 波动方程波动方程 4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 时谐电磁场时谐电磁场1 在时变场情况下，电场和磁场相互激励，在在时变场情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式传播。磁波的形式传播。电磁场的波动性可用电磁场满足的波动方程电磁场的波动性可用电磁场满足的波动方程来描述，而波动方程是将麦克斯韦方程组来描述，而波动方程是将麦克斯韦方程组进行适当变化后得到的。进行适当变化后得到的。24.1 波动方程波动方程 在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有质，则有 无源区的波动方程无源区的波动方程 波动方程波动方程 二二阶矢量微分方程，阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。揭示电磁场的波动性。 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。间的相互作用关系。 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 波动方程。波动方程。 问题的提出问题的提出电磁波动方程电磁波动方程3同理可得同理可得 推证推证 问题问题 若为有源空间，结果如何？若为有源空间，结果如何？ 若为导电媒质，结果如何？若为导电媒质，结果如何？4 波动方程解的一般形式波动方程解的一般形式 求求解解三三维维方方程程比比较较困困难难，且且解解的的物物理理意意义义不不易易理理解解。下下面面将将方方程程简简化化，再再进进行行求求解解和和分分析析。设设强强度度E只只与与z和和时时间间t有有关关，其其方方向向沿沿x方向，即方向，即 5一维波动方程一维波动方程 解的函数形式解的函数形式 变量变量 波动方程解的诠注波动方程解的诠注 电磁场的波动性电磁场的波动性 现在关心函数变量现在关心函数变量 。 考虑第一项考虑第一项 代表的物理意义。代表的物理意义。 设设f+ +的的波波形形当当变变量量 时时为为最最大大值值。令令波波形形最最大大值值的的位置为位置为z=zmax6t00t1vt1t2vt2t3vt3t4vt4z不同时刻波形最大值出现的位置不同时刻波形最大值出现的位置t=0，zmax=0；t=t1 0，zmax= vt10； 沿沿z方向传播方向传播 图形移动速度，即电磁波速度图形移动速度，即电磁波速度 t=t2 t1，zmax= vt2vt10；t5vt57波动方程及其解的进一步说明波动方程及其解的进一步说明 同理可得第二项表示沿同理可得第二项表示沿- -z方向传播的波方向传播的波 波波动动方方程程的的解解代代表表两两个个沿沿相相反反方方向向传传播播的的波波，具具体体选选择择视视具具体情况而定体情况而定 三维波动方程的解仍然代表传播的波，但无法用图形描绘三维波动方程的解仍然代表传播的波，但无法用图形描绘 满满足足波波动动方方程程的的电电磁磁场场，以以振振荡荡形形式式在在空空间间中中传传播播，形形成成电电磁波，其传播速度为磁波，其传播速度为 ，真空中，真空中 84.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 讨论内容内容 位函数的性质位函数的性质 位函数的定义位函数的定义 位函数的规范条件位函数的规范条件 位函数的微分方程位函数的微分方程9引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。 引入位函数的意义引入位函数的意义 位函数的定义位函数的定义10 位函数的不确定性位函数的不确定性 满满足足下下列列变变换换关关系系的的两两组组位位函函数数 和和 能能描描述述同一个电磁场问题。同一个电磁场问题。即即也就是说，也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。 不同位函数之间的上述变换称为规范变换。不同位函数之间的上述变换称为规范变换。 原因：原因：未规定未规定 的散度。的散度。为任意可微函数为任意可微函数11除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即 在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即 位函数的规范条件位函数的规范条件 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得的散度使位函数满足的方程得以简化。以简化。12 位函数的微分方程位函数的微分方程13同样同样14 说明说明 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点具有什么特点? 问题问题 应用洛仑兹条件的特点：应用洛仑兹条件的特点： 位函数满足的方程在形式上是对称位函数满足的方程在形式上是对称 的的，且且比比较较简简单单，易易求求解解； 解解的的物物理理意意义义非非常常清清楚楚，明明确确地地 反映出电磁场具有有限的传递速度；反映出电磁场具有有限的传递速度； 矢量位只决定于矢量位只决定于J，标，标 量位只决定于量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出这对求解方程特别有利。只需解出A，无需，无需 解出解出 就可得到待求的电场和磁场。就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用用不不同同的的规规范范条条件件，矢矢量量位位A和和标标量量位位 的的解解也也不不相相同同，但但最最终终 得到的电磁场矢量是相同的。得到的电磁场矢量是相同的。15达朗贝尔方程和位函数的波动性达朗贝尔方程和位函数的波动性 电荷产生标量位波动电荷产生标量位波动 电流产生矢量位波动电流产生矢量位波动 离离开开源源后后，位位函函数数以以波波动动的的形形式式存存在在并并传传播播，由由此此决决定定电电磁磁场也以波动的形式存在和传播场也以波动的形式存在和传播164.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 讨论内容内容 坡印廷定理坡印廷定理 电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系 坡印廷矢量坡印廷矢量17 能能量量守守恒恒定定律律是是一一切切物物质质运运动动过过程程遵遵守守的的普普遍遍规规律律，作作为为特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。 本本节节将将详详细细讨讨论论电电磁磁场场的的能能量量和和能能量量守守恒恒定定律律，引引入入重重要要的的坡坡印印廷廷矢矢量量和和坡坡印印廷廷定定理理，分分析析讨讨论论电电磁磁场场能能量量、电电荷荷电电流运动及电磁场做功之间的相互联系。流运动及电磁场做功之间的相互联系。 电磁能量问题有关概念电磁能量问题有关概念 电电磁磁场场的的能能量量密密度度：电电磁磁场场能能量量的的空空间间分分布布用用能能量量密密度度w来来描描述述，它它表表示示单单位位体体积积中中电电磁磁场场的的能能量量，通通常常是是坐坐标标与与时时间间的的函数，即函数，即 18 电电磁磁场场的的能能量量流流密密度度：电电磁磁波波电电磁磁振振荡荡定定向向运运动动伴伴随随电电磁磁场场能能量量移移动动，其其流流动动情情况况用用电电磁磁场场能能量量流流密密度度( (能能流流密密度度) )S表表示示。S是是矢矢量量，数数值值为为单单位位时时间间垂垂直直流流过过单单位位面面积积的的能能量量，方方向为能量流动方向，一般是坐标和时间的函数，即向为能量流动方向，一般是坐标和时间的函数，即 电磁场的能量流通量：电磁场的能量流通量：通过面积通过面积 的能量流通量为的能量流通量为 电磁场对连续电荷系统做的功：电磁场对连续电荷系统做的功：对单位体积电荷做功的功率对单位体积电荷做功的功率对体积对体积V中中电荷做功的功率电荷做功的功率 电电磁磁场场对对电电荷荷系系统统做做的的功功：电电磁磁场场中中运运动动速速度度为为v的的电电荷荷q受受到的电磁场作用力，功率到的电磁场作用力，功率19 进入体积进入体积V的能量体积的能量体积V内增加的能量体积内增加的能量体积V内损耗的能量内损耗的能量电场能量密度能量密度：磁磁场能量密度能量密度：电磁能量密度磁能量密度：空空间区域区域V中的中的电磁能量磁能量： 特点特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动。时间改变，从而引起电磁能量流动。 电磁能量守恒关系：电磁能量守恒关系： 电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系20 其中其中： 单位时间内体积单位时间内体积V 中所增加中所增加 的电磁能量的电磁能量 单位时间内电场对体积单位时间内电场对体积V中的电流所做的功；中的电流所做的功； 在导电媒质中，即为体积在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率内总的损耗功率 通过曲面通过曲面S 进入体积进入体积V 的电磁功率的电磁功率 表征电磁能量守恒关系的定理表征电磁能量守恒关系的定理积分形式：积分形式： 坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式：21在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有将以上两式相减，得到将以上两式相减，得到由由 推证推证22即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式：在在任任意意闭闭曲曲面面S 所所包包围围的的体体积积V上上，对对上上式式两两端端积积分分，并并应应用用散散度度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式定理，即可得到坡印廷定理的积分形式 物理意义：物理意义：单位时间内，通过曲面单位时间内，通过曲面S 进入体积进入体积V的电磁能量等于的电磁能量等于 体积体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。23 定义：定义： ( W/m2 ) 物理意义物理意义： 的方向的方向 电磁能量传输的方向电磁能量传输的方向 的大小的大小 通过垂直于能量传输方通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率向的单位面积的电磁功率 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 坡印廷矢量坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）（电磁能流密度矢量）24 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为、外导体的内半径为b，其间填充均匀的，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过的电流为，导体中流过的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体表面进入每为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。单位长度内导体的功率。同同轴线25 解：解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为外导体之间的电场和磁场分别为内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量26电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载，如图所示。负载，如图所示。穿过任意横截面的功率为穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）（理想导体情况）27 （2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场向的电场内内根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为因此，在内导体表面外侧的电场为内磁场则仍为磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为内导体表面外侧的坡印廷矢量为同同轴线中的中的电场、磁、磁场和坡印廷矢量和坡印廷矢量（非理想（非理想导体情况）体情况）28式中式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。由此可见，内导体表面外由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如分量，也有径向分量，如图所示。图所示。进入每单位长度进入每单位长度内导体的功率为内导体的功率为 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。同同轴线中的中的电场、磁、磁场和坡印廷矢量和坡印廷矢量（非理想（非理想导体情况）体情况）294. 4 惟一性定理惟一性定理 在以闭曲面在以闭曲面S为边界的有界区域为边界的有界区域V 内，内，如果给定如果给定t0 时刻的电场强度和磁场强度时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t 0 时，区域时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。 惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。克斯韦方程的解的惟一问题。 惟一性问题惟一性问题30 惟一性定理的证明惟一性定理的证明 利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟内的解不是惟一的，那么至少存在两组解一的，那么至少存在两组解 、 和和 、 满足同样的满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。则在区域则在区域V 内内 和和 的初始值为零；在边界面的初始值为零；在边界面S 上电场强度上电场强度 的的切向分量为零或磁场强度切向分量为零或磁场强度 的切向分量为零，且的切向分量为零，且 和和 满足麦满足麦克斯韦方程克斯韦方程令令31根据坡印廷定理，应有根据坡印廷定理，应有所以所以由于场的初始值为零，将上式两边对由于场的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得积分，可得根据根据 和和 的边界条件，上式左端的被积函数为的边界条件，上式左端的被积函数为32上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有（证毕）（证毕）即即 惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。应用。 334. 5 时谐电磁场时谐电磁场 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 时谐场的位函数时谐场的位函数 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量34 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。 研究时谐电磁场具有重要意义研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。的载波等都是时谐电磁场。 任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。同频率的时谐场的叠加。4.5.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示35复数表示法可以使大多数正弦场问题得以简化，复数表示法可以使大多数正弦场问题得以简化，复数表示法可以使大多数正弦场问题得以简化，复数表示法可以使大多数正弦场问题得以简化，但有时仍需用实数形式（称为瞬时表示法），所但有时仍需用实数形式（称为瞬时表示法），所但有时仍需用实数形式（称为瞬时表示法），所但有时仍需用实数形式（称为瞬时表示法），所以经常会遇到两种表示法的互换以经常会遇到两种表示法的互换以经常会遇到两种表示法的互换以经常会遇到两种表示法的互换 另外，对于能量密度、能流密度等含有场量的平另外，对于能量密度、能流密度等含有场量的平另外，对于能量密度、能流密度等含有场量的平另外，对于能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量（称为二次式），只能用瞬时的方关系的物理量（称为二次式），只能用瞬时的方关系的物理量（称为二次式），只能用瞬时的方关系的物理量（称为二次式），只能用瞬时的形式来表示形式来表示形式来表示形式来表示36 时谐电磁场可用复数方法来表示时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问，使得大多数时谐电磁场问题的分析得以简化。题的分析得以简化。 设设 是是一一个个以以角角频频率率 随随时时间间t t 作作正正弦弦变变化化的的场场量量，它它可可以以是是电电场场和和磁磁场场的的任任意意一一个个分分量量，也也可可以以是是电电荷荷或或电电流流等等变变量量，它与时间的关系可以表示成它与时间的关系可以表示成其中其中时间因子时间因子空间相位因子空间相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的A0为振幅、为振幅、 为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。实数表示法或实数表示法或瞬时表示法瞬时表示法复数表示法复数表示法复振幅复振幅 时谐电磁场的时谐电磁场的复数表示复数表示37 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。照此法，矢量场的各分量照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 各分量合成以后，电场强度为各分量合成以后，电场强度为 有关复数表示的进一步说明有关复数表示的进一步说明复矢量复矢量 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。 由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有 关的部分就可表示复矢量。关的部分就可表示复矢量。38 复数表示法与瞬时表示法的变换复数表示法与瞬时表示法的变换瞬时表示法瞬时表示法 复数表示法复数表示法 不含时间因子不含时间因子的复数表示法的复数表示法 恢复时间因子恢复时间因子取实部得到瞬时表示法，即瞬时场取实部得到瞬时表示法，即瞬时场39 例例 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式（2）解：解：（1）由于）由于（1）所以所以40（2）因为）因为 故故 所以所以 41 例例 已知电场强度复矢量已知电场强度复矢量解解其中其中kz和和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量为实常数。写出电场强度的瞬时矢量42以电场旋度方程以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得为例，代入相应场量的矢量，可得 将将 、 与与 交换次序，得交换次序，得上式对任意上式对任意 t 均成立。令均成立。令 t0 ，得，得4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程令令t/2 ，得，得即即43从从形形式式上上讲讲，只只要要把把微微分分算算子子 用用 代代替替，就就可可以以把把时时谐谐电电磁磁场场的的场场量量之之间间的的关关系系，转转换换为为复复矢矢量量之之间间关关系系。因因此此得得到到复复矢矢量的麦克斯韦方程量的麦克斯韦方程 略去略去“.”和下标和下标m44对复数形式麦氏方程的 说明 方程中的各量都不包含时间因子，各量均与时间无关方程中的各量都不包含时间因子，各量均与时间无关 因因为为 ，所所以以时时间间偏偏导导数数作作用用于于复复数数形形式的场量时，相当于在场量前乘上式的场量时，相当于在场量前乘上j ，如如例例 4.5.3已已知知电电场场强强度度为为，其其中中Exm和和 kz为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。解：解：45例例 已已知知电电场场强强度度为为，其其中中Exm和和 kz为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。解解：46 例例：已知正弦电磁场的电场瞬时值为：已知正弦电磁场的电场瞬时值为式中式中 解解：（1）因为）因为故电场的复矢量为故电场的复矢量为试求：（试求：（1）电场的复矢量）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。）磁场的复矢量和瞬时值。47（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量磁场强度瞬时值磁场强度瞬时值48实际的介质都存在损耗：实际的介质都存在损耗： 导电媒质导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗。当电导率有限时，存在欧姆损耗。 电介质电介质受到极化时，存在电极化损耗。受到极化时，存在电极化损耗。 磁介质磁介质受到磁化时，存在磁化损耗。受到磁化时，存在磁化损耗。 损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。4.5.3 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 导电媒质的等效介电常数导电媒质的等效介电常数其中其中 c= -j/、称为导电媒质的等效介电常数。、称为导电媒质的等效介电常数。 对于介电常数为对于介电常数为 、电导率为、电导率为 的导电媒质，有的导电媒质，有49 电介质的复介电常数电介质的复介电常数 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质 磁介质的复磁导率磁介质的复磁导率 对对于于存存在在电电极极化化损损耗耗的的电电介介质质，有有 ，称称为为复复介介电电常常数数或或复复电电容容率率。其其虚虚部部为为大大于于零零的的数数，表表示示电电介介质质的的电电极极化化损损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。 对对于于同同时时存存在在电电极极化化损损耗耗和和欧欧姆姆损损耗耗的的电电介介质质，复复介介电电常常数数为为 对对于于磁磁性性介介质质，复复磁磁导导率率数数为为 ，其其虚虚部部为为大大于于零的数，表示磁介质的磁化损耗。零的数，表示磁介质的磁化损耗。50 损耗角正切损耗角正切 导电媒质导电性能的相对性导电媒质导电性能的相对性电介质电介质导电媒质导电媒质磁介质磁介质 弱导电媒质和良绝缘体弱导电媒质和良绝缘体 一般导电媒质一般导电媒质 良导体良导体 工工程程上上通通常常用用损损耗耗角角正正切切来来表表示示介介质质的的损损耗耗特特性性，其其定定义义为为复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有 导导电电媒媒质质的的导导电电性性能能具具有有相相对对性性，在在不不同同频频率率情情况况下下，导导电电媒质具有不同的导电性能。媒质具有不同的导电性能。51导电媒质导电媒质理想介质理想介质4.5.4 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 在在时时谐谐时时情情况况下下，将将 、 ，即即可可得得到到复复矢矢量量的的波波动动方程，称为亥姆霍兹方程。方程，称为亥姆霍兹方程。瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量524.5.5 时谐场的位函数时谐场的位函数 在在时时谐谐情情况况下下，矢矢量量位位和和标标量量位位以以及及它它们们满满足足的的方方程程都都可可以以表示成复数形式。表示成复数形式。洛仑兹条件洛仑兹条件达朗贝尔方程达朗贝尔方程瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量534.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 二二次次式式本本身身不不能能用用复复数数形形式式表表示示，其其中中的的场场量量必必须须是是实实数数形式，不能将复数形式的场量直接代入。形式，不能将复数形式的场量直接代入。 设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为 电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。关系，这种关系式称为二次式。 时谐场中时谐场中二次式的表示方法二次式的表示方法54则能流密度为则能流密度为 如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有先取实部，再代入先取实部，再代入 55使用二次式时需要注意的问题使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数形式二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应先取实部再代入，即场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘先取实后相乘” 如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子56 二次式的时间平均值二次式的时间平均值 在时谐电磁场中，常常要在时谐电磁场中，常常要关心关心二次式二次式在一个时间周期在一个时间周期 T 中的中的 平均值，即平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量平均电场能量密度平均电场能量密度平均磁场能量密度平均磁场能量密度 在时谐电磁场中，二次式在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有算，有57则平均能流密度矢量为则平均能流密度矢量为 如果电场和磁场都用复数形式给出，即有如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 时间平均值与时间无关时间平均值与时间无关 例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出都用实数形式给出58 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他 时变电磁场；而时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。只适用于时谐电磁场。 在在 中中， 和和 都是实数形式且是都是实数形式且是 时间的函数，所以时间的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流也是时间的函数，反映的是能流密度密度 在某一个瞬时的取值；而在某一个瞬时的取值；而 中的中的 和和 都是复矢量，与时间无关，所以都是复矢量，与时间无关，所以 也也与时间无与时间无 关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。 利利用用 ，可可由由 计算计算 ，但不能直，但不能直 接由接由 计算计算 ，也就是说，也就是说 关于关于 和和 的几点说明的几点说明59 解解：（1）由得）由得（2）电场和磁场的瞬时值为）电场和磁场的瞬时值为 例例4.5.6已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为为 ，其中，其中k 和和 E0 为常数。求：为常数。求：（1）磁场强度复矢）磁场强度复矢量量 ；（；（2）瞬时坡印廷矢量）瞬时坡印廷矢量 ；（；（3）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量 。60 （3）平均坡印廷矢量为）平均坡印廷矢量为或直接积分，得或直接积分，得瞬时坡印廷矢量为瞬时坡印廷矢量为61 例例 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为解解:(1)由于由于(2)所以所以其中其中E0、H0 和和 k 为常数。求：为常数。求：(1) w 和和 wav ；(2) S 和和 Sav。62例例4.5.8 已知截面为已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为的矩形金属波导中电磁场的复矢量为式中式中H0 、都是常数。试求：（都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。）平均坡印廷矢量。 解：解：（1） 和和 的瞬时值为的瞬时值为63（2）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量64