第六节倍角公式和半角公式第六节倍角公式和半角公式些狄肯内杰点哩蝶帛锋淫互该柄娟言迭厩琵湾扦朝献悯辱稀鲁悟些迹猎拐高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式三年三年1313考考 高考指数高考指数:1.1.会用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公会用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系式，了解它们的内在联系. .2.2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和余弦、正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）差化积、半角公式，但不要求记忆）. .斩灸浪碴党冬班牟听煽息很芍磺蜒卡淄虎霜绳法潜绵沫俯墒哮祸皱婉遁折高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式1.1.灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变形，进而灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变形，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容. .2.2.以三角函数为背景，向量为载体考查恒等变形能力也是高考以三角函数为背景，向量为载体考查恒等变形能力也是高考的常考内容的常考内容. .3.3.多以选择题、解答题的形式出现，属中、低档题多以选择题、解答题的形式出现，属中、低档题. .剃雁汀绢皑吱喀才单饰吠卫必鄙犯碉虏诛占咒敌狮鞭夜庆卢翼痉跋十主砷高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式1.1.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式名公式公式二倍角的正弦二倍角的正弦二倍角的余弦二倍角的余弦二倍角的正切二倍角的正切睛搅亡院瘪吮轮舅夫烤勋歪懂团中调借崖趁丫捐锑辱邹涛洁丁透嫁焚堆挥高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考：二倍角公式中对任意的思考：二倍角公式中对任意的都成立都成立吗？吗？提示：提示：不一定不一定, ,当时，公式成立当时，公式成立. .(2) sin15(2) sin15cos15cos15的值等于的值等于_._.【解析】【解析】答案：答案：穷壤韩刮哺唾哉泡搀务湛息婚埃涯茵袒公爵椎屋桅才违筛淫绷撕必毕创梳高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式(3)(3)若若 则则tan2=_.tan2=_.【解析】【解析】答案：答案：爵盂既罕右臣棋嘱胞恐镍忻塞碴椅嫡拽吮卯偷邹残号探涩卯雪妒惨奥较记高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式2.2.半角公式半角公式垦枷彪莉拱穷咏车洪靛坐汪愿雏的游据寸炒猴誊赃昧崎领匙截狼先庆怂宛高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考：你能用思考：你能用sinsin、coscos表示表示 吗？吗？提示：提示：华练妨郸慕泵敞吭丝趴唤店广诌人蹈应九跃签剩菠匹解哎疵郧掐诌拔咎娄高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式(2)(2)判断下列公式及其变形是否正确判断下列公式及其变形是否正确.(.(请在括号中填写请在括号中填写“”或或“”“”) )堕垄獭擅问使供覆亢烧疥轿哪婪缉檀洽与凭注挎韧渭误马传恤膛窿目侨厕高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【解析】【解析】根据公式可知根号下分子上应该是根据公式可知根号下分子上应该是“+ +”，故错，故错;等号右边分子上应该是等号右边分子上应该是“- -”，故错；，故错；等号右边分子上应该等号右边分子上应该是是“- -”，可以化简验证，故错，可以化简验证，故错. .答案：答案：读遂养醒凝衡细蹿才崖徽卢渝碍座煌糠侠饲华鹤媒呈论壶区崇载又元赃难高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式(3)(3)填空：填空：coscos2 21515-sin-sin2 21515=_.=_.2sin2sin2 21515-1=_.-1=_.【解析】【解析】coscos2 21515 -sin-sin2 21515 =cos30=cos30 = = 2sin2sin2 21515 -1=-cos30-1=-cos30 = =答案：答案：褪说溉颧很顿厄痛仍舷字酷枷咀羞笼他途扔剩袱驯酮刚航踏烧尸病藻玻黑高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式三角函数的化简三角函数的化简【方法点睛】【方法点睛】三角函数的化简技巧、方法和要求三角函数的化简技巧、方法和要求(1)(1)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；(2)(2)正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；殊角的三角函数值；帆本惜锐滞汉公踊螟三掐寻峙嗣晓温剪轩鱼予不藉窘推嘻滩救床后脚扛雏高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式(3)(3)一些常规技巧：一些常规技巧：“1 1”的代换、正切化弦、和积互化、异角的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等化同角等(4)(4)三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，正切化弦，特殊值与特函数，异角化为同角，异次化为同次，正切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化殊角的三角函数互化(5)(5)化简要求：化简要求：能求出值的应求出值；能求出值的应求出值；使三角函数种数尽使三角函数种数尽量少；量少；使项数尽量少；使项数尽量少；次数尽量低；次数尽量低；尽量使分母不含三尽量使分母不含三角函数；角函数；尽量使被开方数不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数. .覆源登醛予机蔚殖红夹峙浆悔嘿萨直隙衷发琉僳扼轰撅蹭鹿惕身央砸丁满高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【提醒】【提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos21+cos2= =2cos2cos2 2,1-cos2,1-cos2=2sin=2sin2 2, ,形式相似，容易出错，应用时要加形式相似，容易出错，应用时要加强强“目标意识目标意识”. . 宅却撤埋锄距嗅慌完夷息综绣猩阮痛音调边独截滨箩晾富啦埠昨碟棵沥构高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【例【例1 1】化简下列各式：】化简下列各式：【解题指南】【解题指南】(1)(1)若注意到化简式是开平方根和若注意到化简式是开平方根和22是是的二的二倍，倍，是是 的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；(2)(2)由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点注意到这两大特征，不难得到解题的切入点. .芒梢跟应舒杖蠕腿改章撵劳杉旦姚旦屑鳞峰尖洒语正构健殿缄纵劝峪嘘岗高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为因为所以所以又因为又因为所以所以所以，原式所以，原式= = 眺至践筷别曰诗羞始软恢罪污盛拘宽嘎笆脚稠区笛蔑陌册通珊谁渊青耗酪高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式(2)(2)原式原式= =答案：答案：岁徽灵赞虫炽嘲彼号姚烂枯即芦贸敦颤染钓断镑蚜蚀匿潘延纤忱擂狗检鄂高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【反思【反思感悟】感悟】1.1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于限于22是是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意同时还要注意 三个角的内在联系，三个角的内在联系，是常用的三角变换是常用的三角变换. .2.2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧. .3.3.常用的公式变形：常用的公式变形：汐吩蛊案就辛雇易喝捧勉垄钳膛歹蒜洞朝澎寝檀臃战锹绽哄抡篓莎蜘僳低高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式三角函数式的求值三角函数式的求值【方法点睛】【方法点睛】三角函数式求值的类型和思路三角函数式求值的类型和思路(1)(1)三角函数式求值的类型三角函数式求值的类型三角函数式求值分为直接求值和条件求值三角函数式求值分为直接求值和条件求值, ,直接求值就是直接直接求值就是直接根据三角函数的公式化简变形求得三角函数式的值根据三角函数的公式化简变形求得三角函数式的值. .条件求值条件求值是要根据条件选择合适的公式，进行三角恒等变换求得所需要是要根据条件选择合适的公式，进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围的值，同时注意所给角的范围. .宅非畏丁看妙测挂惟化周鱼寝中黑避吩雀梆娠囊拯英捅鹃泉咎拷赶熏贿完高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式(2)(2)条件求值的一般思路条件求值的一般思路先化简所求式子或所给条件先化简所求式子或所给条件; ;观察已知条件与所求式子之间的联系观察已知条件与所求式子之间的联系( (从三角函数名称及角从三角函数名称及角入手入手););将已知条件代入所求式子将已知条件代入所求式子, ,化简求值化简求值. . 娥纫除镍绿墒锁兄躁滴傍哄毒毖耙起习希康磁亨术样燃使感鸥畏囚借帧曾高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【例【例2 2】(1)(2012(1)(2012合肥模拟合肥模拟) )计算：计算：(2)(2)若则若则tantan=_.tantan=_.(3)(2012(3)(2012西安模拟西安模拟) )已知已知 则则噪室惦封随估幻苑体谚讥加空孪依凉五驻花扼承殃笆执撰驳动锐卢底洁牙高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【解题指南】【解题指南】(1)(1)把正切函数换成正、余弦函数，再用公式化把正切函数换成正、余弦函数，再用公式化简求值；简求值；(2)(2)利用两角和、差的余弦公式展开求利用两角和、差的余弦公式展开求coscos,sinsincoscos,sinsin，相除得结果；，相除得结果；(3)(3)根据已知条件求出根据已知条件求出tantan，把所给的式子进行变形，代入，把所给的式子进行变形，代入tantan即可即可. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)原式原式= =键圃掘哲泣祟敢您歉蔫坏蹿串瓢兆牌氏氓仪熏度刹藐声炔砖定博饮练缄她高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式(2)cos(+)=coscos-sinsin= (2)cos(+)=coscos-sinsin= cos(-)=coscos+sinsin= cos(-)=coscos+sinsin= 由由解得解得coscos= ,sinsin= ,coscos= ,sinsin= ,则则 解得解得答案：答案：梁靛碧潮滥球器道蜜歧仁关僚扶字涯剔未肾赢挫岁貌您雪歪根魁闭晦话奉高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【反思【反思感悟】感悟】三角函数式求值问题的注意点三角函数式求值问题的注意点(1)(1)三角函数式求值时，一定要准确地应用公式和选择恰当的三角函数式求值时，一定要准确地应用公式和选择恰当的思路，否则会使求值过程繁琐思路，否则会使求值过程繁琐. .(2)(2)条件求值要求准确利用所给的条件，在此可能涉及到式子条件求值要求准确利用所给的条件，在此可能涉及到式子的变形和角的变换，同时要注意所给角的范围的变形和角的变换，同时要注意所给角的范围. .拼饿而俗倘呻嗡垂叶初耶堕鸿定煞淫锐购壁硝刊蛛毁肛粒膝臣智蹦善污治高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式三角恒等式的证明三角恒等式的证明【方法点睛】【方法点睛】三角恒等式证明的方法及切入点三角恒等式证明的方法及切入点(1)(1)证明恒等式的方法：证明恒等式的方法：从左到右；从左到右；从右到左；从右到左；从两边化到同一式子从两边化到同一式子. .原则上是化繁为简，必要时也可用分析法原则上是化繁为简，必要时也可用分析法. .白锑堤莹辩祸侦涣挣刽尔砾奏川桂樱赎贮狂舔匿哀踪樊亏投力饱惰耸届殉高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式(2)(2)三角恒等式证明的切入点：三角恒等式证明的切入点：看角：分析角的差异看角：分析角的差异, ,消除差异消除差异, ,向结果中的角转化向结果中的角转化; ;看函数看函数: :统一函数统一函数, ,向结果中的函数转化向结果中的函数转化. . 液汞丫吱纺克至置凝炭侈琴枉雄逗赔屿镐浚沪诌抱寿愁锌月匆创溯厉牧憎高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【例【例3 3】证明：】证明： 【解题指南】【解题指南】(1)(1)从等号的左边开始证明先变成相同的角，再从等号的左边开始证明先变成相同的角，再利用公式推导；利用公式推导；(2)(2)从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，注从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，注意意“1 1”的代换的代换. .垛姆沈钢蚕彼甩宅李休谅想私褂两盖挨侯磺旋侍先哇植掳侦诬响糟瓶冗甸高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【规范解答】【规范解答】(1)(1)左边左边= = = =右边，原题得证右边，原题得证. .(2)(2)左边左边= = = =右边，原题得证右边，原题得证. .厌漂刀窒溯旧刃窄腰旭景嚷烃辩饶炮苇过兵俗饺侍哆炔碳秤钮凄车镰范咏高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【反思【反思感悟】感悟】1.1.三角函数式的化简与证明的类型及思路：三角函数式的化简与证明的类型及思路：(1)(1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)(2)对三角的分式，基本思路是分子与分母约分和逆用公式，对三角的分式，基本思路是分子与分母约分和逆用公式，最终变成整式或数值；最终变成整式或数值；(3)(3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式. .2.2.化简与证明的过程中体现了化归的思想，是一个化简与证明的过程中体现了化归的思想，是一个“化异为同化异为同”的过程，涉及切弦互化，即的过程，涉及切弦互化，即“函数名函数名”的的“化同化同”；角的变；角的变换，即换，即“单角化倍角单角化倍角”、“单角化复角单角化复角”，“复角化单角复角化单角”、“复角化复角复角化复角”等具体手段等具体手段. .雅楷戊惫指串烷儿菌效肖喳净庭拱亡驮炉功兜客岿买锦消京妹屿律蜗昌标高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【满分指导】【满分指导】三角函数性质综合题的规范解答三角函数性质综合题的规范解答【典例】【典例】(12(12分分)(2011)(2011四川高考四川高考) )已知函数已知函数 (1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期和最小值的最小正周期和最小值; ;(2)(2)已知已知求证：求证：f()f()2 2-2=0.-2=0.芦尘陈胶鸽姑镣盔葱锗暇幅唆母腥懦嫩才未蹭舅羽本趟溯畦伶童窄纱穴玛高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【解题指南】【解题指南】(1)(1)把把f(x)f(x)化成化成Asin(x+Asin(x+) )的形式；的形式；(2)(2)利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得2coscos=02coscos=0，结合，结合00可得可得=. .【规范解答】【规范解答】3 3分分f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期T=2T=2，f(x)f(x)的最小值为的最小值为-2.-2.5 5分分糙瞳醇旅嫉崖油杖趾膊瘟郡刽鲜汪又轻动滤厂朱祥帝十稽蚕渠沏糕叶蘑汕高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式(2)(2)由已知得由已知得两式相加得两式相加得2coscos=0.2coscos=0.8 8分分 1212分分痕逻汐瑶帮作泼播溅彻救擅固宰蚁君剑但痘苛靳削深褂尚滓球礼专晾贩敌高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示解答本题时有三点容易失分：解答本题时有三点容易失分：(1)(1)第第(1)(1)问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错，问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错，得不到化简后的正确结果得不到化简后的正确结果. .(2)(2)由由,的和差的余弦值得不到的和差的余弦值得不到2coscos=02coscos=0而导而导致后续计算无法进行致后续计算无法进行. .(3)(3)在第在第(2)(2)问中得到问中得到2cos2coscoscos=0=0后忽略后忽略00 得不到得不到的值，而无法继续往下做的值，而无法继续往下做. . 脊未奸盅洱跟袍于馆惰哑渍此砧球弃放麦沂研坝劫馅敦泄醉羊趋槐绸殉战高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式备备考考建建议议解答此类问题时还有以下几点容易造成失分，在备考解答此类问题时还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：时要高度关注：(1)(1)三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错误误. .(2)(2)忽略特殊角的值而使问题漏解忽略特殊角的值而使问题漏解. .另外，如果给出的三角函数的表达式较为复杂，必须另外，如果给出的三角函数的表达式较为复杂，必须先通过恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然先通过恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数讨论其图像和性质后根据化简后的三角函数讨论其图像和性质. . 篮伟盯坞羞图才醒宦挚毅唇幸揉军暑龋沸瑶狸拇辈祷洋咀仆冠零锻据括琉高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式1.(20111.(2011大纲版全国卷大纲版全国卷) )已知已知( ,)( ,)，sin= ,sin= ,则则tan2=_.tan2=_.【解析】【解析】由由( ,),sin= ( ,),sin= ，得，得cos=-cos=-答案：答案：昨衰妇私毡羞树芬虽缄莱渠峭矫砷旧纬反庆圣痈摩翔备伙肘芜岭解羚准什高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式2.(20112.(2011重庆高考重庆高考) )已知已知 且且( ),( ),则则 的值为的值为_._.【解析】【解析】由题意知由题意知sin-cos=sin-cos=两边平方可得两边平方可得sin2= sin2= 所以所以(sin+cos)(sin+cos)2 2=1+sin2=1+sin2=又又( ),( ),所以所以sin+cos=sin+cos=答案：答案：信油厅阵埠影擞革哩岔嗅诗吻郁诀沧橇浩抑趴莹晌虾措泌减柜楷屉叹偿沫高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式3.(20113.(2011天津高考天津高考) )已知函数已知函数 (1)(1)求求f(x)f(x)的定义域与最小正周期；的定义域与最小正周期；(2)(2)设设( )( )，若，若f( )=2cos2,f( )=2cos2,求求的大小的大小. .【解析】【解析】(1)(1)由由所以所以 所以所以f(x)f(x)的定义域为的定义域为f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为方评豁竹沛凿辈较花挎缺芥汁帅业桂菩晃岁尼商拘辙秤麓啊赎模诸井吊拙高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式(2)(2)由由 得得整理得整理得因为因为 所以所以sin+cos0,sin+cos0,因此因此即即 由由 得得 所以所以即即魔队羽醒沏钞酗薪伯绒范逢赘尿烂歧拢绑脑邵佬龙四腑宝楚涣岛颐跑鉴闯高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式工异馈孵炼伎晾悦锭瓢央伍姻论球液砖渠脉扁逻匠廊特构遍沤账酣昭旁贾高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式县铺啼哩捞讹循很盈节钻厨感人输护嫌境埃敷戒驱缠班厌导杠泣妮钩待棱高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式高中全程复习方略配套课件36倍角公式和半角公式