执教者执教者：金志春常熟市梅李中学常熟市梅李中学曲线上一点处的切线曲线上一点处的切线曲线上一点处的切线曲线上一点处的切线1.什么叫做平均变化率什么叫做平均变化率几何意义：几何意义：平均变化率平均变化率近似地近似地刻画了曲线在某个刻画了曲线在某个区间上区间上的的变化趋势变化趋势一般地，函数一般地，函数f(x)在区间在区间x1,x2上的平均变化率上的平均变化率曲线曲线y=f(x) 上两点上两点 连线的斜率。连线的斜率。如何如何如何如何精确地精确地精确地精确地刻画曲线上某刻画曲线上某刻画曲线上某刻画曲线上某一点处一点处一点处一点处的变化趋势呢？的变化趋势呢？的变化趋势呢？的变化趋势呢？ .P如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ .P放大放大放大放大.P放大放大放大放大.P1）观察）观察“点点P附近的曲线附近的曲线”，随着图形放大，你看，随着图形放大，你看到了怎样的现象？到了怎样的现象？曲线有点像直线曲线有点像直线曲线有点像直线曲线有点像直线2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了看几乎成了 这种思维方式就叫做这种思维方式就叫做“逼近思想逼近思想”。直线直线直线直线从上面的图形来看：1 1）. .曲线在点曲线在点 P附近附近看上去几乎成了直线看上去几乎成了直线l l4 4）. .用直线用直线用直线用直线l l的斜率来刻画曲线经过的斜率来刻画曲线经过的斜率来刻画曲线经过的斜率来刻画曲线经过p p点时的变化趋势点时的变化趋势点时的变化趋势点时的变化趋势3 3）. .点点点点P P附近可以用这条直线附近可以用这条直线附近可以用这条直线附近可以用这条直线l l代替曲线代替曲线代替曲线代替曲线2 2）. .继续放大，曲线在点继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线附近将逼近一条确定的直线l，这条直线是过点这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线的所有直线中最逼近曲线的一条直线PQoxyy=f(x)割割线线切线切线l 探究怎样找到经过曲线上一点探究怎样找到经过曲线上一点探究怎样找到经过曲线上一点探究怎样找到经过曲线上一点P P处最逼近曲线的直线处最逼近曲线的直线处最逼近曲线的直线处最逼近曲线的直线l l1 1）在点）在点）在点）在点P P附近能做出比附近能做出比附近能做出比附近能做出比PQPQ更加逼近曲线的直线更加逼近曲线的直线更加逼近曲线的直线更加逼近曲线的直线l l吗？吗？吗？吗？2 2）在点）在点）在点）在点P P附近还能做出更加逼近曲线的直线附近还能做出更加逼近曲线的直线附近还能做出更加逼近曲线的直线附近还能做出更加逼近曲线的直线l l吗？吗？吗？吗？ 如图，设如图，设Q为曲线为曲线C上不同于上不同于P的一点，直线的一点，直线PQ称为曲线的称为曲线的割线割线. yOxPQ切线定义定义定义定义随着点随着点Q沿曲线沿曲线C向点向点P运动，直线运动，直线PQ在点在点P附近逼近曲线附近逼近曲线C， 当点当点Q无限逼近点无限逼近点P时，直线时，直线PQ最终就成为经过点最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线处最逼近曲线的直线l，这条直线这条直线l也称为也称为曲线在点曲线在点P处的切线处的切线这种方法叫这种方法叫割线逼近切线割线逼近切线.利用直尺，用割线逼近切线的方法作出利用直尺，用割线逼近切线的方法作出下列曲线在下列曲线在P点处的切线点处的切线 PPP为已知曲线已知曲线C上的一点，上的一点，如何求出点如何求出点如何求出点如何求出点P P处的处的处的处的切线方程？切线方程？切线方程？切线方程？试求试求f (x)=x2在点在点(2,4)处的切线斜率处的切线斜率y yO OP P2 24 4Qx x 试求试求f (x)=x2在点在点(2,4)处的切线斜率处的切线斜率练习练习：试求试求f (x)=x2+1在在x=1处的切线斜率处的切线斜率 练习：练习：试求试求f (x)=x2+1在在x=1处的切线斜率处的切线斜率当当x x无限趋近于无限趋近于无限趋近于无限趋近于0 0时，时，时，时，割割 线线 逼逼 近近 切切 线，线，割线斜率逼近切线斜率割线斜率逼近切线斜率找到定点找到定点找到定点找到定点P P的坐标的坐标的坐标的坐标设出动点设出动点设出动点设出动点QQ的坐标的坐标的坐标的坐标求出割求出割求出割求出割线斜率线斜率线斜率线斜率yxOy = f(x) xx0x0+ xPQf (x0+ x) f (x0)切线切线割线割线P P（x x0 0,f(x,f(x0 0) )Q(xQ(x0 0+ +x,f(xx,f(x0 0+ + x)x)x0x0时时时时, ,点点点点QQ位于点位于点位于点位于点P P的右侧的右侧的右侧的右侧y=f(x)y=f(x)x0x0时时时时, ,点点点点QQ位于点位于点位于点位于点P P的左侧的左侧的左侧的左侧2.求出割线求出割线PQ的斜率的斜率 ,并化简并化简. 求曲线求曲线y=f(x)上一点上一点P(x0,f(x0)处切线斜率的一般步骤处切线斜率的一般步骤:3. 令令x 趋向于趋向于0,若上式中的割线斜率若上式中的割线斜率“逼近逼近”一个常数，一个常数， 则其即为所求切线斜率则其即为所求切线斜率1.设曲线上另一点设曲线上另一点Q(x0 +x,f(x0 + x)MM（即即 y)变式变式1.已知函数已知函数f(x)=x2,求曲求曲线线y=f(x)在在x=-1处处的切的切线线斜率和切斜率和切线线方程方程变式变式2.已知函数已知函数f(x)=x-1,求曲求曲线线y=f(x)在在x=-1处处的切的切线线斜率和切斜率和切线线方程方程练习：已知练习：已知f(x)= ,求曲线求曲线y=f(x)在在x=0.5处的切线处的切线斜率是什么？斜率是什么？练习练习.已知函数已知函数f(x)=(1-x2)0.5,求曲求曲线线y=f(x)在在x=0.5处处的切的切线线斜率和切斜率和切线线方程方程小 结 1 1、曲线上一点、曲线上一点P P处的切线是过点处的切线是过点P P的所有直线中最的所有直线中最接近接近P P点附近曲线的直线，则点附近曲线的直线，则P P点处的变化趋势可以由点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。该点处的切线反映。( (局部以直代曲局部以直代曲) ) 2 2、根据定义、根据定义, ,利用割线逼近切线的方法利用割线逼近切线的方法, , 可以求出曲可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。线在一点处的切线斜率和方程。割线PQP点处的切线Q无限逼近P时割线PQ的斜率P点处的切线斜率 Q无限逼近P时Q无限逼近P时即区间长度趋向于0令横坐标无限接近令横坐标无限接近函数在区间xP,xQ(或xQ,xP）上的平均变化率P点处的瞬时变化率(导数导数)课后作业