如图，是一个平分角的仪器，其中如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，CB=CD,将点将点A放在角的放在角的顶点，顶点，AB和和AD沿着角的两边放下，沿着角的两边放下，沿沿AC画一条射线画一条射线AE,AE就是角的平就是角的平分线。你能说明它的道理吗？分线。你能说明它的道理吗？ABCDE12根据根据SSS, 可知两个三角形全等可知两个三角形全等1=2从上面的探究你能得出作一个角的从上面的探究你能得出作一个角的角平分线的方法吗？角平分线的方法吗？已知：已知：AOB求作：求作：AOB的平分线的平分线作法作法：（：（1）以）以O为圆心，适当长为为圆心，适当长为半径作弧，交半径作弧，交OA于于M,交交OB于于N;（2）分别以）分别以M、N为圆心，大于为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在的长为半径作弧，两弧在AOB的内部交于点的内部交于点C.(3)作射线作射线OC.射线射线OC即为所求。即为所求。你能说明其中的道理吗？你能说明其中的道理吗？AMOBNC做做P108页的练习，并回答问题。页的练习，并回答问题。做一做做一做1。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？2 2。再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜。再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜边，边，OAOA与与OBOB为直角边）为直角边）观察两次折出的三条折痕，你能得出观察两次折出的三条折痕，你能得出什么结论？什么结论？第二次折出的两条折痕的长度相等。第二次折出的两条折痕的长度相等。AOBC将将AOB对折对折AOBPAOBDPE你能说明其中的道理吗？你能说明其中的道理吗？AAS从上面的实验中，你能得到什么结论？从上面的实验中，你能得到什么结论？已知：如图，已知：如图，OP是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别为垂足分别为D，E求证：求证：PD=PE 定理：定理：在角的平分线上的点到这个角的在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。两边的距离相等。 证明证明: 1=2 , OP=OPPDO=PEO=90PDOPEO (AAS)PD=PE (全等三角形的对应全等三角形的对应边相等边相等) AOBDPEC12该定理的题设和结论分别是什么？该定理的题设和结论分别是什么？角平分线的性质定理角平分线的性质定理定理定理 1 在角的平分线上的点到这个角的在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。两边的距离相等。定理定理应用所具备的条件：应用所具备的条件：（1）角的平分线；）角的平分线；（2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用： 证明线段相等。证明线段相等。应用应用定理定理的书写格式：的书写格式：OP 是是 的平分线的平分线PD = PE（在角的平分线上的点在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。到这个角的两边的距离相等。）推理的理由有三个，推理的理由有三个，必须写完全，不能少必须写完全，不能少了任何一个。了任何一个。AOBDPE如果交换定理如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个真命题吗？真命题吗？ 逆命题：逆命题： 到一个角的两边距离相等的点，在这个到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。角的平分线上。已知：如图，已知：如图，PDOA，PEOB，垂垂足分别是足分别是D，E， PD=PE。求证：点求证：点P在在AOB的平分线上。的平分线上。证明证明: 在在RtODP和和RtOEP中中,ODP=OEP=90OP=OP, PD=PERtOPD RtOPE (HL) 到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。定理定理定理定理 2 2定理定理 2的应用书写格式的应用书写格式：OP 是是 的平分线的平分线PD= PE （到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上在这个角的平分线上）用途：判定一条射线是角平分线用途：判定一条射线是角平分线例例1 已知：如图、已知：如图、E是是BAC平分线上的一点，平分线上的一点，EBAB，ECAC，B，C分别是垂足。求证：分别是垂足。求证：EBCECB证明：证明： E是是BAC平分线上的一点，平分线上的一点，EBAB，ECACEB=EC（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）EBCECB（在（在（在（在一个三角形中，等边对等角一个三角形中，等边对等角一个三角形中，等边对等角一个三角形中，等边对等角）ACEB想一想：题中想一想：题中BC 被被AE垂直平分吗？垂直平分吗？1234ABEACERt 1 234又又EB=EC AE垂直平分垂直平分BC 如图，开发区一个工如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为近桥头的距离为500米。米。你能尝试确定工厂的位置你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。吗？并说明理由。北北比例尺比例尺1：20000 到公路的距离与到河岸的距离相等到公路的距离与到河岸的距离相等工厂在河岸与公路的角平分线上工厂在河岸与公路的角平分线上 （到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上在这个角的平分线上）以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5则另一点就是工厂的位置。则另一点就是工厂的位置。例例.已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于点相交于点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：过点证明：过点P作作PD 、PE、PF分别分别垂垂直于直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、FBM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上（已知）上（已知）PD=PE（在角平分线上的点到角的在角平分线上的点到角的两边的距离相等）两边的距离相等）同理同理 PE=PF. PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。这个交点叫三角形的内心这个交点叫三角形的内心已知：如图，已知：如图，ABC的的B的外角平分线的外角平分线BD和和C的外角平分线的外角平分线CE相交于点相交于点F。求证：点求证：点F在在DAE的平分线上。的平分线上。A B做一做做一做FEDC那么点那么点F到到ABC三边的距离相等吗？三边的距离相等吗？如图，有三条交错的货运铁路，要在铁路附近造如图，有三条交错的货运铁路，要在铁路附近造一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等，一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等，问，理论上有几个地点可作为仓库的位置？问，理论上有几个地点可作为仓库的位置？4 个个2 如图，如图，DEAB，DFBC，垂足垂足分别是分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则，则 EBF= 度，度，BE= 。60BF3.3.如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段那么线段BEBE是是ABCABC的的，AE+DE=AE+DE=。12A BEDC角平分线角平分线64.4.如图如图，在，在ABC中，中，C=90，AC=BC，AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于于E。求证：求证：DBE的周长等于的周长等于AB的长。的长。 A BEDC如图所示，在如图所示，在ABC中，中，C=90，AD是是BAC的平分线交的平分线交BC于于D，BC=15，且，且CD：DB=1：2，则点则点D到到AB的距离为的距离为_。 A BDC在在V型公路（型公路（AOB）内部，有两个村庄内部，有两个村庄C、D。你你能选择一个纺织厂的厂址能选择一个纺织厂的厂址P，使，使P到到V型公路的距离型公路的距离相等，且使相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？两村的工人上下班的路程一样吗？OAB. C. DP活动与探究活动与探究:已知：如图，已知：如图，1=2，P为为BN上一点，且上一点，且PDBC于于D，AB+BC=2BD求证：求证：BAP+BCP=180EBAPDCN12M耐心地想一想耐心地想一想 如图，如图，EG，FG分别分别MEF的的NFE的平分线，交的平分线，交点是点是G。PB，PC分别是分别是MBC和和NCB的平分线，的平分线，交点是交点是P，F，C在在AN上，上，B，E在在AM上，如果上，如果G=68，求，求P的度数。的度数。GENMPFCAB小小 结：结： 3 3 角的平分线的性质定理角的平分线的性质定理1 1，定理，定理2 2是是证明角证明角相等，线段相等相等，线段相等的新途径。的新途径。定理定理1 1多用于证明多用于证明线段相等线段相等，定理定理2 2多用于多用于证明角相等或点在角证明角相等或点在角平分线上。平分线上。1 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。离相等。2 2 到一个角的两边距离相等的点，在这个角到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。的平分线上。