第四章线性方程组第四章线性方程组4.14.1齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组若记若记（1）一、齐次线性方程组的解齐次线性方程组则上述方程组（则上述方程组（1）可写成向量方程）可写成向量方程若若为方程为方程 的的解，则解，则齐次线性方程组称为方程组称为方程组(1) 的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解齐次线性方程组齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解. .证明证明齐次线性方程组（2 2）若）若 为为 的解，的解， 为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间证毕证毕.齐次线性方程组3 3基础解系的定义基础解系的定义齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组证证 直接验证它们构成基础解系的三个条件。首先，它直接验证它们构成基础解系的三个条件。首先，它们的个数与已给的基础解系们的个数与已给的基础解系齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组. .齐次线性方程组的通解的求法齐次线性方程组的通解的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关 于是于是 通过初等变换可化为通过初等变换可化为齐次线性方程组齐次线性方程组现对现对 取下列取下列 组数：组数：齐次线性方程组依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：齐次线性方程组可以看出可以看出 是齐次线性方程组解空是齐次线性方程组解空间的一个基间的一个基由于由于 个个 维向量维向量线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.齐次线性方程组说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的解空间的基又称为方程组的基础解系基础解系若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 齐次线性方程组例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.解解对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组例例2 2 解线性方程组解线性方程组解解对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换齐次线性方程组即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.齐次线性方程组所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为齐次线性方程组例例3 3证证见书上例题见书上例题6、7、8（P115-116）齐次线性方程组齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形齐次线性方程组由于由于令令（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量齐次线性方程组故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.齐次线性方程组