一阶微分方程的解法及应用一阶微分方程的解法及应用 习题课习题课一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题 第七章第七章(1) 三、课外练习题三、课外练习题8/25/20248/25/20241 1高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解 变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量代换代换因变量因变量代换代换某组合式某组合式几个标准类型几个标准类型: 可分离变量方程可分离变量方程, 齐次方程齐次方程, 线性方程线性方程P315 题题78/25/20248/25/20242 2高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例1 1 求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解提示提示: (1)故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解8/25/20248/25/20243 3高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课方程两边同除以方程两边同除以 x 即为齐次方程即为齐次方程 , 令令 y = u x ,化为化为分分离变量方程离变量方程.调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位 , ,用线性方程通解公式求解用线性方程通解公式求解 .化为化为化为化为8/25/20248/25/20244 4高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程 .*方法方法 2 化为微分形式化为微分形式 故这是一个全微分方程故这是一个全微分方程 (下册内容下册内容).8/25/20248/25/20245 5高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课解解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离此方程为一个可分离变量的微分方程分离因因变量，变量，得得例例2 求解方程求解方程 两边积分，得两边积分，得即得原方程的通解即得原方程的通解8/25/20248/25/20246 6高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课解解 原方程变形后为齐次方程原方程变形后为齐次方程例例3 求解方程求解方程 ， 作变换作变换 ，移项，得移项，得则有则有8/25/20248/25/20247 7高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课两边积分，得两边积分，得将将 代入，有代入，有即即满足初始条件的解为满足初始条件的解为由由初始条件初始条件 ，即原方程的解为即原方程的解为8/25/20248/25/20248 8高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课解解 原方程变形为原方程变形为即即例例4 求微分方程求微分方程 的通解的通解此是此是关于函数关于函数 的一阶线性非齐次线性微的一阶线性非齐次线性微由求解公式得由求解公式得分方程，分方程，8/25/20248/25/20249 9高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课8/25/20248/25/20241010高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例5 5 求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解: :提示提示: (1)令令 u = x y , 得得(分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为P315 题题78/25/20248/25/20241111高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课令令 y = u t(齐次方程齐次方程)令令 t = x 1 , 则则可分离变量方程求解可分离变量方程求解化方程为化方程为8/25/20248/25/20241212高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课练习题练习题练习题练习题: : 求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:消去消去 C 得得 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:提示提示: 令令 u = x y , 化成可分离变量方程化成可分离变量方程 :P353P353 题题题题1 1，2 2，3(1), (2), (3), (5), (10)3(1), (2), (3), (5), (10)P353 题题2P353 题题38/25/20248/25/20241313高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课提示提示: 可化为可化为关于关于 x 的一阶线性方程的一阶线性方程提示提示: 这是一阶线性方程这是一阶线性方程 , 其中其中8/25/20248/25/20241414高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课原方程化为原方程化为 , 即即则则故原方程通解故原方程通解提示提示: 令令8/25/20248/25/20241515高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得例例6 求解微分方程求解微分方程 解法解法1作代换作代换 ，此方程为齐次方程，此方程为齐次方程，则有则有8/25/20248/25/20241616高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课故方程的通解为故方程的通解为即即由于由于8/25/20248/25/20241717高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课*解法解法2故方程的通解为故方程的通解为代回原变量，得代回原变量，得此方程为贝努利方程，此时令此方程为贝努利方程，此时令 方程变形为方程变形为则有则有8/25/20248/25/20241818高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例例例7 7 设设F(x)f (x) g(x), 其中函数其中函数 f(x), g(x) 在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:(1) 求求F(x) 所所满足的一阶微分方程满足的一阶微分方程 ;(2) 求出求出F(x) 的的表达式表达式 .解解 (1) 所以所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程:03考研考研8/25/20248/25/20241919高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课(2) 由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得于是于是 8/25/20248/25/20242020高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课例例8 设河边点设河边点 O 的正对岸为点的正对岸为点 A , 河宽河宽 OA = h, 一鸭子从点一鸭子从点 A 游向点游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件利用个性确定定解条件.为平行直线为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点且鸭子游动方向始终朝着点O ,提示提示: 如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系. 设时刻设时刻t 鸭子位于点鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子设鸭子(在静水中在静水中)的游速大小为的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为水流速度大小为 a ,两岸两岸 则则关键问题是正确关键问题是正确建立数学模型建立数学模型, 要点要点:则鸭子游速则鸭子游速 b 为为8/25/20248/25/20242121高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课定解条件定解条件由此得微分方程由此得微分方程即即鸭子的实际运动速度为鸭子的实际运动速度为( 求解过程参考求解过程参考P306例例2 )( 齐次方程齐次方程 )8/25/20248/25/20242222高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课思考思考: 能否根据草图列方程能否根据草图列方程?练习题练习题:P354 题题 5 , 6 已知某曲线经过点已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程求它的方程 .提示提示: 设曲线上的动点为设曲线上的动点为 M (x,y),令令 X = 0, 得截距得截距由题意知微分方程为由题意知微分方程为即即定解条件为定解条件为此点处切线方程为此点处切线方程为它的切线在纵它的切线在纵P353 题题58/25/20248/25/20242323高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课 已知某车间的容积为已知某车间的容积为已知某车间的容积为已知某车间的容积为的新鲜空气的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空分钟后使车间空的含量不超过的含量不超过 0.06 % ?提示提示: 设每分钟应输入设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含时刻车间空气中含则在则在内车间内内车间内两端除以两端除以 并令并令与原有空气很快混合均匀后与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出以相同的流量排出 )得微分方程得微分方程( 假定输入的新鲜空气假定输入的新鲜空气 输入输入 , 的改变量为的改变量为 P353 题题58/25/20248/25/20242424高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课t = 30 时时解定解问题解定解问题因此每分钟应至少输入因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气新鲜空气 .初始条件初始条件得得 k = ? 8/25/20248/25/20242525高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数比例系数选用题选用题 小船从河边点小船从河边点 出发驶向对岸出发驶向对岸(两岸为平行线两岸为平行线)，设，设船速为船速为 船行方向始终与河岸垂直又设河宽为船行方向始终与河岸垂直又设河宽为 ， 河中任河中任为为 )，求小船的航行路线，求小船的航行路线解解 如图建立坐标系统，并使水流方向与如图建立坐标系统，并使水流方向与 的正向一的正向一致设时刻致设时刻 时，小船位于时，小船位于 处，则处，则8/25/20248/25/20242626高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课其初始条件为其初始条件为先解得先解得 ，再由初始条件得，再由初始条件得 ，即，即 代入到第一个方程中，即有代入到第一个方程中，即有解得解得8/25/20248/25/20242727高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课再由初始条件，得再由初始条件，得 即小船的航行曲线为即小船的航行曲线为或消去参数或消去参数 ，得，得8/25/20248/25/20242828高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课三、课外练习题三、课外练习题1求下列方程的通解：求下列方程的通解：1) ；2) ；3) ；4) ；5) 8/25/20248/25/20242929高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 习习习习 题题题题 课课课课2设设 是连续函数，且满足是连续函数，且满足求求 3已知光滑曲线已知光滑曲线 过原点和点过原点和点 ，任取曲线上的点，任取曲线上的点 ，过，过 作两坐标轴的平行线作两坐标轴的平行线 和和 与与 轴及轴及曲线所围成的面积等于曲线所围成的面积等于 与与 轴及曲线围成的面积的轴及曲线围成的面积的2倍倍, 求求曲线的方程曲线的方程8/25/20248/25/20243030