3.1.3导数的导数的 几何意义几何意义1高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用一、复习一、复习1、导数的定义、导数的定义其中：其中： 其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线表示曲线上两点连线（就是曲线的的割线割线）的斜率。）的斜率。其几何意义是？其几何意义是？2:切线切线Pl 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。例。不能不能xyo直线与圆相切时，只有一个交点直线与圆相切时，只有一个交点PPQoxyy=f(x)割割线线切线切线T1、曲线上一点的切线的定义、曲线上一点的切线的定义结论结论: :当当Q Q点无限逼近点无限逼近P P点时点时, ,此时此时直线直线PQPQ就是就是P P点处的切线点处的切线PT.PT.点点P处的割线与切线存在什么关系？处的割线与切线存在什么关系？新新授授xoyy=f(x) 设曲线设曲线C是函数是函数y=f(x)的图象，的图象，在曲线在曲线C上取一点上取一点P(x0,y0)及邻近一及邻近一点点Q(x0+x,y0+y),过过P,Q两点作两点作割割线线， 当点当点Q沿着曲线沿着曲线无限接近无限接近于点于点P点点P处的处的切线切线。即即x0时时, 如果割线如果割线PQ有一个有一个极极限位置限位置PT, 那么直线那么直线PT叫做曲线在叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义曲线在某一点处的切线的定义xyPQT此处切线定义与以前的定义有何不同？此处切线定义与以前的定义有何不同？xyoPQM为什么与抛物线对称轴平行的直线不为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线？是抛物线的切线？ 思考：思考：QPPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn趋近于确定的位置，这个确趋近于确定的位置，这个确定位置的直线定位置的直线PT称为点称为点P处的处的切线切线. 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。 通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。 xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割线与切线的斜率有何关系呢？割线与切线的斜率有何关系呢？ 即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线，就是曲线在点在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个有一个极限位置极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的斜率的斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即: 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限. 要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限来判断与求解要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限如有极限,则在此则在此点有切线点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个. 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是处的切线的斜率是 . 故故曲线曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:题型三：型三：导数的几何意数的几何意义的的应用用例例1:（1）求函数）求函数y=3x2在点在点(1,3)处的导数处的导数.（2）求曲）求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切的切线方程方程.题型三：型三：导数的几何意数的几何意义的的应用用例例2:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程. yx-2-112-2-11234OP即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.练：设练：设f(x)为可导函数为可导函数,且满足条件且满足条件 , 求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率.故所求的斜率为故所求的斜率为-2.题型三：型三：导数的几何意数的几何意义的的应用用hto二、函数的导数：二、函数的导数：函数在点函数在点 处的导数处的导数 、导函数、导函数 、导数、导数 之之间的区别与联系。间的区别与联系。1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。小结：小结：求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切线先利用切线斜率的定义求出切线的斜率的斜率(2)利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.作业：P80 5