目录 上页 下页 返回 结束 第五节常义积分积分区间有限被积函数有界推广反常积分 (无限区间或无界函数的积分)反常积分 第五五章 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容：本节内容：5.1 无穷区间上的积分无穷区间上的积分5.2 无界函数的积分无界函数的积分5.3 无穷区间上积分的审敛准则无穷区间上积分的审敛准则5.4 无界函数积分的审敛准则无界函数积分的审敛准则5.5函数函数目录 上页 下页 返回 结束 引例引例. 曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 5.1 无穷区间上的积分无穷区间上的积分目录 上页 下页 返回 结束 例例5.1 在一个由带电量为的点电荷形成的电场中，求与该点电荷相距为处的电位。 分析：根据物理学知识，该点处的电位等于位于该点处的单位正电荷移至无穷远处电场力所做的功。解 以点电荷所在处为原点建坐标轴如图单位正电荷位于坐标轴上距原点处。 则当单位正电荷由处目录 上页 下页 返回 结束 移至处，电场力所做功为其中为常数. 该电荷从移到处电场力所做功为令则电场在处的电位为目录 上页 下页 返回 结束 即目录 上页 下页 返回 结束 定义定义5.1（无穷积分）（无穷积分） 设在无穷积分无穷积分，记作，记作在无穷区间在无穷区间在上可积,则称若对任何为为上有定义.上的积分上的积分,简称简称若极限若极限存在存在,则称则称在在上的上的积分收敛，积分收敛，称该极限为称该极限为目录 上页 下页 返回 结束 类似地,可以定义及其敛散性.若极限不存在，则称在上积分的值.收敛与发散统称为敛散性.在在上的积分发散.定义为在上的积分上的积分其中c 为任一常数 .和若极限目录 上页 下页 返回 结束 发散 .只要有一个极限不存在 , 就称都存在,则称在上的积分收敛；例例5.2 证明第一类 p 积分当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. 说明说明: 上述定义中若出现 并非不定型 ,它表明该反常积分发散 .目录 上页 下页 返回 结束 当 p 1 时有 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为当 p1 时, 反常积分发散 . 证证:当 p =1 时有 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.3 计算反常积分解解:目录 上页 下页 返回 结束 引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式 :目录 上页 下页 返回 结束 例例5.4 计算反常积分解解:思考思考: 分析分析:原积分发散 !注意注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .目录 上页 下页 返回 结束 5.2 无界函数的积分无界函数的积分引例引例:曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义5.2（无界函数的积分）（无界函数的积分） 设定义在而在点 a 的右邻域内无界(称存在 , 则称此极限为函 数 f (x) 在 (a , b 上的反常积分, 记作这时称反常积分收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分发散 .为奇点),若极限目录 上页 下页 返回 结束 类似地 , 若若上有定义,b为奇点, 则定义在定义在上,为奇点,c(acb)则定义目录 上页 下页 返回 结束 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分. 注意：例如,无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分.无界点(奇点)常称为瑕点瑕点.目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 若奇点计算表达式 : 则也有类似牛 莱公式的若 b 为奇点, 则若 a 为奇点, 则若 a , b 都为奇点, 则则可相消吗可相消吗?目录 上页 下页 返回 结束 下述解法是否正确: , 积分收敛例例5.5 计算反常积分解解: 显然奇点为 a , 所以原式例例5.6 讨论反常积分的收敛性 . 解解:所以反常积分发散 .目录 上页 下页 返回 结束 例例5.7 证明反常积分证证: 当 p = 1 时,当 p 1 时时发散 .当 p1 时所以当 p 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为当 p 1 时, 该广义积分发散 .收敛 ; p1 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 8 目录 上页 下页 返回 结束 5.3 无穷区间上积分的审敛准则无穷区间上积分的审敛准则这一部分我们寻求通过被积函数的性态来判定无穷区间上积分敛散性的方法。定理定理5.1 (比较准则）且, 则目录 上页 下页 返回 结束 证证:由知则由知的是单调递增有上界函数 , 因此 极限存在 ,利用上述结论及反证法可证.目录 上页 下页 返回 结束 例例5.9 证明无穷积分的收敛.证证:又由比较准则 1 可知原积分收敛 .目录 上页 下页 返回 结束 定理定理5.2 (比较准则 )设函数连续非负，并有则：（证明略）（证明略）在用比较准则2时，经常用来判定的敛散性.目录 上页 下页 返回 结束 例例5.10 判别反常积分的敛散性 . 解解:根据比较准则2 , 该积分收敛 . 例例5.11 判别反常积分的敛散性 . 解解:根据比较准则2 , 该积分发散 . 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理5.3证：证：则而绝对收敛.)目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设反常积分则称绝对收敛绝对收敛 ; 则称条件收敛条件收敛 . 例例5.12 判断积分的敛散性 .解解:根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛 (绝对收敛) .目录 上页 下页 返回 结束 5.4 无界函数积分的无界函数积分的审敛准则审敛准则定理定理5.4 (比较准则） 设函数连续,并有，则定理定理5.5 (比较准则 ) 设函数非负连续,并有，则目录 上页 下页 返回 结束 定理定理5.6（绝对收敛准则）（绝对收敛准则）(称为绝对收敛 ). 则积分 （ 注：在用比较准则时,经常取目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 13判定椭圆积分定理4 散性 . 解解:由于 的敛根据比较准则 2 , 椭圆积分收敛 . 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.14 判别反常积分的敛散性 .解解:故对充分小从而 据比较准则1, 所给积分绝对收敛 .目录 上页 下页 返回 结束 5.5 函数函数1. 定义定义下面证明这个特殊函数在内收敛 . 令目录 上页 下页 返回 结束 综上所述 , 目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质递推公式证证: (分部积分)注意到:目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1. 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分