Hilbert变换与解析信号变换与解析信号(1) Hilbert变换的定义变换的定义设有实信号设有实信号 ，它的，它的Hilbert变换记作变换记作 或或 并定义为并定义为即即式中式中 表示取积分的主值。表示取积分的主值。(1)由两函数由两函数f(t)与与g(t)卷积定义卷积定义可将可将Hilbert变换变换(1)式写成式写成(2)注：卷积满足交换律。注：卷积满足交换律。例例1 求求 的的Hilbert变换变换.解解:注注: 狄利克雷积分狄利克雷积分同理同理:(2) Hilbert变换的物理意义变换的物理意义由实信号由实信号 的的Hilbert变换变换(2)式式 可见可见 的的Hilbert变换是变换是 的一种滤波的一种滤波,滤波滤波器的脉冲响应为器的脉冲响应为(3)滤波器的滤波器的 频率响应为频率响应为其中其中由卷积定理，由卷积定理， Hilbert变换（变换（2）式的频域形式为）式的频域形式为(4)当当 时，时，(5)(6)由（由（5）和（）和（6）式可见，信号经）式可见，信号经Hilbert变换后，其变换后，其振幅谱不变，相位谱相差振幅谱不变，相位谱相差900，因此，因此Hilbert变换又称变换又称为为900移相器。移相器。(3) Hilbert逆变换逆变换由由Hilbert变换频域形式（变换频域形式（4）式）式又由又由卷积定理，则有卷积定理，则有以以 乘上式两端，注意到乘上式两端，注意到 则有则有于是，于是，Hilbert逆变换为逆变换为还有还有(7)其中其中(4) 解析函数的定义解析函数的定义设实信号设实信号 的的Hilbert变换为变换为 ，称复信号，称复信号为为 对应的解析信号。对应的解析信号。由（由（5）式）式有有由由(8)式可见，解析信号只在正频域上拥有单边谱。式可见，解析信号只在正频域上拥有单边谱。(8)(5) 实信号的瞬时参数实信号的瞬时参数设实信号设实信号 的解析复信号为的解析复信号为 的瞬时振幅（也叫包络）的瞬时振幅（也叫包络） 的瞬时相位的瞬时相位 的瞬时频率的瞬时频率(Hz) (6) 解析信号的快速数值计算解析信号的快速数值计算 （包括（包括Hilbert变换变换）取实信号取实信号s(t)s(t)的的N N个离散值并做个离散值并做FFTFFT（快速快速Fourier Fourier 变换）得到信号的频域表示变换）得到信号的频域表示构造构造计计算算 , ,其其中中IFFTIFFT为为FFTFFT的的反反变变换换。这样即得到原信号的解析信号。这样即得到原信号的解析信号。 为原信号的为原信号的HilbertHilbert变换。变换。 注：取注：取N为为2的整数次幂，补零个数大于原数据个数。的整数次幂，补零个数大于原数据个数。 例1.3 用MATLAB编程编程计算实信号的计算实信号的Hilbert变换与包变换与包络络.% clear all;clc;fp=24;a=-10;dt=0.002;TT=0.5;% t=dt:dt:TT;t=0:dt:TT;b=exp(a*t).*sin(2*pi*fp*t);nsmp=length(t);N=512; for k=nsmp+1:N b(k)=0.0;endxf=fft(b,N);for i=1:N if i=1 xf(i)=xf(i); elseif i1&i=N/2 xf(i)=2*xf(i); else xf(i)=0; endendx=ifft(xf,N);xr=real(x);xi=imag(x);for k=1:nsmp yr(k)=real(x(k); yi(k)=imag(x(k); ts(k)=k*dt; aa(k)=abs(x(k);endfigure,plot(ts,yr,-,ts,yi,:,ts,aa,-); 原原信号；信号；Hilbert变换；变换；包络包络图图1.4 实信号的实信号的Hilbert变换与包络变换与包络