28.28.1 1. .3 3 圆周角圆周角回顾回顾1.1.什么叫做圆心角？圆心角的顶点和两边分什么叫做圆心角？圆心角的顶点和两边分别是什么？在同圆或等圆中，圆心角与它所别是什么？在同圆或等圆中，圆心角与它所对的弧有什么关系？对的弧有什么关系？顶点在顶点在_，角的两边与圆，角的两边与圆_，这样的角，这样的角叫做圆心角。圆心角的顶点是圆的叫做圆心角。圆心角的顶点是圆的_，两，两边是圆的边是圆的_。在同圆或等圆中，如果两个。在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的两条弧圆心角相等，那么它们所对的两条弧_；弧的度数与它所对的圆心角的度数；弧的度数与它所对的圆心角的度数_。圆心圆心相交相交圆心圆心半径半径也相等也相等相等相等2.2.找出下图中的圆心角，图中的找出下图中的圆心角，图中的A A、B B、C C、D D、E E是圆心角吗？它们与圆心角有是圆心角吗？它们与圆心角有什么不同？它们有什么共同的特征？什么不同？它们有什么共同的特征？OABCDE图中的图中的圆心角圆心角有有BOEBOE、DOEDOE、AODAOD和和BODBOD。A A、B B、C C、D D、E E的共同的共同特征是：特征是：顶点在顶点在圆圆( (周周) )上，角的上，角的两边都和圆相交两边都和圆相交。也可以这样说：也可以这样说：顶点在圆顶点在圆( (周周) )上，上，角的两边都是圆角的两边都是圆的弦的弦。明确概念：明确概念：顶点在圆顶点在圆( (周周) )上，角的两边都上，角的两边都和圆相交，这样的角叫做圆周角和圆相交，这样的角叫做圆周角。判断下列各图中的角是不是圆周角，并说明判断下列各图中的角是不是圆周角，并说明理由：理由：判断一个角是判断一个角是不是圆周角需不是圆周角需要两个标准：要两个标准：顶点在圆顶点在圆(周周)上；上；角角的两边都和圆的两边都和圆相交。这两个相交。这两个条件条件缺一不可缺一不可。思考：思考：任意画一个任意画一个O O，作它的直径，作它的直径ABAB，在圆周上任，在圆周上任意取一点意取一点C(AC(A、B B除外除外) )，连结，连结ACAC、BCBC，则，则ACBACB是直径是直径ABAB所对的圆周角吗？猜猜看：所对的圆周角吗？猜猜看：ACBACB是怎样的角？用量角器量一量，看你的是怎样的角？用量角器量一量，看你的猜测是否正确。你能从数学上给出证明吗？猜测是否正确。你能从数学上给出证明吗？由此，你能得出什么结论？由此，你能得出什么结论？ABCO归纳：归纳：半圆或直径所半圆或直径所对的圆周角都对的圆周角都_，都，都是是_。相等相等9090这个命题的逆命题是什这个命题的逆命题是什么？它的逆命题成立吗么？它的逆命题成立吗？9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是直径直径。问题：问题：对于一般的圆周角，又有什么规律对于一般的圆周角，又有什么规律呢？如图，呢？如图，ACBACB、ADBADB都是弧都是弧ABAB所对的圆所对的圆周角，周角，AOBAOB是弧是弧ABAB所对的圆心角。这几个角所对的圆心角。这几个角有什么关系？有什么关系？ABCDO操作操作：(1)(1)分别量一量图中弧分别量一量图中弧ABAB所对的两个圆周角的度数，比所对的两个圆周角的度数，比较一下。再变动点较一下。再变动点C C在圆周上的位在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变置，看看圆周角的度数有没有变化。你发现其中有什么规律？化。你发现其中有什么规律？(2)分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现了什么？可以发现：可以发现：当点当点C C都在优弧都在优弧AB(AB(或都在劣弧或都在劣弧AB)AB)上变动位置时，圆周角的度数没有变化；上变动位置时，圆周角的度数没有变化；当点当点C C的位置同时在优弧的位置同时在优弧ABAB和劣弧和劣弧ABAB上时，两上时，两圆周角互补。并且圆周角的度数恰好等于同圆周角互补。并且圆周角的度数恰好等于同一条弧所对的圆心角的度数的一半。一条弧所对的圆心角的度数的一半。猜想：猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。一半。如何在数学上证明这个猜想呢？请同学们任如何在数学上证明这个猜想呢？请同学们任意画一个意画一个O O，并作它的一个圆心角，并作它的一个圆心角AOBAOB和和同弧所对的圆周角同弧所对的圆周角ACBACB。想一想：就圆心。想一想：就圆心O O和圆周角和圆周角ACBACB的位置而言，有几种不同的情的位置而言，有几种不同的情况？其中最特殊的情况是哪种？况？其中最特殊的情况是哪种？ABCO(1)ABCO(2)ABCO(3)D1 2D12归纳：归纳：在同圆或等圆中在同圆或等圆中，同弧或等弧所对，同弧或等弧所对的圆周角的圆周角_，都等于它所对的圆心角的，都等于它所对的圆心角的_；反过来，相等的圆周角对所对的弧；反过来，相等的圆周角对所对的弧_。相等相等一半一半相等相等结合上图用符号语言来表示。结合上图用符号语言来表示。思考：思考：这一定理能帮我们做什么？这一定理能帮我们做什么？应用示例应用示例例例1 1 判断：判断： (1)(1)同弧或等弧所对的圆周角相等。同弧或等弧所对的圆周角相等。( )( ) (2)(2)同弦或等弦所对的圆周角相等。同弦或等弦所对的圆周角相等。( )( ) (3) (3)顶点在圆周上的角叫做圆周角。顶点在圆周上的角叫做圆周角。( )( ) (4) (4)圆周角等于圆心角的一半。圆周角等于圆心角的一半。( )( )例例2 2 在圆中，一条弧所对圆心角和圆周角分在圆中，一条弧所对圆心角和圆周角分别为别为(2x+100) (2x+100) 和和(5x-30) (5x-30) ，求这条弧所，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。对的圆心角和圆周角的度数。练习：练习：1.1.如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，C=20C=20，则，则BOC=_BOC=_。ABCO(第第1题图题图)ABCDO(第第2题图题图)2.2.如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，C C是是O O上的一点，若上的一点，若AC=8AC=8，AB=10AB=10，ODBCODBC于点于点D D，则，则BD=_BD=_。403cm3.3.如图，点如图，点A A、B B、D D、E E在在O O上，弦上，弦AEAE、BDBD的延长线相交的延长线相交于点于点C C。若。若ABAB是是O O的直径，的直径，D D是是BCBC的中点为。的中点为。(1)(1)试判断试判断ABAB、ACAC之间的大小关系，并说明理由；之间的大小关系，并说明理由；(2)(2)在上述条件下，在上述条件下，ABCABC还需要满足什么条件，点还需要满足什么条件，点E E才一才一定是定是ACAC的中点为？的中点为？( (直接写出结论直接写出结论) )ABDOCE课堂小结课堂小结1.1.圆周角定理及其逆定理：在同圆或等圆中，同弧圆周角定理及其逆定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角或等弧所对的圆周角_，都等于它所对的圆心角，都等于它所对的圆心角的的_；相等的圆周角所对的弧；相等的圆周角所对的弧_。2.2.圆周角定理的推论及其逆定理：半圆或直径所对圆周角定理的推论及其逆定理：半圆或直径所对的圆周角是的圆周角是_；_的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是_。3.3.圆周角定理及其推论给我们一种启示：在解决和圆周角定理及其推论给我们一种启示：在解决和圆有关的问题时，常常作辅助线构造圆有关的问题时，常常作辅助线构造同弧所对的圆同弧所对的圆周角周角；若条件中出现了直径，常常构造；若条件中出现了直径，常常构造直径所对的直径所对的圆周角圆周角，以产生特殊三角形，以产生特殊三角形直角三角形直角三角形。相等相等一半一半相等相等直角直角90直径直径