第六节第六节第六节第六节一、一、一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线曲线的渐近线曲线的渐近线二、二、二、二、 函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘8/26/20241无渐近线无渐近线无渐近线无渐近线 . .点点点点 MM 与某一直线与某一直线与某一直线与某一直线 L L 的距离趋于的距离趋于的距离趋于的距离趋于 0,0,一、一、一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义定义定义 . . 若曲线若曲线若曲线若曲线 C C上的点上的点上的点上的点M M 沿着曲线无限地远离原点沿着曲线无限地远离原点沿着曲线无限地远离原点沿着曲线无限地远离原点时时时时, ,则称直线则称直线则称直线则称直线 L L 为为为为曲线曲线曲线曲线C C 的渐近线的渐近线的渐近线的渐近线 . .例如例如例如例如, , 双曲线双曲线双曲线双曲线有渐近线有渐近线有渐近线有渐近线但抛物线但抛物线但抛物线但抛物线或为或为或为或为“ “纵坐标差纵坐标差纵坐标差纵坐标差” ”8/26/202421. 1. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若若若若则曲线则曲线则曲线则曲线有水平渐近线有水平渐近线有水平渐近线有水平渐近线若若若若则曲线则曲线则曲线则曲线有铅直渐近线有铅直渐近线有铅直渐近线有铅直渐近线例例例例1. 1. 求曲线求曲线求曲线求曲线的渐近线的渐近线的渐近线的渐近线 . .解解解解: :为水平渐近线为水平渐近线为水平渐近线为水平渐近线; ;为铅直渐近线为铅直渐近线为铅直渐近线为铅直渐近线. .8/26/202432. 2. 斜渐近线斜渐近线斜渐近线斜渐近线斜渐近线斜渐近线斜渐近线斜渐近线若若若若( P76 ( P76 题题题题14)14)8/26/20244例例例例2. 2. 求曲线求曲线求曲线求曲线的渐近线的渐近线的渐近线的渐近线. .解解解解: :所以有铅直渐近线所以有铅直渐近线所以有铅直渐近线所以有铅直渐近线及及及及又因又因又因又因为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线 . .8/26/20245二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤步骤步骤 : :1. 1. 确定函数确定函数确定函数确定函数的定义域的定义域的定义域的定义域 , ,期性期性期性期性 ; ;2. 2. 求求求求并求出并求出并求出并求出及及及及3. 3. 列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间 , , 求出极值和拐点求出极值和拐点求出极值和拐点求出极值和拐点 ; ;4. 4. 求渐近线求渐近线求渐近线求渐近线 ; ;5. 5. 确定某些特殊点确定某些特殊点确定某些特殊点确定某些特殊点 , , 描绘函数图形描绘函数图形描绘函数图形描绘函数图形 . .为为为为 0 0 和不存在和不存在和不存在和不存在的点的点的点的点 ; ;并考察其对称性及周并考察其对称性及周并考察其对称性及周并考察其对称性及周8/26/20246例例例例3. 3. 描绘描绘描绘描绘的图形的图形的图形的图形. .解解解解: 1) : 1) 定义域为定义域为定义域为定义域为无对称性及周期性无对称性及周期性无对称性及周期性无对称性及周期性. .2)2)3)3)( (极大极大极大极大) )( (拐点拐点拐点拐点) )( (极小极小极小极小) )4)4)8/26/20247例例4. 描绘方程描绘方程的图形的图形.解解: 1)定义域为定义域为2) 求关键点求关键点.原方程两边对原方程两边对 x 求导得求导得两边对两边对 x 求导得求导得8/26/202483) 3) 判别曲线形态判别曲线形态判别曲线形态判别曲线形态( (极大极大极大极大) )( (极小极小极小极小) )4) 4) 求渐近线求渐近线求渐近线求渐近线为铅直渐近线为铅直渐近线为铅直渐近线为铅直渐近线无无无无定定定定义义义义8/26/20249又因又因又因又因即即即即5) 5) 求特殊点求特殊点求特殊点求特殊点为斜渐近线为斜渐近线为斜渐近线为斜渐近线8/26/2024106 6）绘图）绘图）绘图）绘图( (极大极大极大极大) )( (极小极小极小极小) )斜渐近线斜渐近线斜渐近线斜渐近线铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线特殊点特殊点特殊点特殊点无无无无定定定定义义义义8/26/202411例例例例5. 5. 描绘函数描绘函数描绘函数描绘函数的图形的图形的图形的图形. . 解解解解: 1) : 1) 定义域为定义域为定义域为定义域为图形对称于图形对称于图形对称于图形对称于 y y 轴轴轴轴. .2) 2) 求关键点求关键点求关键点求关键点3) 3) 判别曲线形态判别曲线形态判别曲线形态判别曲线形态( (极大极大极大极大) )( (拐点拐点拐点拐点) )8/26/202412为水平渐近线为水平渐近线为水平渐近线为水平渐近线5) 5) 作图作图作图作图4) 4) 求渐近线求渐近线求渐近线求渐近线( (极大极大极大极大) )( (拐点拐点拐点拐点) )8/26/202413水平渐近线水平渐近线 ; 垂直渐近线垂直渐近线; 内容小结内容小结1. 曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法斜渐近线斜渐近线按作图步骤进行按作图步骤进行2. 函数图形的描绘函数图形的描绘8/26/202414思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习 1. 1. 曲线曲线曲线曲线( (A A) ) 没有渐近线；没有渐近线；没有渐近线；没有渐近线；( (B B) ) 仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；( (C C) ) 仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；( (D D) ) 既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线. .提示提示提示提示: :8/26/202415拐点为拐点为拐点为拐点为 , ,凸区间是凸区间是凸区间是凸区间是 , ,2. 2. 曲线曲线曲线曲线的凹区间是的凹区间是的凹区间是的凹区间是 , ,提示提示提示提示: :及及及及渐近线渐近线渐近线渐近线 . .8/26/202416P76 14 (2); P76 14 (2); P169 2 ; 5P169 2 ; 5作业作业作业作业第七节第七节第七节第七节 8/26/202417备用题备用题备用题备用题 求笛卡儿叶形线求笛卡儿叶形线求笛卡儿叶形线求笛卡儿叶形线的渐近线的渐近线的渐近线的渐近线 . . 解解解解: : 令令令令 y y = = t t x x , ,代入原方程得曲线的参数方程代入原方程得曲线的参数方程代入原方程得曲线的参数方程代入原方程得曲线的参数方程 : :因因因因所以笛卡儿叶形线有斜渐近线所以笛卡儿叶形线有斜渐近线所以笛卡儿叶形线有斜渐近线所以笛卡儿叶形线有斜渐近线叶形线叶形线叶形线叶形线 笛卡儿笛卡儿笛卡儿笛卡儿叶形线叶形线叶形线叶形线8/26/202418