圆题型分类资料 一 圆的有关概念： 1.下列说法：直径是弦 弦是直径 半圆是弧，但弧不一定是半圆 长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2下列命题是假命题的是（ ） A直径是圆最长的弦 B长度相等的弧是等弧 C在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等 D如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3.下列命题正确的是 （ ） A三点确定一个圆 B长度相等的两条弧是等弧 C一个三角形有且只有一个外接圆 D. 一个圆只有一个外接三角形 4.下列说法正确的是( ) A相等的圆周角所对的弧相等 B圆周角等于圆心角的一半 C长度相等的弧所对的圆周角相等 D直径所对的圆周角等于 90 5.下面四个图中的角，为圆心角的是( ) PMN MPN OMPN MON A B C D 二和圆有关的角： 1. 如图 1，点 O 是ABC 的内心，A=50，则BOC=_ OCAB 图 1 图 2 2.如图 2，若 AB是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD=58 ，则BCD 的度数为( ) A.116 B.64 C. 58 D.32 3. 如图 3，点 O 为优弧 AB 所在圆的圆心，AOC=108 ，点 D 在 AB 的延长线上，BD=BC，则D 的度数为 DOABC OCADB CAOBD 图 3 图 4 4. 如图 4，AB、AC 是O 的两条切线，切点分别为 B、C，D 是优弧 BC 上的一点，已知BAC80， 那么BDC_度 5. 如图 5，在O 中， BC 是直径，弦 BA，CD 的延长线相交于点 P，若P50 ，则AOD DAOCPB COAB 图 5 图 6 6. 如图 6，A，B，C，是O 上的三个点，若AOC110 ，则ABC 7.圆的内接四边形 ABCD 中，A：B：C=2：3：7，则D 的度数为 。 8. 若O 的弦 AB 所对的劣弧是优弧的13，则AOB . 9.如图 7，AB是O 的直径，C、D、E 都是O 上的点，则12=_ 21AOBECD OABC 图 7 图 8 10.如图 8， ABC 是eO 的内接三角形， 点 C 是优弧 AB 上一点 （点 C 不与 A， B 重合） ， 设OAB，C （1）当35o时，求的度数； （2）猜想与之间的关系为 11.已知：如图 1，四边形 ABCD 内接于O，延长 BC 至 E，求证：A+BCD=180，DCE=A； 如图 2，若点 C 在O 外，且 A、C 两点分别在直线 BD 的两侧，试确定A+BCD 与 180的大小关系； 如图 3，若点 C 在O 内，且 A、C 两点分别在直线 BD 的两侧，试确定A+BCD 与 180的大小关系。 ECOABD OCABD OCABD 图 1 图 2 图 3 12.如图，四边形 ABCD 是eO 的内接四边形，四边形 ABCO 是菱形 （1）求证：ABBC； （2）求D的度数 CAOBD 13.（1） 如图eO 的直径， AC 是弦， 直线 EF 和eO 相切于点 C，ADFE， 垂足为 D， 求证CADBAC ； FOCABD （2）如图（2） ，若把直线 EF 向上移动，使得 EF 与eO 相交于 G，C 两点（点 C 在 G 的右侧） ，连结 AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与CAD 相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由。 EFCGOADB 三和圆有关的位置关系： （一）点和圆的位置关系： 1.已知O 的半径为 4，A为线段 PO 的中点，当 OP =10 时，点 A与O 的位置关系为（ ） A在圆上 B在圆外 C在圆内 D不确定 2. 如图，在 RtABC 中ACB90，AC6，AB10，CD 是斜边 AB 上的中线，以 AC 为直径作O，设线段 CD 的中点为 P，则点 P 与O 的位置关系是点 P（ ） 。 A. 在O 内 B. 在O 上 C. 在O 外 D. 无法确定 PDOBCA 3.如图 1， 已知Oe的半径为 5，点O到弦AB的距离为 3， 则Oe上到弦AB所在直线的距离为 2 的点有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 BOA BOA 图 1 备用图 4.变式训练：如图 1，已知O 的半径为 5，点O到弦AB的距离为 3，则O 上到弦AB所在直线的距离为 1 的点有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5. RtABC 中，C=90，AC=2，BC=4，如果以点 A 为圆心，AC 为半径作A，那么斜边中点 D 与O 的位置关系是（ ） A点 D 在A外 B点 D 在A上 C点 D 在A内 D无法确定 （二）直线和圆的位置关系： 1.如图，在 RTABC 中，C=90 ，B=30 ，BC=34cm，以点 C 为圆心，以32cm 的长为半径，则C 与AB的位置关系是 ； CBA 2.如图，已知 AB是O 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使得 AC=3BC，CD 与O 相切，切点为 D.若 CD=3，则线段 BC 的长度等于_. DCABO 3.如图 Rt ABC 中C=90 ，A=30 ，在 AC 边上取点 O 画圆使O 经过 A、B 两点，下列结论中: AO=2CO； AO=BC； 以 O 为圆心，以 OC 为半径的圆与 AB相切； 延长 BC 交O 于 点 D，则 A、B、D 是O 的三等分点，正确的序号是 OABC 4.如图， AB是O 的直径， O 交 BC 的中点于 D， DEAC 于 E， 连接 AD， 则下列结论： ADBC； EDA=B；AD=AO；AB=AC；DE 是O 切线.正确的是_. ECDBOA 5. 如图，AOB=30，M 为 OB 边上一点，以 M 为圆心、2 为半径作M. 若点 M 在 OB 边上运动，则当 OM 时，M 与 OA 相切；当 OM 满足 时，M 与 OA 相交；当 OM 满足 时，M 与 OA 相离. MBOA 6. 在 RtABC 中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB有何位置关系？为什么？ （1）r=2cm； （2）r=2.4cm； （3）r=3cm CAB 7. 已知：如图，在ABC 中，D 是 AB 边上一点，圆 O 过 D、B、C 三点， DOC=2 ACD=90 。 (1) 求证：直线 AC 是圆 O 的切线； (2) 如果 ACB=75 ，圆 O 的半径为 2，求 BD 的长。 ADOBC 8. 如图， 点 A、 B、 C 分别是O 上的点， B=60 ， AC=3， CD 是O 的直径， P 是 CD 延长线上的一点， 且 AP=AC (1)求证：AP 是O 的切线； (2)求 PD 的长 DPCAOB 9.如图，四边形 ABCD 是等腰梯形，ADBC，BC=2，以线段 BC 的中点 O 为圆心，以 OB 为半径作圆，连结 OA交O 于点 M。若点 E 是线段 AD 的中点，AE=3，OA=2，求证：直线 AD 与O 相切。 MADEOBC 10. 如图，已知四边形 OABC 是菱形，O 的 60 ，点 M 是边 OA 的中点.以点 O 为圆心，r 为半径作O 分别交OA，OC 于点 D，E，连接 BM。若 BM7，DE 的长是33. 求证：直线 BC 与O 相切. EDMBCAO 11. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上任意一点，ECF45 ，CF 交 AD 于点 F，将CBE 绕点 C 顺时针旋转到CDP，点 P 恰好在 AD 的延长线上 （1）求证：EFPF； （2）直线 EF 与以 C 为圆心，CD 为半径的圆相切吗？为什么？ PFBCDAE 12. 如图，已知 AB 是eO 的直径，点 D 在eO 上，C 是eO 外一点. 若 AD/OC，直线 BC 与eO 相交，判断直线 CD 与eO 的位置关系，并说明理由. COBAD 13. 如图，ABCD 中，O 为 AB 边上一点，连接 OD，OC，以 O 为圆心，OB 为半径画圆，分别交 OD，OC 于点 P，Q若 OB4，OD6，ADOA，PQ 2 ，判断直线 DC 与O 的位置关系，并说明理由 QPCDOAB 14. 如图，ABCD 中，O 为 BC 边上一点，OD 平分ADC，以 O 为圆心，OC 为半径画圆，交 OD 于点 E，若AB6.ABCD 的面积是 423，弧 EC ，判断直线 AB与O 的位置关系，并说明理由. EBDCOA 15. 已知四边形 ABCD 内接于O，ADC90 ，DCB90 ，对角线 AC 平分DCB ， 延长 DA，CB 相交于点 E (1)如图 1，EBAD，求证：ABE 是等腰直角三角形； (2)如图 2，连接 OE，过点 E 作直线 EF，使得OEF30 当ACE30 时，判断直线 EF 与O 的位置关 系，并说明理由 BEDAOC 图 1 FEBAOCD 图 2 16.已知直线 PA交O 于 A、B，AE 是O 的直径，点 C 为O 上一点，且 AC 平分PAE，过点 C 作 CDPA，垂足为 D. （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 DCDA6，O 的直径为 10，求 AB 的长度. PEDBCOA 17.如图，AB为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 点的切线互相垂直，垂足为 D，AD 交O 于点 E. (1)求证：AC 平分DAB； (2)若B=60 ，CD=2 3，求 AE 的长。 EDOCAB 18.如图，已知 AB是O 的直径，点 C 在O 上，H 是 AC 的中点，且 OH1，A30 (1)求劣弧AC的长； (2)若ABD120 ，BD1，求证：CD 是O 的切线 DHABOC 19.如图，O 是 ABC 的外接圆，AC 是直径，过点 O 作 ODAB 于点 D，延长 DO 交O 于点 P，过点 P 作PEAC 于点 E，作射线 DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接 PF。 (1)若POC=60 ，AC=12，求劣弧 PC 的长；(结果保留 ) (2)求证：OD=OE； (3) PF 是O 的切线。 FEPDAOCB 20.如图，矩形 ABCD 的边 AD、AB分别与O 相切于点 E、F, AE 3. (1)求EF 的长； (2)若 AD 35,直线 MN 分别交射线 DA、DC 于点 M、N，DMN60 ，将直线 MN 沿射线 DA 方向平 移，设点 D 到直线的距离为 d，当时 1 d4 ，请判断直线 MN 与O 的位置关系，并说明理由 NCOFDEABM 21.如图在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA=5，OC=3，E 为 BC 的中点，以 OE 为直径的O 交 x 轴于 D点，过点 D 作 DFAE 于点 F. （1）求证: OCE ABE； （2）求证: DF 为O 的切线； （3）在直线 BC 上是否存在除点 E 以外的点 P，使AOP也是等腰直角三角形，若存在请求出点 P 的坐标，不存在请说明理由. xyOFDEBCOA 22. 如图， 形如量角器的半圆 O 的直径 DE=12cm， 形如三角板的ABC中，90ACB ，30ABC ， BC=12cm.半圆 O 以 2cm/ s 的速度从左向右运动， 在运动过程中， 点 D、 E 始终在直线 BC 上， 设运动时间为 t （s） ， 当 t=0s时，半圆 O 在ABC的左侧，OC=8cm. 当 t 为何值时，ABC的一边与半圆相切？当ABC的一边与半圆 O相切时，如果半圆 O 与直线 DE 围成的区域与ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积. ABCEOD 23.如图，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC，ABC=90o，AB=12cm，AD=10cm，BC=22cm，AB为O 的直径，动点 P 从点 A开始沿 AD 边向 D 点以 1cm/s 的速度运动， 动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动，P、Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。设运动时间为 t(s)。 (1)当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形? (2)当 t 为何值时， PQ 与O 相切? QOABDCP 四和圆有关的计算： （一）有关弦长、半径、弦心距等的计算： 1.半径为 5 的圆中有两条平行弦，长度分别为 4 和 6，则这两条弦之间的距离是 . 2.如图 1，点 P 是半径为 5 的O 内的一点，且 OP=3，设 AB 是过点 P 的O 内的弦，且 ABOP，则弦 AB 长是 ； BAPO yxCBAO 图 1 图 2 3. 在直角坐标系中，一条弧经过网格点 A、B、C，其中点 B 的坐标为（4，4） ，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ； 4.如图，O的直径为 20 cm，弦 AB=16 cm，ABOD ，垂足为D. 则AB沿射线OD方向平移 cm 时可与O相切. DBAO 5.已知，如图，O 是ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F，若 AB=7，AC=8，BC=9，求 AD、BE、CF 的长。 FDEOACB 6.如图，O 是ABC 的外接圆，弦 BD 交 AC 于点 E，连接 CD，且 AEDE，BCCE (1)求ACB 的度数； (2)过点 O 作 OFAC 于点 F，延长 FO 交 BE 于点 G，DE3，EG2，求 AB 的长 OADFGEBC 7. 如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上一点，点 D 在BC上，ADDB，DFAC 的延长线，垂足为 F，BC=3DF，求ABBC的值。 FDBAOC （二）有关弧长的计算： 1.已知扇形的圆心角为 120，扇形面积为为243cm，则此扇形的半径为 cm。 2. 一条弧所对的圆心角是 135 ，弧长等于半径为 5cm 的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径是_cm. 3.如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧AB，已知半径 OA=6cm，AOB=120 ，则管道的长度（即AB的长）为 m. 6m1200BA 4.如图，已知ABC=90 ，AB=r ，2rBC，半径为 r 的O 从点 A 出发，沿 ABC 方向滚动到点 C 时停止。请你根据题意，在图 5 上画出圆心 O 运动路径的示意图；圆心 O 运动的路程是 . ABOC 5.一个滑轮起重装置如图 2 所示，滑轮的半径是 10cm，当重物上升 10cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取14. 3，结果精确到 1） （ ） A、115 B、60 C、57 D、29 A滑轮重物O 5.在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，有一个半径为 1 的硬币与边 AB、AD 相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边 AB、BC、CD、DA 滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是（ ） CDAB A. 1 圈 B. 2 圈 C. 3 圈 D. 4 圈 6.已知一个半圆形工件，未搬动前如图 11 所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，再将它沿地面平移 50m，半圆的直径为 4m，则圆心 O 所经过的路线长是 _m. （结果用 表示） lOOO 7. 如图，边长为 2 的等边ABC，按如图方式翻转三次后点 B 的运动路程是_ BAABC 8.如图，矩形 ABCD 中 AB=1，BC=2，按如图方式旋转 2016 次后点 B 的总路程是 lCBADCBDBAC （三）有关面积的计算： 1.半径为 5，圆心角为 45的扇形的面积为 2. 如图，在 RtABC 中，C90 ，CACB4，分别以 A、B、C 为圆心，以 2 为半径画弧，三条弧与边 AB 所围成的阴影部分面积是 CAB 3.如图，平行四边形 ABCD 中，BC=4，BC 边上高为 3，M 为 BC 中点，若分别以 B、C 为圆心，BM 长为半径画弧，交 AB、CD 于 E、F 两点，则图中阴影部分面积是 。 （用含 的式子表示） BMCFEDA 4.如图，点 E 是半径为 2 的半圆 O 的直径 AB上的一个动点，阴影部分的面积为 DCOABE 5如图，圆心角都是90的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结 AC、BD，则图中阴影部分的面积为_. DBAOC 6.如图 1，正ABC 内接于半径为 1 的圆，则阴影部分的面积是（ ） A334 B34 C32 D3 32 CBA OBCA BAPQOAOB 图 1 图 2 图 3 7 如图 2， 在ABC 中， AB=15， BC=12， AC=9， 圆 O 是ABC 的内切圆， 则圆中阴影部分的面积为 . 8如图 3，两 个 半 径 为 1，圆 心 角 是 90 的 扇 形 OAB 和 扇 形 O A B 叠 放 在 一 起 ，点 O 在AB上 ， 四 边 形 OPO Q 是 正 方 形 ， 则 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 9.如图，以正方形 ABCD 的顶点 D 为圆心画圆，分别交 AD，CD 两边于点 E, F若ABE15 ，BE2， 则扇形 DEF 的面积是 . EFDABC 10.如图，矩形 ABCD 中， AB ，点 E、F 分别为 AD、BC 的中点，以 A为圆心，AE 为半径画弧，交 BF 于点 G，以 E 为圆心，AE 为半径画弧，交 FC 于点 H，交 EF 的延长线于点 M，若两个阴影部分的面积相等，则 AD 的长为_. MHGFECDAB 11.如图，AB 是O 的直径，C 为圆周上的一点，过点 C 的直线 MN 满足MCACBA. (1)求证：直线 MN 是O 的切线； (2)过点 A作 ADMN 于点 D，交O 于点 E，已知 AB6，BC3，求阴影部分的面积. NMEDOCAB 12.如图，OAB 的底边经过eO 上的点 C，且 OA=OB，CA=CB，eO 与 OA、OB 分别交于、两点。 （1）求证：AB 是eO 的切线； （2）若 D 为 OA 的中点，阴影部分的面积为33，求eO 的半径 r。 AECODB （四）有关正多边形的计算： 1.如图，已知正六边形的外接圆半径为 OA=2，则正六边形的面积是 ； DECFOBAG 2周长相等的正三角形和正六边形的面积比是_ 3.如图，正三角形的内切圆半径为 1，那么这个正三角形的边长为 （ ） A. 2 B 3 C3 D 32 O 4. 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为2 3，延长 BA，EF 交于点 O，以 O 为原点，以边 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则直线 DF 与直线 AE的交点坐标是( ， ). OEDFCAB