构造拉格朗日插值多项式构造拉格朗日插值多项式其形式具有对称性，即便于记忆，其形式具有对称性，即便于记忆，必须全部重新计算。必须全部重新计算。插商与牛顿插商与牛顿(Newton)插值多项式插值多项式由于公式中的由于公式中的都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时，都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时，又便于应用与编制程序。又便于应用与编制程序。1这种形式的插值多项式称为这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式。次牛顿插值多项式。，即，即其中系数其中系数可由插值条件可由插值条件记为记为为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式 确定。确定。2定义定义1 设函数设函数f(x)在点在点 为为f(x)在点在点处的处的一阶差商一阶差商，记为，记为，即，即称一阶差商的差商称一阶差商的差商（为为f(x)在在处的处的二阶差商二阶差商，记为，记为上的值依次为上的值依次为称称互异）互异）为此我们引入差商概念：为此我们引入差商概念：3一般地，称一般地，称 m-1 阶差商的差商阶差商的差商为为 f(x) 在点在点特别地，规定零阶差商特别地，规定零阶差商处的处的m阶差商。阶差商。即即4为便于应用，通常采用差商表，例如为便于应用，通常采用差商表，例如一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商5性质性质1 k阶差商阶差商是由函数值是由函数值线性组合而成的，即线性组合而成的，即性质性质2 差商具有对称性，即在差商具有对称性，即在k阶差商阶差商中任意调换中任意调换2个节点个节点和和差商有如下性质：差商有如下性质：的顺序，其值不变。的顺序，其值不变。6性质性质3 k阶差商阶差商和和 k 阶导数阶导数之间有如下重要关系：之间有如下重要关系： 有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商来表示牛顿差值多项式来表示牛顿差值多项式中的系数。中的系数。7由插值条件由插值条件，可得，可得由插值条件由插值条件，可得，可得由插值条件由插值条件，可得，可得8一般地，可以证明有一般地，可以证明有于是，满足插值条件于是，满足插值条件 的的n次牛顿插值多项式为次牛顿插值多项式为9例例3 已知函数表已知函数表10012114416910111213试用牛顿线性插值与抛物线插值求试用牛顿线性插值与抛物线插值求的近似值，并估计截断误差。的近似值，并估计截断误差。10解：解：先构造差商表，取先构造差商表，取一阶差商二阶差商三阶差商100100.04761912111-0.000094110.0434780.000000313814412-0.000072460.0400001691311由差商表，牛顿插值多项式的系数依次为由差商表，牛顿插值多项式的系数依次为牛顿线性插值多项式为牛顿线性插值多项式为 牛顿抛物线插值多项式为牛顿抛物线插值多项式为 所求近似值为所求近似值为 所求近似值为所求近似值为 12可知近似值可知近似值与与的截断误差分别为的截断误差分别为， 由插值余项公式由插值余项公式 13 在实际计算中，特别是在函数在实际计算中，特别是在函数f(x)的高阶导数的高阶导数比较复杂或比较复杂或f(x)的表达式没有给出时，由性质的表达式没有给出时，由性质3，我们可以用差商表示的余项公式我们可以用差商表示的余项公式 实际计算中，当实际计算中，当n+1阶差商变化不激烈时，可用阶差商变化不激烈时，可用近似代替近似代替取取来估计截断误差。来估计截断误差。14例例3中，若用此方法估计截断误差，则有中，若用此方法估计截断误差，则有与实际误差与实际误差相当接近。相当接近。15练习：练习：给定数据如下：给定数据如下： x 1 1.5 0 2 f(x) 1.25 2.50 1.00 5.50 用牛顿二次、三次插值多项式近似计算用牛顿二次、三次插值多项式近似计算f(1.46)的值，的值，并估计牛顿二次插值多项式近似计算的截断并估计牛顿二次插值多项式近似计算的截断误差，说明牛顿二次多项式近似计算结果的有效数误差，说明牛顿二次多项式近似计算结果的有效数字。字。16