第第9 9章章 动力问题有限元法动力问题有限元法张张 洪洪 伟伟2动力学问题动力学问题 第第2节节 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵第第1节节 引言引言第第3节节 直接积分法直接积分法第第4节节 振型叠加法振型叠加法第第5节节 解的稳定性解的稳定性第第6节节 大型特征值问题的解法大型特征值问题的解法第第7节节 减缩系统自由度的方法减缩系统自由度的方法第第8节节 小结小结3第第1节节 有限元动力学方程的建立有限元动力学方程的建立u动力学问题中最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研动力学问题中最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研究对象。一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如，高究对象。一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如，高速旋转的电机，往复运动的内燃机，以及高速运行的飞行器，速旋转的电机，往复运动的内燃机，以及高速运行的飞行器，如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性是极为重要的研如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性是极为重要的研究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结构，例如建于究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结构，例如建于地面的高层建筑和厂房，核电站的安全壳和热交换器，这些地面的高层建筑和厂房，核电站的安全壳和热交换器，这些结构的破裂、倾覆和坍塌等破坏事故的发生，将给人民的生结构的破裂、倾覆和坍塌等破坏事故的发生，将给人民的生命财产造成巨大损失。正确分析和设计这类结构，在理论和命财产造成巨大损失。正确分析和设计这类结构，在理论和实际上都是具有重要意义的。实际上都是具有重要意义的。u动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。4三维弹性动力学的基本方程是：三维弹性动力学的基本方程是：平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程边界条件边界条件初始条件初始条件（在（在V域内）域内）（在（在V域内）域内）（在（在V域内）域内）（在（在Su域内）域内）（在（在S域内）域内）（1.1）（1.2）（1.3）（1.4）（1.5）（1.6）在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 ，则单元，则单元内也产生相应的虚位移内也产生相应的虚位移 和虚应变和虚应变 。单元内产生的虚应变能为。单元内产生的虚应变能为:单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力惯性力 和和阻尼力阻尼力，其中，其中为材料密度，为材料密度，v v是线性阻尼系数。外力所做的虚功为是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：式中，式中，Pv、Ps、Pc分别为作用于单元上的动态体力、动态面力分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态集中力；和动态集中力；V为单元面积；为单元面积；A为单元面积。为单元面积。动力学方程建立：动力学方程建立：且形函数仅为坐标且形函数仅为坐标x、y、z的函数，与时间无关，因此有的函数，与时间无关，因此有根据虚位移原理，有根据虚位移原理，有代入经整理，可得单元运动方程为代入经整理，可得单元运动方程为由于由于式中式中分别称为单元的分别称为单元的刚度矩阵刚度矩阵、质量矩阵质量矩阵和和阻尼矩阵阻尼矩阵，它们就是决定单，它们就是决定单元动态性能的特性矩阵。元动态性能的特性矩阵。称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节点移置的结果。集中力向单元节点移置的结果。在动态分析和静力分析中，单在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。8动力学有限元分析基本步骤如下：动力学有限元分析基本步骤如下：（1）连续区域的离散化）连续区域的离散化（2）构造插值函数）构造插值函数由于只对空间域进行离散，所以单元内位移由于只对空间域进行离散，所以单元内位移u,v,w的插值分别表的插值分别表示为示为:（1.7）其中其中9（3）形成系统的求解方程）形成系统的求解方程（1.8）其中其中分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，M,C,K和和Q(t)分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。10（4）求解运动方程）求解运动方程（1.9）如果忽略阻尼的影响，则运动方程简化为如果忽略阻尼的影响，则运动方程简化为如果上式的右端项为零，则上式进一步简化为如果上式的右端项为零，则上式进一步简化为（1.10）这是系统的自有振动方程，又称为这是系统的自有振动方程，又称为动力特性方程动力特性方程。（5）计算结构的应变和应力）计算结构的应变和应力11从以上步骤可以看出，和静力分析相比，在动力分析中，由于惯从以上步骤可以看出，和静力分析相比，在动力分析中，由于惯性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩阵，最后得到阵，最后得到求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。其。其它的计算步骤和静力分析是完全相同的。它的计算步骤和静力分析是完全相同的。关于二阶常微分方程组的解法有两类：关于二阶常微分方程组的解法有两类：直接积分法和振型叠加法直接积分法和振型叠加法。直接积分法是直接对运动方程积分。而振型叠加法是首先求解一直接积分法是直接对运动方程积分。而振型叠加法是首先求解一无阻尼的自由振动方程，然后用解得的特征向量，即固有振型对无阻尼的自由振动方程，然后用解得的特征向量，即固有振型对运动方程式进行变换。运动方程式进行变换。动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两种普遍应用的减缩自由度的方法是减缩法和动力子结构法。种普遍应用的减缩自由度的方法是减缩法和动力子结构法。12第第2节节 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵一、协调质量矩阵和集中质量矩阵一、协调质量矩阵和集中质量矩阵 单元质量矩阵单元质量矩阵称为协调质量矩阵。称为协调质量矩阵。集中质量矩阵假定单元的质量集中在结点上，这样得到的质量矩集中质量矩阵假定单元的质量集中在结点上，这样得到的质量矩阵是对角线矩阵。以下分实体单元和结构单元进行讨论。阵是对角线矩阵。以下分实体单元和结构单元进行讨论。1.实体单元实体单元介绍两种常用方法介绍两种常用方法（1）第一种方法）第一种方法其中，其中，ne是单元的结点数。该式的力学意义是：是单元的结点数。该式的力学意义是：Mle每一行的主元每一行的主元素等于素等于Me中该行所有元素之和，而非主元素为零。中该行所有元素之和，而非主元素为零。（2.1）13第第2节节 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵（1）第二种方法）第二种方法该式的力学意义是：该式的力学意义是：Mle每一行的主元素等于每一行的主元素等于Me中该行主元素乘中该行主元素乘以缩放因子以缩放因子a，而非主元素为零。，而非主元素为零。（2.2）14第第2节节 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵例例1 计算平面应力（应变）单元的协调质量计算平面应力（应变）单元的协调质量Me矩阵和集中质量矩阵和集中质量矩阵矩阵Mle 。单元采用。单元采用3结点三角形单元。结点三角形单元。（1）协调质量矩阵）协调质量矩阵位移插值函数是位移插值函数是（2.3）其中其中I是是22单位矩阵。单位矩阵。（2.4）Me,Ce,Ke和和Qe分别是单元的质量、阻尼、刚度和载荷矩阵。分别是单元的质量、阻尼、刚度和载荷矩阵。15第第2节节 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵算得单元的协调质量矩阵算得单元的协调质量矩阵（2.5）其中，其中，WtA是单元的质量，是单元的质量，t是单元的厚度。是单元的厚度。16第第2节节 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵（2）集中质量矩阵）集中质量矩阵按第一种方法计算，得到集中质量矩阵为按第一种方法计算，得到集中质量矩阵为（2.6）此式的力学意义是：在单元的每个结点上集中此式的力学意义是：在单元的每个结点上集中1/3的质量。的质量。17第第2节节 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵按第二种方法计算，得到集中质量矩阵与第一种方法结果一样。按第二种方法计算，得到集中质量矩阵与第一种方法结果一样。注：注：对于对于8结点矩形单元，两种方法得到的集中质量矩阵不同。结点矩形单元，两种方法得到的集中质量矩阵不同。在实际分析中，更多的是推荐用在实际分析中，更多的是推荐用第二种方法第二种方法来计算集中质量矩阵。来计算集中质量矩阵。2.结构单元结构单元2结点经典梁单元、协调质量矩阵和集中质量矩阵如下所示：结点经典梁单元、协调质量矩阵和集中质量矩阵如下所示：（1）协调质量矩阵）协调质量矩阵位移插值函数是位移插值函数是（2.7）其中其中18第第2节节 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵计算得单元的协调质量矩阵为计算得单元的协调质量矩阵为（2.8）其中，其中，l是单元长度，是单元长度，WlA是单元的质量，是单元的质量，A是截面面积。是截面面积。（2）集中质量矩阵）集中质量矩阵（2.9）此式的力学意义是在每个结点上集中此式的力学意义是在每个结点上集中1/2的单元质量。的单元质量。19第第2节节 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵需要指出需要指出，虽然质量矩阵，虽然质量矩阵M在理论上是正定的，但通常需要在计在理论上是正定的，但通常需要在计算中对算中对进行精确积分才能保证此性质。如果计进行精确积分才能保证此性质。如果计算中采用低阶的积分，则算中采用低阶的积分，则M可能是奇异的，这将使后续的动力分可能是奇异的，这将使后续的动力分析发生困难，因此在选择析发生困难，因此在选择Me的积分阶次时应予注意。的积分阶次时应予注意。20第第2节节 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵二、振型阻尼矩阵二、振型阻尼矩阵 它是假定阻尼力正比于质点运动速度的结果，通常均将介质阻尼它是假定阻尼力正比于质点运动速度的结果，通常均将介质阻尼简化为这种情况。这时单元矩阵比例于单元质量矩阵。简化为这种情况。这时单元矩阵比例于单元质量矩阵。在以后的讨论中，将知道系统的固有振型对于在以后的讨论中，将知道系统的固有振型对于M和和K是具有正交是具有正交性的，因此固有振型对于性的，因此固有振型对于M和和K的阻尼矩阵的阻尼矩阵C也是具有正交性的。也是具有正交性的。所以这种阻尼矩阵称为所以这种阻尼矩阵称为比例阻尼或振型阻尼比例阻尼或振型阻尼。在实际分析中要精确地决定阻尼矩阵是相当困难的，通常允许将在实际分析中要精确地决定阻尼矩阵是相当困难的，通常允许将实际结构的阻尼矩阵简化为实际结构的阻尼矩阵简化为M和和K的线性组合。这种振型阻尼称的线性组合。这种振型阻尼称为为Rayleigh阻尼阻尼。求解方法求解运动方程求解运动方程直接积分法直接积分法模态叠加法模态叠加法隐式积分隐式积分显式积分显式积分完整矩阵法完整矩阵法缩减矩阵法缩减矩阵法完整矩阵法完整矩阵法缩减矩阵法缩减矩阵法逐步积分法按是否需要联立求解耦联方程组，可分为两大类：隐式方法：逐步积分计算公式是偶联的方程组，需联立求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark法、Wilson 法。显式方法：逐步积分计算公式是解偶的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法。重点介绍两种常用的时域逐步积分法中心差分法和Newmark法。23第第3节节 直接积分法直接积分法一、中心差分法一、中心差分法 在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示，即在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示，即（3.2）（3.1）中心差分法的递推公式中心差分法的递推公式（3.3）上式是求解各个离散时间点解的递推公式，这种数值积分方法又上式是求解各个离散时间点解的递推公式，这种数值积分方法又称为称为逐步积分法逐步积分法。24第第3节节 直接积分法直接积分法需要指出需要指出，此算法有一个起步问题，为此利用，此算法有一个起步问题，为此利用(3.1)，(3.2)得到。得到。将利用中心差分法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下：将利用中心差分法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下：1.初始计算初始计算形成刚度矩阵形成刚度矩阵K、质量矩阵、质量矩阵M和阻尼矩阵和阻尼矩阵C。给定给定选择时间步长选择时间步长t， t tcr，并计算积分常数，并计算积分常数计算计算形成有效质量矩阵形成有效质量矩阵三角分解三角分解25第第3节节 直接积分法直接积分法2.对于每一时间步长（对于每一时间步长（t0， t ，2 t ）计算时间计算时间t的有效载荷的有效载荷求解时间求解时间t t的位移的位移如果需要，计算时间如果需要，计算时间t的加速度和速度的加速度和速度26第第3节节 直接积分法直接积分法关于中心差分法还需要着重指出一下几点：关于中心差分法还需要着重指出一下几点：中心差分法是中心差分法是显式算法显式算法。中心差分法是中心差分法是条件稳定算法条件稳定算法。显式算法用于求解由梁、板、壳等结构单元组成的系统的动显式算法用于求解由梁、板、壳等结构单元组成的系统的动 态响应时如果对角化后的质量矩阵态响应时如果对角化后的质量矩阵M中已略去了与转动自由中已略去了与转动自由 度相关的项，则度相关的项，则M的实际阶数仅是对于位移自由度的阶数。的实际阶数仅是对于位移自由度的阶数。中心差分法比较中心差分法比较适合于由冲击、爆炸类型载荷引起的波传播适合于由冲击、爆炸类型载荷引起的波传播 问题的求解问题的求解。对于结构动力学问题，一般说，采用中心差分法就不太适合。对于结构动力学问题，一般说，采用中心差分法就不太适合。中心差分法的精度和数值稳定性以上给出的中心差分逐步积分公式， 是收敛的； 具有2阶精度，即误差O(t2) ； 是有条件稳定，稳定条件tTn/； 具有较高的计算效率。28第第3节节 直接积分法直接积分法二、二、NewmarkNewmark方法方法 在在tt t的时间区域内，的时间区域内， Newmark积分法采用下列的假设积分法采用下列的假设（3.4）（3.5）其中其中和和是按积分精度和稳定性要求决定的参数是按积分精度和稳定性要求决定的参数。另一方面，。另一方面，和和取不同数值则代表了不同的数值积分方案。取不同数值则代表了不同的数值积分方案。Newmark方法中的时间方法中的时间t t的位移解答的位移解答a t t是通过满足是通过满足时间时间t t的运动方程的。的运动方程的。29第第3节节 直接积分法直接积分法计算计算a t t的两步递推公式的两步递推公式（3.6）将利用将利用Newmark法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下：法逐步求解运动方程的算法步骤归结如下：1.初始计算初始计算形成刚度矩阵形成刚度矩阵K、质量矩阵、质量矩阵M和阻尼矩阵和阻尼矩阵C。给定给定30第第3节节 直接积分法直接积分法选择时间步长选择时间步长t 及参数及参数和和，并计算积分常数。，并计算积分常数。 这里要求：这里要求： 0.50， 0.25(0.5+)2形成有效刚度矩阵形成有效刚度矩阵三角分解三角分解31第第3节节 直接积分法直接积分法2.对于每一时间步长（对于每一时间步长（t0， t ，2 t ）计算时间计算时间t t的有效载荷的有效载荷求解时间求解时间t t的位移的位移如果需要，计算时间如果需要，计算时间t的加速度和速度的加速度和速度32第第3节节 直接积分法直接积分法关于关于Newmark法还需要着重指出一下几点：法还需要着重指出一下几点：Newmark法是法是隐式算法隐式算法。关于关于Newmark法的稳定性。法的稳定性。 证明，当证明，当0.50， 0.25(0.5+)2时，算法是时，算法是无无条件稳定条件稳定的。的。 Newmark法适合于时程较长的的法适合于时程较长的的系统瞬态响应分析。系统瞬态响应分析。Newmark法的其它表达形式。法的其它表达形式。和和是按积分精度和稳定性要求决定的参数是按积分精度和稳定性要求决定的参数。u=1/2和和 =1/4，平均常加速度法。，平均常加速度法。u=1/2和和 =1/6，线性加速度法。，线性加速度法。u=1/2和和 =0，中心差分法。，中心差分法。34第第4节节 振型叠加法振型叠加法振型叠加法在积分运动方程以前，利用系统自由振动的固有振型振型叠加法在积分运动方程以前，利用系统自由振动的固有振型将方程转化为将方程转化为n个相互不耦合的方程，对这种方程可以解析或数个相互不耦合的方程，对这种方程可以解析或数值地进行积分。当采用数值方法时，对于每个方程可以采取各自值地进行积分。当采用数值方法时，对于每个方程可以采取各自不同的时间步长，即对于低阶振型可采用较大的时间步长。不同的时间步长，即对于低阶振型可采用较大的时间步长。这两者结合起来相当于直接积分法时很大的优点，因此当实际分这两者结合起来相当于直接积分法时很大的优点，因此当实际分析的时间历程较长，同时只需要少数较低阶振型的结果时，采用析的时间历程较长，同时只需要少数较低阶振型的结果时，采用振型叠加法将时十分有利的。振型叠加法将时十分有利的。35第第4节节 振型叠加法振型叠加法一、求解系统的固有频率和固有振型一、求解系统的固有频率和固有振型此计算步骤是求解不考虑阻尼影响的系统自由振动方程，即此计算步骤是求解不考虑阻尼影响的系统自由振动方程，即 它的解可以假设为以下形式它的解可以假设为以下形式（4.1）其中，其中，是是n阶向量，阶向量，是向量是向量的振动频率，的振动频率，t是时间变量，是时间变量，t0是由初始条件确定的时间常数。是由初始条件确定的时间常数。36第第4节节 振型叠加法振型叠加法解方程确定解方程确定和和。特征向量。特征向量1， 2， n代表系统的代表系统的n个个固有振型。它们的幅度可按以下要求规定固有振型。它们的幅度可按以下要求规定这样规定的固有振型又称为这样规定的固有振型又称为正则振型正则振型，今后所用的固有振型，只，今后所用的固有振型，只指这种正则振型。固有振型对于矩阵指这种正则振型。固有振型对于矩阵M是正交的。是正交的。在有限元分析中，特别是动力分析中，方程的阶数很高而求解在有限元分析中，特别是动力分析中，方程的阶数很高而求解的特征解又相对较少的特征值问题，称为大型特征值问题。的特征解又相对较少的特征值问题，称为大型特征值问题。（4.2）n自由度的振动系统，具有自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的个固有频率和与之对应的n阶阶主振型。且这些主振型之间存在着主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。阵的正交性。 对应于对应于两边左乘两边左乘转置，然后右乘转置，然后右乘 相减相减 关于正则振型关于正则振型表明，对应于不同固有频率的主振型之间，即表明，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。 Ki称为第称为第i阶主刚度或第阶主刚度或第i阶阶模态刚度模态刚度；Mi称为第称为第i阶主质量或第阶主质量或第i阶阶模态质量模态质量。 可可见见，由由于于主主振振型型的的正正交交性性，不不同同阶阶的的主主振振动动之之间间不不存存在在动动能能的的转转换换，或或者者说说不不存存在在惯惯性性耦耦合合。同同样样可可以以证证明明第第i阶阶固固有有振振动动的的广广义义弹弹性性力力在在第第j阶阶固固有有振振动动的的微微小小位位移移上上的的元元功功之之和和也也等等于于零零，因因此此不不同同阶阶固固有有振振动动之之间间也也不不存存在在势势能的转换，或者说不存在弹性耦合。能的转换，或者说不存在弹性耦合。 对对于于每每一一个个主主振振动动来来说说，它它的的动动能能和和势势能能之之和和是是个个常常数数。在在运运动动过过程程中中，每每个个主主振振动动内内部部的的动动能能和和势势能能可可以以互互相相转转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。 因因此此，从从能能量量的的观观点点看看，各各阶阶主主振振动动是是互互相相独独立立的的，这这就是主振动正交性的物理意义。就是主振动正交性的物理意义。 以以各各阶阶主主振振型型矢矢量量为为列列，按按顺顺序序排排列列成成一一个个nn阶阶方方阵阵，称称此此方阵为主振型矩阵或方阵为主振型矩阵或模态矩阵模态矩阵，即，即根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质主质量矩阵主质量矩阵主刚度矩阵主刚度矩阵使使Mr由对角阵变换为单位阵由对角阵变换为单位阵 将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即这样得到的振型称为这样得到的振型称为正则振型正则振型。正则振型的正交关系是正则振型的正交关系是第第i阶正则振型阶正则振型第第i阶固有频率阶固有频率 以以各各阶阶正正则则振振型型为为列列，依依次次排排列列成成一一个个nn阶阶方方阵阵，称称此此方方阵阵为为正则振型矩阵正则振型矩阵，即，即由正交性可由正交性可导出正则矩导出正则矩阵两个性质阵两个性质谱矩阵谱矩阵 在在一一般般情情况况下下，具具有有有有限限个个自自由由度度振振动动系系统统的的质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵都都不不是是对对角角阵阵。因因此此，系系统统的的运运动动微微分分方方程程中中既既有有动动力力耦耦合合又又有有静静力力耦耦合合。对对于于n自自由由度度无无阻阻尼尼振振动动系系统统，有有可可能能选选择择这这样样一一组组特特殊殊坐坐标标，使使方方程程中中不不出出现现耦耦合合项项亦亦即即质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵都都是是对对角角阵阵，这这样样每每个个方方程程可可以以视视为为单单自自由由度度问问题题，称这组坐标称这组坐标为主坐标为主坐标或或模态坐标模态坐标。 由由前前面面的的讨讨论论可可知知，主主振振型型矩矩阵阵U与与正正则则振振型型矩矩阵阵 ，均均可可使使系系统统的的质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵转转换换成成为为对对角角阵阵。因因此此，可可利利用用主主振振型型矩矩阵阵或或正正则则振振型型矩矩阵阵进进行行坐坐标标变变换换，以以寻寻求求主主坐坐标标或或正正则坐标。则坐标。44第第4节节 振型叠加法振型叠加法二、系统动力响应分析二、系统动力响应分析1.位移基向量的变换位移基向量的变换引入变换引入变换（4.3）此变化的意义是此变化的意义是a(t)看成是看成是i(i=1,2,n)的线性组合，的线性组合，i可以看可以看成是广义的位移基向量，成是广义的位移基向量，xi是广义的位移值。从数学上看，是将是广义的位移值。从数学上看，是将位移向量位移向量a(t)从以有限元系统的结点位移为基向量的从以有限元系统的结点位移为基向量的n维空间转换维空间转换到以到以i为基向量的为基向量的n维空间。维空间。通常在实际分析中，需要求解的自由度方程数远小于系统的自通常在实际分析中，需要求解的自由度方程数远小于系统的自由度数由度数n45第第4节节 振型叠加法振型叠加法2.求解单自由度系统振动方程求解单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程的求解，通常采用单自由度系统振动方程的求解，通常采用杜哈美积分，杜哈美积分，又称为叠又称为叠加积分。这个方法的基本思想是将任意激振力加积分。这个方法的基本思想是将任意激振力ri(t)分解为一系列分解为一系列微冲量的连续作用，分别求出系统对每个微冲量的响应，然后根微冲量的连续作用，分别求出系统对每个微冲量的响应，然后根据线性系统的叠加原理，将它们叠加起来。得到系统对任意激振据线性系统的叠加原理，将它们叠加起来。得到系统对任意激振的响应。的响应。杜哈美积分的结果是杜哈美积分的结果是其中其中ai，bi是由起始条件决定的常数。是由起始条件决定的常数。（4.4）46第第4节节 振型叠加法振型叠加法3.振型叠加得到系统的响应振型叠加得到系统的响应在得到每个振型的响应后，将它们叠加起来就是系统响应。在得到每个振型的响应后，将它们叠加起来就是系统响应。对振型叠加法的一些性质和特点：对振型叠加法的一些性质和特点：振型叠加法中，将系统的位移转换到以振型叠加法中，将系统的位移转换到以固有振型为基向量固有振型为基向量的的空空 间这对系统的性质并无影响，而是以求解广义特征值为代间这对系统的性质并无影响，而是以求解广义特征值为代价，得到价，得到n个单自由度系统的运动方程。个单自由度系统的运动方程。振型叠加法中对于振型叠加法中对于n个单自由度系统运动方程的积分，比联个单自由度系统运动方程的积分，比联立方程组的直接积分节省计算时间。立方程组的直接积分节省计算时间。对于非线性系统通常必须采用直接积分法。对于非线性系统通常必须采用直接积分法。47第第4节节 振型叠加法振型叠加法例例3 以三自由度系统为例，现在用振型叠加法求解。以三自由度系统为例，现在用振型叠加法求解。此时应求解的广义特征值问题是此时应求解的广义特征值问题是 （1）按照一般的线性代数方法可以得到（按照一般的线性代数方法可以得到（1）式的解答为）式的解答为（2）48第第4节节 振型叠加法振型叠加法利用（利用（2）式，可以转换为以）式，可以转换为以1，2和和3为基向量的为基向量的3个互不耦合的运动方程，即：个互不耦合的运动方程，即：（3）原系统的初始条件是原系统的初始条件是经转换后为经转换后为（4）49第第4节节 振型叠加法振型叠加法利用无阻尼情形的利用无阻尼情形的杜哈美积分杜哈美积分可以得到（可以得到（3）式的精确解为：）式的精确解为：（5）最后利用振型叠加得到系统的位移为最后利用振型叠加得到系统的位移为（6）8/26/202450第第4节节 振型叠加法振型叠加法根据（根据（6）式计算得到每一时间步长的位移值如下：）式计算得到每一时间步长的位移值如下：a)对于对于tT3/100.363时，算得位移值：时，算得位移值：b)t5T318.14时，算得位移值：时，算得位移值：51此结果是系统响应的精确解，此结果是系统响应的精确解，可以用来检验中心差分法和可以用来检验中心差分法和Newmark方法的结果。对于方法的结果。对于t0.363的情况，三者的比的情况，三者的比较见右图较见右图由图可见，由于由图可见，由于t较小，两种较小，两种直接积分法的结果都相当好。直接积分法的结果都相当好。而对于而对于t18.14的情况，由于的情况，由于t已相当大，虽然此时已相当大，虽然此时Newmark方法的解仍然保持稳方法的解仍然保持稳定，但误差较大。定，但误差较大。52第第5节节 解的稳定性解的稳定性解的稳定性定义是：如果在任何时间步长解的稳定性定义是：如果在任何时间步长t条件下，对于任何条件下，对于任何初始条件的解不是无限制的增长，则称此积分方法是稳定的；初始条件的解不是无限制的增长，则称此积分方法是稳定的；如果如果t必须小于某个临界值，上述性质才能保持，则称此积分必须小于某个临界值，上述性质才能保持，则称此积分方法是有条件稳定的。方法是有条件稳定的。讨论解的稳定性讨论解的稳定性实质实质上是讨论误差引起的响应。要讨论的方程是：上是讨论误差引起的响应。要讨论的方程是：（5.1）53第第5节节 解的稳定性解的稳定性一、中心差分法一、中心差分法利用中心差分法对（利用中心差分法对（5.1）进行积分，可以写出）进行积分，可以写出（5.2）假定解的形式为假定解的形式为（5.3）代入解出方程的根代入解出方程的根（5.4）54第第5节节 解的稳定性解的稳定性的根关系到解的性质，分析解稳定性的条件。的根关系到解的性质，分析解稳定性的条件。 (1)真正解在小阻尼情况下应具有振荡特性，因此真正解在小阻尼情况下应具有振荡特性，因此必须是复数必须是复数这就要求这就要求即即（5.5）因为因为所以上式可以得到所以上式可以得到（5.6）55第第5节节 解的稳定性解的稳定性(2)真正解不应无限的增长，这就要求真正解不应无限的增长，这就要求（5.7）表示无阻尼的自由振动。表示无阻尼的自由振动。为了保持解的稳定性，中心差分法的时间步长必须服从一下条件为了保持解的稳定性，中心差分法的时间步长必须服从一下条件（5.8）其中其中tcr是临界时间步长，是临界时间步长，Tn是系统的最小固有周期。是系统的最小固有周期。56第第5节节 解的稳定性解的稳定性二、二、NewmarkNewmark方法方法方程的根为方程的根为（5.10）（5.9）57第第5节节 解的稳定性解的稳定性分析解稳定性的条件分析解稳定性的条件(1)真正解在小阻尼情况下应具有振荡特性，因此真正解在小阻尼情况下应具有振荡特性，因此必须是复数必须是复数这就要求这就要求即即（5.11）当当pi很大时，即很大时，即t不受限制时，仍要求上式成立，必须是不受限制时，仍要求上式成立，必须是（5.12）58第第5节节 解的稳定性解的稳定性(2)真正解不应无限的增长，这就要求真正解不应无限的增长，这就要求即即（5.13）当当pi很大时，仍要求上式成立，必须是很大时，仍要求上式成立，必须是（5.14）（5.15）59第第5节节 解的稳定性解的稳定性综合以上分析可以得到综合以上分析可以得到Newmark方法方法无条件稳定的条件无条件稳定的条件是是（5.16）如果不满足上述条件，要得到稳定解，时间步长如果不满足上述条件，要得到稳定解，时间步长t必须满足必须满足（5.17）60第第6节节 大型特征值问题的解法大型特征值问题的解法1.反迭代法反迭代法算法简单比较适合于只要求得到系统的很少数目特征值的情况算法简单比较适合于只要求得到系统的很少数目特征值的情况2.子空间迭代法子空间迭代法求解大型矩阵特征值问题的最常用且有效的方法，它适合于求解求解大型矩阵特征值问题的最常用且有效的方法，它适合于求解部分特征值，被广泛应用于结果动力学的有限元分析中。部分特征值，被广泛应用于结果动力学的有限元分析中。3.里兹向量直接叠加法里兹向量直接叠加法直接产生一组里兹向量，对运动方程进行缩减，求解缩减了的运直接产生一组里兹向量，对运动方程进行缩减，求解缩减了的运动方程，进而得到原系统方程的特征解。动方程，进而得到原系统方程的特征解。4.Lanczos方法方法直接产生一组直接产生一组Lanczos向量，对运动方程进行缩减，求解缩减了向量，对运动方程进行缩减，求解缩减了的运动方程，进而得到原系统方程的特征解。的运动方程，进而得到原系统方程的特征解。61第第7节节 减缩系统自由度的方法减缩系统自由度的方法1.Guyan缩减法缩减法又称为主从自由度法，通常不宜分析高阶的频率和振型。又称为主从自由度法，通常不宜分析高阶的频率和振型。2.动力子结构法动力子结构法又称为模态综合法，它能够大幅度地缩减动力分析的规模。大又称为模态综合法，它能够大幅度地缩减动力分析的规模。大型复杂系统分析如果采用动力子结构方法，计算效率将成量级型复杂系统分析如果采用动力子结构方法，计算效率将成量级的提高。现今大型动力系统分析中广泛采用的就是该方法。的提高。现今大型动力系统分析中广泛采用的就是该方法。3.旋转周期分析方法旋转周期分析方法在理论上，分析中未引进自由度缩减方法所带来的近似性，因此在理论上，分析中未引进自由度缩减方法所带来的近似性，因此可以得到和整体结构分析时相同的精度。但它有局限性，只能用可以得到和整体结构分析时相同的精度。但它有局限性，只能用于具有旋转周期的结构，不如子结构法应用范围广泛。于具有旋转周期的结构，不如子结构法应用范围广泛。62第第8节节 小小 结结u在结构动力学有限元求解方程的解法中，关于二阶常微分方在结构动力学有限元求解方程的解法中，关于二阶常微分方程组的直接积分法，分别以中心差分法和程组的直接积分法，分别以中心差分法和Newmark 法为代表法为代表讨论了显式算法和隐式算法的各自算法步骤、特点、稳定性讨论了显式算法和隐式算法的各自算法步骤、特点、稳定性条件及其适合使用的情况。条件及其适合使用的情况。u振型叠加法也是动力分析中一种成熟而被广泛应用的方法。振型叠加法也是动力分析中一种成熟而被广泛应用的方法。它的核心内容是动力特性方程的求解。将振型叠加法推广于它的核心内容是动力特性方程的求解。将振型叠加法推广于有限元分析，本章讨论的反迭代法和子空间迭代法是现行最有限元分析，本章讨论的反迭代法和子空间迭代法是现行最常用的方法。常用的方法。u关于系统自由度的减缩方法，现今大型动力系统分析中广泛关于系统自由度的减缩方法，现今大型动力系统分析中广泛采用的是动力子结构法，它能够大幅度地缩减动力分析的规采用的是动力子结构法，它能够大幅度地缩减动力分析的规模。模。