1.1 给定三个矢量 和 如下：解:(8)1.6 证明：如果 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 为一已知矢量， 而 ， 和 已知，试求 。 解：1.11求标量函数， 的梯度及 在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量 定出；求（2，3，1）点的方向导数值。解：故沿指定方向的方向导数为1.13方程 给出一椭球族。求椭球表面上 任意点的单位法向矢量。解：由于故椭球表面上任意点的单位法向矢量为1.18（1）求矢量）求矢量的散的散度；（度；（2）求）求对中心在原点的一个单位立方对中心在原点的一个单位立方体的积分；（体的积分；（3）求）求对此立方体的表面积分，验对此立方体的表面积分，验证散度定理证散度定理解：（1）（2） 对中心在原点的一个单位立方体的积分（3） 对此立方体的表面积分故有1.21求矢量求矢量沿沿xy平面上的一个边长为平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两个边分别与的正方形回路的线积分，此正方形的两个边分别与x轴和轴和y轴相重合。再求轴相重合。再求对此回路所包围的表面积对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。分，验证斯托克斯定理。解：解：斯托克斯定理：从而验证了斯托克斯定理，即：1.25给定矢量函数 试求从点P1（2，1，1）到点P2（8，2，1）的线积分 （1）沿抛物线 ；（2）沿连接两点的直线。此矢量场是否为保守场。 解（1）（2）连接两点的直线方程为故由此可见积分与路径无关是保守场。问：问：1.哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？ 2.求出这些矢量的源分布。求出这些矢量的源分布。解：根据下面两个重要的恒等式求解：解：根据下面两个重要的恒等式求解：即可由一个标量函数的梯度表示即可由一个标量函数的梯度表示;也可由一个矢量函数的旋度表示。也可由一个矢量函数的旋度表示。2)场源分布场源分布:即可由一个标量函数的梯度表示即可由一个标量函数的梯度表示;2)场源分布场源分布:可由一个矢量函数的旋度表示。可由一个矢量函数的旋度表示。2)场源分布场源分布:补充：补充：在由在由=5，z=0和和z=4围成的圆柱形区域围成的圆柱形区域,对对矢量矢量验证散度定理。验证散度定理。证证:散度定理为：散度定理为：从而验证了散度定理。从而验证了散度定理。