第四章第四章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 41点的投影点的投影 42直线的投影直线的投影 43直线上的点直线上的点 44线段的实长和倾角线段的实长和倾角 45两直线的相对位置两直线的相对位置 46平面的投影平面的投影 47平面上的直线和点平面上的直线和点 48旋转法旋转法 点是形体的最基本元素。点的投影规律是线、面、体点是形体的最基本元素。点的投影规律是线、面、体投影的基础。投影的基础。4 41 1 点的投影点的投影面BCDA线点一、点的单面投影一、点的单面投影AaaAAl点的单面投影不能确定该点的空间位置点的单面投影不能确定该点的空间位置空空间间几几何何形形体体投投 影影HVOX二、点的两面投影二、点的两面投影前面提到：在正投影的条件下，点的单面投影不能唯一确定该点的空间位置，那么，两面投影呢？Aaa l点的两面投影能够唯一点的两面投影能够唯一确定点的空间位置。确定点的空间位置。两面投影体系的建立：V正面投影面H水平投影面OX投影轴axAaa HVOXaxa VHaaxOXl点的正投影规律：点的正投影规律： 1、一点在两投影面体系中的投影，在投影图上的连线，、一点在两投影面体系中的投影，在投影图上的连线，一定垂直于该两投影面的交线，即垂直于投影轴。一定垂直于该两投影面的交线，即垂直于投影轴。2、空间一点到某一投影面的距离，等于该点在任意一个、空间一点到某一投影面的距离，等于该点在任意一个与该投影面垂直的投影面上的投影到其投影轴的距离。与该投影面垂直的投影面上的投影到其投影轴的距离。HVOXYZ三、点的三面投影三、点的三面投影Aaa axa ayaz通常我们用大写字母通常我们用大写字母表示空间的点，相应的小表示空间的点，相应的小写字母表示其水平投影，写字母表示其水平投影，小写字母加一撇表示其正小写字母加一撇表示其正面投影，小写字母加两撇面投影，小写字母加两撇表示其侧面投影。表示其侧面投影。WXAHVOYZaa axa ayazWl点在三面投影面体系中的投影关系：点在三面投影面体系中的投影关系：1、一点的正面投影和水平投影必在同一竖直投影连线上；、一点的正面投影和水平投影必在同一竖直投影连线上；2、一点的正面投影和侧面投影必在同一水平投影连线上；、一点的正面投影和侧面投影必在同一水平投影连线上；3、一点的水平投影到、一点的水平投影到OX轴的距离等于该点的侧面投影到轴的距离等于该点的侧面投影到 OZ轴的距离，都反映该点到轴的距离，都反映该点到V面得距离。面得距离。a aa OXYHZYWaxayazaya aa OYHZYWaxayazay水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴（长对正）（长对正）；正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（高平齐）（高平齐）；水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离（宽相等）（宽相等）。 a aOX轴轴; a a OZ轴轴; a到到OX轴轴的距离的距离= a 到到OZ轴轴的距离的距离 AaAa= =aaaax x= = a a az z=a=ay y0=0=y yA AA A点到点到V面的距离面的距离 AaAa = =a ax x= = a a ay y=a=az z0=0=z zA AA A点到点到H面的距离面的距离 Aa a= =aaaay y= = a a az z=a=ax x0=0=x xA AA A点到点到W面的距离面的距离 XVYOWZaa Ya ZaXaaHZAYAXAAa aax例例1：已知点的两个投影，求第三投影。：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:解法二解法二:a 通过作通过作45线使线使a az=aax用圆规直接量取用圆规直接量取a az=aax例例2:已知已知A点的坐标值点的坐标值A(12，10，15)，求作求作A点的三面投影图。点的三面投影图。 作投影作投影轴轴； 量取：量取： OaOax x=12=12、OaOaz z=15=15、OaOaYHYH= =OaOaYWYW=10=10, , 得得a ax x、a az z、OaOaYHYH、OaOaYWYW等点等点 ； 步骤步骤: :aaaOXYWHYZaZ15YWaYHa10aX12过过a ax x、a az z、a aYHYH、a aYWYW等点分别作等点分别作 所在轴的垂线，交点所在轴的垂线，交点a a、a a、a a 既为所求。既为所求。 四、特殊位置点的投影四、特殊位置点的投影（1 1）投影面上的点）投影面上的点 （2 2）投影轴上的点）投影轴上的点 五、点的辅助投影五、点的辅助投影a VHaaxOXa 1V1O1X1l点的辅助投影必须垂直于点的辅助投影必须垂直于原投影面体系中的一个投影原投影面体系中的一个投影面才能构成新的两投影体系面才能构成新的两投影体系,根据点在原体系的投影可以根据点在原体系的投影可以作出它在新投影体系中的辅作出它在新投影体系中的辅助投影。助投影。 空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该点的前或后、左或右、上或下。另一个点在该点的前或后、左或右、上或下。 六、六、两点的相对位置：两点的相对位置：当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。( )H面重影，面重影，被挡被挡住的投影加住的投影加( )4 42 2 直线直线的投影的投影直 线一般位置直线特殊位置直线投影面垂直线投影面平行线投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线正平线（平行于面）（平行于面）侧平线侧平线（平行于面）（平行于面）水平线水平线（平行于面）（平行于面）正垂线正垂线（垂直于面）（垂直于面）侧垂线侧垂线（垂直于面）（垂直于面）铅垂线铅垂线（垂直于面）（垂直于面）统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线ZXabaOYHYWabbABVWHXYZObbabaal一般位置直线的特点：一般位置直线的特点：1、一般线对各基本投影面都倾斜；直线对投影面的倾角，、一般线对各基本投影面都倾斜；直线对投影面的倾角， 就是该直线和它在该投影面上的投影所夹的角；就是该直线和它在该投影面上的投影所夹的角；2、一般线上各点到同一个投影的距离都不等；、一般线上各点到同一个投影的距离都不等；3、一般线对、一般线对H、V、W面得倾角面得倾角、，他们的，他们的 投影都不反映实形。投影都不反映实形。一、一、一般位置直线：二、二、投影面平行线：投影面平行线的投影特性可概括如下：投影面平行线的投影特性可概括如下：（1）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且反映对其他两个投影面倾角的实形；且反映对其他两个投影面倾角的实形；（2）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。相应的投影轴，且小于实长。 事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与其他两线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。投影面夹角的实形。ABVWHXYZO水平线（水平线（平行平行H面，同时倾斜于面，同时倾斜于V、W面的直线）面的直线）aababb Xa b ab baOZYHYW水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴轴 VWHXYZOAB正平线（正平线（平行平行V面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、W面的直线）面的直线）aababb正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴轴 Xabab baOZYHYW VWHXYZOAB侧平线（侧平线（平行平行W面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、V面的直线）面的直线）aa b a bb侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴轴 bXZa b baOYHYWa三、三、投影面垂直线：铅垂线（铅垂线（垂直于垂直于H面，同时平行于面，同时平行于V、W面的直线）面的直线）Zb Xa ba(b)OYHYWaVWHXYZOABb a(b)a ab 水平投影积聚为一点；水平投影积聚为一点；正面投影及侧面投影平行于正面投影及侧面投影平行于OZ轴，且反映实长。轴，且反映实长。VWHXYZOAB正垂线（正垂线（垂直于垂直于V面，同时平行于面，同时平行于H、W面的直线）面的直线）ZX(a)b baOYHYWabbababa 正面投影积聚为一点；水正面投影积聚为一点；水平投影及侧面投影平行于平投影及侧面投影平行于OY轴，且反映实长。轴，且反映实长。VWXYZOABH侧垂线（侧垂线（垂直于垂直于W面，同时平行于面，同时平行于H、V面的直线）面的直线）baababYWZXa(b)baOYHab 侧面投影积聚为一点；水平投影侧面投影积聚为一点；水平投影及正面投影平行于及正面投影平行于OX轴，且反映实轴，且反映实长。长。l直线上的点的特性：直线上的点的特性：1、直线上的点的投影，必落在该直线的同面投影上；、直线上的点的投影，必落在该直线的同面投影上；2、一直线上两线段长度之比，等于他们的投影长度之比。、一直线上两线段长度之比，等于他们的投影长度之比。4 43 3 直线上的点直线上的点ACBabc从属性从属性AcabCB定比性定比性例例1：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法是另一判断法是因因a k :k b ak:kb 故点故点K不在不在AB上。上。4 43 3 线段的实长和倾角线段的实长和倾角 根据一般位置直线的投影求解其实长及根据一般位置直线的投影求解其实长及倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本问题之一，也是工程实际中经常需要解决的问题之一，也是工程实际中经常需要解决的问题。而用问题。而用直角三角形法直角三角形法求解实长及倾角最求解实长及倾角最为简便、快捷。为简便、快捷。XOababABababXOB0直角三角形法直角三角形法(求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角)mmABABmAB0=abBB0=AB两点的高度差mab 直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 解题时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长度来作直角边不能搞错。辅助投影法辅助投影法(求直线的实长及对正投影面的夹角求直线的实长及对正投影面的夹角)ABababXOmXOababX1O1ax1a1b1bxaxbx1A1A14 45 5 两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置两直线平行两直线相交两直线交错 两直线相交必有一个公共交点，因此：若空间两直线相交，则它们的各同面投影均相交，且交点符合点的投影规律。反之亦然。XOadcbkadckbXOadcbadcbkkADCBK一、一、两直线相交二、二、两直线平行两直线平行 两直线在空间互相平行，则它们的同面投影也相互两直线在空间互相平行，则它们的同面投影也相互平行。反之，若两直线的各个同面投影均相互平行，则平行。反之，若两直线的各个同面投影均相互平行，则该两直线在空间也一定相互平行。该两直线在空间也一定相互平行。ADCBabdcadcbXOadcbabdcXO 注注意意：对于一般位置的两直线，仅根据它们的水平投影及正面投影是否平行，就可判定它们在空间是否平行。但是对于侧平线，则必须考察它们的侧面投影，才可以断定它们在空间的真实位置。adcbadcbacdbXZOYHYWAB、CD不平行 当互相平行的两直线垂直于某一投影面时，则在该投影面上的投影（积聚为两点），反映它们在空间的真实距离。ADCBa(b)c(d)三、三、两直线交叉两直线交叉空间两直线即不平行也不相交时，称为交错。空间两直线即不平行也不相交时，称为交错。VHXOABCDaacdbcdbXOacdbacdbOacdbacdbX 空空间间两两直直线线交交错错时时，它它们们的的同同面面投投影影可可能能相相交交，但但交交点点不不可可能能符符合合点点的的投投影影规规律律；它它们们的的某某个个同同面面投投影影可可能能平平行行，但但不不可可能能三三个个同同面面投投影影都都同同时时出出现现平平行行。m(n)mnf (e)ef思考：当两直线交错时，可能出现投影的交点在同思考：当两直线交错时，可能出现投影的交点在同 一竖直线上或者水平线上吗？一竖直线上或者水平线上吗？四、四、两直线垂直两直线垂直 一般情况下，要使一个角不变形的投射到某一投影面上，必须使此角的两边都平行于该投影面。但是对于直角，只要有一边平行于某一投影面，则此直角在该投影面上的投影仍旧是直角。ACBacb 两条互相垂直的直线，若其中有一条两条互相垂直的直线，若其中有一条是某一投影面的平行线，则它们在该投影是某一投影面的平行线，则它们在该投影面的投影必互相垂直。面的投影必互相垂直。例1：确定A点到正平线CD的距离。bXOcdaadcbmm所求距离4 46 6 平面的投影平面的投影空间平面特殊位置平面投影面垂直面投影面平行面一般位置平面一、一、平面的表示法平面的表示法用几何元素表示平面：用几何元素表示平面：（1）不在同一直线上的三个点；）不在同一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；）一直线和直线外一点；（3）两相交直线；）两相交直线；（4）两平行直线；）两平行直线；（5）任意平面图形。）任意平面图形。s a b a b s a b aa bb ss 不在同一直线不在同一直线上的三个点上的三个点直线及线直线及线外一点外一点两平行直线两平行直线两相交直线两相交直线平面图形平面图形s a b s a b aa b bss c d aa b bss aa b bcc dd aa b bss 二、二、一般位置面一般位置面对三个投影面都倾斜的平面。对三个投影面都倾斜的平面。XZOYHYW三个投影均为类似形，不反映实形和倾角，也不积聚。三个投影均为类似形，不反映实形和倾角，也不积聚。思考：投影面与实形的大小关系。思考：投影面与实形的大小关系。三、三、投影面垂直面投影面垂直面 垂直于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的平面。铅垂面垂直于H面，同时倾斜于V、W的平面正垂面垂直于V面，同时倾斜于H、W的平面侧垂面垂直于W面，同时倾斜于H、V的平面VXHWZOYXZOYHYW铅垂面：铅垂面：水平投影积聚为直线，并反映倾角水平投影积聚为直线，并反映倾角、的实形；的实形； 正面投影和侧面投影正面投影和侧面投影均不反映实形且变小。均不反映实形且变小。VXHWZOYXZOYHYW正垂面：正面投影积聚为直线，并反映倾角正垂面：正面投影积聚为直线，并反映倾角、的实形；的实形； 水平投影和侧面投影水平投影和侧面投影均不反映实形且变小。均不反映实形且变小。VXHWZOYXZOYHYW侧垂面：侧面投影积聚为直线，并反映倾角侧垂面：侧面投影积聚为直线，并反映倾角、的实形；的实形； 水平投影和正面投影水平投影和正面投影均不反映实形且变小。均不反映实形且变小。投影面垂直面的投影特性可概括如下：投影面垂直面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条斜线，该斜线与投影轴的夹角反映该平面与相应投影斜线，该斜线与投影轴的夹角反映该平面与相应投影面的夹角；面的夹角；（2）平面在另外两个投影面上的投影不反映实形，）平面在另外两个投影面上的投影不反映实形，且变小。且变小。 事实上，在平面的投影中，若某一投影面上的投影积聚为一条斜线，则该平面必为该投影面的垂直面。 对一个投影面平行，同时垂直于其它两个投对一个投影面平行，同时垂直于其它两个投影面的平面。影面的平面。水平面平行于H面，同时垂直于V、W的平面正平面平行于V面，同时垂直于H、W的平面侧平面平行于W面，同时垂直于H、V的平面四、四、投影面平行面投影面平行面VXHWYZOpppXYWZOYHpppP水平面：水平投影反映实形；正面投影和侧面投影积聚为水平面：水平投影反映实形；正面投影和侧面投影积聚为 一条直线并平行于相应的投影轴。一条直线并平行于相应的投影轴。VXHWYZOpppXYWZOYHpppP正平面：正面投影反映实形；水平投影和侧面投影积聚为正平面：正面投影反映实形；水平投影和侧面投影积聚为 一条直线并平行于相应的投影轴。一条直线并平行于相应的投影轴。 VXHWZOYpppXYWZYHOpppP侧平面：侧面投影反映实形；水平投影和正面投影积聚为侧平面：侧面投影反映实形；水平投影和正面投影积聚为 一条直线并平行于相应的投影轴。一条直线并平行于相应的投影轴。 投影面平行面的投影特性可概括如下：投影面平行面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；（2）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。且分别平行于相应的投影轴。 事实上，在平面的两面投影中，若有一面投影积聚为平行于某投影轴的直线，则此平面必为该投影轴相邻的投影面的平行面。读图与视图读图与视图投影面平行面投影面垂直面一般位置平面4 47 7 平面上的直线和点平面上的直线和点一、一、平面上的直线平面上的直线判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一所确定，试在平面内任作一 条直线。条直线。解法一：解法一：解法二解法二：根据定理一根据定理一有多少解有多少解根据定理二根据定理二 例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H面的距离为面的距离为 10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解有多少解bckada d b c ada d b c k bc例例3：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二二、二、平面上的点平面上的点点在平面内的判定规则是：点在平面内的判定规则是：一点若在平面内的一条直线上，则此点必位于该平面内。例例1、判定点、判定点K是否在平面是否在平面ABC上。上。aacbbckk点D从属于ABC上的直线AB，故点D在平面内。例2、判断点K是否在平面ABC内。aacbbckkddK点不在平面内的直线AD上，故K点不在平面内。例3、已知ABC内一点的正面投影m，试补出其 水平投影m。21mamcbacb21d 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。然后再在该直线上确定点的位置。例例4：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影点的水平投影。bacc a k b k平面上取点的方法平面上取点的方法abca b k c kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与投影分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。面等）。 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于什么样根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。法。 本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间分析和想本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间分析和想像，以培养空间思维能力。像，以培养空间思维能力。 解题方法解题方法 平面还可以由它与投影面的交线来确定其空间位置，平面还可以由它与投影面的交线来确定其空间位置，平面与投影面的交线，称为迹线平面与投影面的交线，称为迹线 平面与平面与V V面的交线称为正面迹线，以面的交线称为正面迹线，以PvPv标记，与标记，与H H面的面的交线，称为水平迹线，以交线，称为水平迹线，以PHPH标记，用迹线来确定其位置的标记，用迹线来确定其位置的平面称为迹线平面。平面称为迹线平面。