采样系统分析采样系统分析第第8 8章章 采样系统理论8-1 采样过程与采样定理基本要求8-2 信号的恢复与零阶保持器8-3 z变换与z反变换8-4 脉冲传递函数8-5 采样系统的性能分析8-6 采样系统的数字校正返回主目录基 本 要 求正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联系。Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和通过部分分式分解进行反变换, 了解用Z变换法解差分方程的主要步骤和方法。正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法, 掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。返回子目录返回子目录熟练掌握Z域稳定性的判别方法。熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的关系。熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。掌握最小拍采样系统的设计步骤。8-1 采样过程与采样定理一、采样过程一、采样过程将连续信号转换成离散信号的过程该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图8-3 所示，其中载波信号 是一个周期为T，宽度为 )，的脉冲序列，如图8-3（b）所示。幅值为幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图8-3（c）所示。 调制后得到的采样信号是一个周期为T，宽度为返回子目录返回子目录(图8-3 信号的采样过程实现上述采样过程的装置称为采样开关采样开关 可用图8-3（d）所示的符号表示。（8-1）由于载波信号是周期函数，故可以展成如下Fourier级数（8-2）则采样信号 可以表示为（8-4）（8-3）其中， 为采样频率，Fourier系数 由下式给出 若连续信号的Fourier变换为 ，则采样信号的Fourier变换为连续信号 与离散信号 的频谱曲线如图8-4所示。 （8-5）图8-4香农（Shannon）采样定理 v若存在一个理想的低通滤波器，其频率特性如图8-5所示，便可以将采样信号完全恢复成原连续信号。由此可得如下著名的 ： 图8-5）香农（Shannon）采样定理如果采样频率 满足以下条件式中 为连续信号频谱的上限频率 则经采样得到的脉冲序列可以无失真地恢复为原连续信号。（8-6）二、理想采样过程v为了简化采样过程的数学描述，引入如下理想采样开关理想采样开关的概念 。v载波信号 可以近似成如下理想脉冲序列（ ）（8-7）再设当 时， 则采样过程的数学描述为 此时，采样过程如图8-6所示。 理想理想采样开关的输出是一个理想理想脉冲序列。 （8-8）图8-6 理想采样开关的采样过程 同样， 可以展成如下Fourier级数 其中（8-10）则有（8-11）和（8-12）图8-7 连续信号和采样信号的频谱注 意 ： 上述香农采样定理要求满足以下两个条件： 频谱的上限频率是有限的； 存在一个理想的低通滤波器。但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器； 8-2信号的恢复与零阶保持器v信号的恢复信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器保持器。 可将展成如下泰勒级数时，（8-13）返回子目录返回子目录各阶导数的近似值 v由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。若式（8-13）的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。 （8-14）图8-8 信号的采样与保持过程零阶保持器的数学表达式为 （8-16）理想采样开关的输出Laplace变换为零阶保持器的输出为(8-17)(8-18)由上式可知零阶保持器的 (8-20)(8-19)传递函数传递函数零阶保持器的频率特性为 相频特性为(8-22)(8-23)其幅频特性为其中v零阶保持器的频率特性曲线如图8-9所示，对比图8-4可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。图8-9 零阶保持器的频率特性曲线8-3 z变换与z反变换一、z变换v连续信号 经采样后得到的脉冲序列为对上式进行Laplace变换，得（8-25）（8-26）返回子目录返回子目录引入一个新的复变量将式上式代入式（8-26）可得 z z变换变换变换变换的定义式如下称 为 的z z变换变换，记作 或 由此可看出 是关于复变量 的幂级数 。（8-28）例8-1 求单位脉冲信号的z变换。 解：解：设 ，则 由于 在时刻 的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有例8-2 求单位阶跃信号的z变换。 v解：解： 设 ，则 该级数的收敛域为 ，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式例8-3 求单位斜坡信号的z变换。 v设 ，则v上式两边对z求导数，并将和式与导数交换，得v上式两边同乘 ，便得单位斜坡信号的z变换 解：解：例8-4 求指数函数的z变换。解：设 ，则例8-5v设设 ，求，求 的的z z变换。变换。解：解：上式两边求Laplace反变换，得再由例8-2和例8-4有注意：v不能直接将 代入 来求 ，因为是针对采样信号 进行z变换。二、z变换的基本定理其中 和 为任意实数。1 1线性定理：线性定理：（8-30）若 和 z变换为 和 ，则证明：2实数位移定理v若 的z变换为 ，则（8-31）（8-32）证明：v证明式（8-31）v由于当 时， ，所以有证明式（8-32）3复位移定理v已知 的z变换函数为 ，则证明：证明：4Z域尺度定理v若已知 的z变换函数为 ，则证明：证明：其中， 为任意常数。 （8-34）三、z反变换vz反变换是z变换的逆运算逆运算。其目的是由象函数 求出所对应的采样脉冲序列 （或 ），记作 （8-35） z反变换只能给出采样信号 ，而不能给出连续信号 。 注意注意1 部分分式法v若象函数 是复变量z的有理分式，且 的极点 互异，则 可展成如下形式：上式两边同乘z，再取z反变换得（8-36）（8-37）（8-38）例8-6 v已知z变换函数v求其z反变换。解：v首先将 展成部分分式 2 长除法对比式（8-29）可知 v若z变换函数 是复变量z的有理函数，则可将 展成 的无穷级数，即（8-40）（8-41）例8-7 v已知z变换函数为v求其z反变换。解：v由运用长除法得由此得于是脉冲序列可以写成3 留数计算法由z变换的定义可知（8-43）v设 的极点为 ，则包围了的所有极点 （8-48）例8-8 v已知z变换函数为v试用围线积分方法求z反变换。解：v上式有两个极点 和 ，且 所以四 初值定理和终值定理1 1 初值定理：初值定理： 设 的z变换为 ，并且有极限 存在， 则 （8-49 ）2 2 终值定理：终值定理： 设 的z变换为 ，且 的极点均在z平面的单位圆内，则（8-50）五、用z变换法解线性常系数差分方程1 1 1 1 差分的定义差分的定义差分的定义差分的定义v假设在图8-1所示的采样系统中，模拟数字转换器在离散时间对误差信号 进行采样，并将瞬时值 记为 或 ，则 的一阶前项差分定义为二阶前向差分定义为vn阶前向差分定义为vn阶后向差分定义为8-4 8-4 脉冲传递函数脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义为输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比 （8-59）图8-10 返回子目录返回子目录系统输出的采样信号为经虚设采样开关得到的脉冲序列 反映的是连续输出 在采样时刻的瞬时值。二、开环脉冲传递函数v1开环脉冲传递函数的推导（8-66）由此v求该开环系统的脉冲传递函数 。例8-11 v系统结构如图8-10所示，其中连续部分的传递函数为解：v连续部分的脉冲响应函数为 脉冲传递函数为或由 得查表得查表得2串联环节的脉冲传递函数（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数图8-11（8-67）例 8-12 v系统结构如图8-11所示，其中 v求开环脉冲传递函数。解：(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数v如图8-12所示，其脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积，记为图8-12 串联环节间有采样开关的开环系统（8-68）例8-13 v系统结构如图8-12所示，其中v求开环脉冲传递函数。解：v所以由于（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数v开环脉冲传递函数为 图8-13 带零阶保持器的开环采样系统例 8-14 v系统结构如图8-13所示，其中v采样周期 s求其开环脉冲传递函数。解：v由于v所以三、闭环脉冲传递函数图8-14 闭环采样系统采样开关的输入和系统的输出 分别为整理得 于是闭环系统的脉冲传递函数为例 8-15 v闭环采样系统的结构如图8-14所示，其中v采样周期 秒，v求闭环脉冲传递函数，v若 ，求 。解：v对于阶跃输入函数有则输出信号的z变换为于是于是注意v有些闭环采样系统不可能求出 形式的闭环脉冲传递函数，而只能求出输出信号 的表达式。如图8-15所示的闭环采样系统 （8-15） 8-5 采样系统的性能分析一、稳定性1 从s平面到z平面的影射关系由Z变换的定义（8-80）若令（8-81）则有（8-82）返回子目录返回子目录v左半s平面上 的带称为主带，其它称为 次带。 图8-16 从s平面到z平面的影射2 Z域的稳定条件和稳定性判据v在z平面上系统稳定的充分必要条件是，系统的特征根必须全部位于z平面的单位圆单位圆内。设采样系统的闭环脉冲传递函数为则闭环特征方程为（8-84）(1) 朱利（Jury）稳定判据 且 ，根据特征方程的系数构造朱利阵列， 则特征方程的根均位于单位圆内的充分必要条件为共（n-1）个约束条件 （8-86）（8-87）例8-16 v已知采样系统的闭环特征方程为试判断该系统的稳定性。解：解：朱利朱利阵列列行数1-0.1250.75-1.5121-1.50.75-0.1253-0.981.41-0.564-0.561.41-0.96系统是稳定的系统是稳定的 (2) 劳 思(Routh) 稳 定 判 据v在分析连续系统分析连续系统时，曾应用Routh稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。v对于采样系统采样系统，也可用Routh判据分析其稳定性，但由于在z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因此不能直接应用Routh判据。 引入如下双线性变换 此时可用Routh判据判断采样系统的稳定性。(3) z平面的根轨迹方法v以上述例8-15所示的闭环采样系统为例，其特征方程为 可知使系统稳定的最大可知使系统稳定的最大K值为值为4.33。例8-16的根轨迹图二、闭环极点与瞬态响应之间的关系v设采样系统的闭环传递函数闭环传递函数为 （8-91）v若输入信号为单位阶跃单位阶跃，则 将 按部分分式展开，得v上式中第一项为稳态分量稳态分量，第二项为瞬瞬态分量态分量，显然瞬态分量的变化规律取决于极点在z平面中的位置。 图8-18 不同极点所对应的瞬态响应三、稳态误差图8-19 单位负反馈采样系统（8-97）在输入信号 作用下，误差的z变换表达式为1 当输入为阶跃函数时 定义静态位置误差系数为则根据终值定理，有2 当输入是斜坡函数时 v定义静态速度误差系数为v稳态误差为3 当输入是等加速信号时 定义静态加速度误差系数为稳态误差为例8-17 v已知采样系统的结构如图所示，其中， ，采样周期 s，求在输入信号 的作用下，系统的稳态误差。图8-21解：采样系统的闭环特征方程为采样系统的开环脉冲传递函数为该采样系统稳定 在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零静态加速度误差系数为因此，在输入 作用下的稳态误差为8-6采样系统的数字校正如图所示的闭环采样系统闭环脉冲传递函数为 图8-21 含数字校正装置的采样系统返回子目录返回子目录系统的误差为其中 为 的有限次多项式，若能选择合适的 ，使 其中 为关于 的多项式，并且不含因子 。设输入为时间的幂函数Atq （ ），其中 为正整数，则则 稳态误差稳态误差 为零。（8-109）（8-110）v将 代入上式，便可确定所需要的数字校正装置的脉冲传递函数 。又为了使系统能在尽可能少的周期内实现对输入的完全跟踪，应使中 所含 项的数目最少，为此应取1 当 时 v最少拍无差系统的闭环传递函数为v此时误差信号的Z变换为系统经过1拍便可以完全跟踪上输入信号。 （8-111）（8-112）2 当 时 v最少拍无差系统的闭环传递函数为v此时误差信号的Z变换为系统经过2拍便可以完全跟踪上输入信号。 （8-113）（8-114）3 当 时 v最少拍无差系统的闭环传递函数为v此时误差信号的Z变换为系统经过3拍便可以完全跟踪上输入信号。 （8-115）（8-116）例8-18 已知采样系统的结构如图所示，其中，采样周期 s， ，试设计 使该系统在单位阶跃信号作用下为最少拍无差系统。 图8-21 最少拍无差系统解：v将上式求Z反变换可得输出序列 本章主要知识点与主要线索 稳态误差根轨迹开环脉冲传递函数闭环零、极点系统稳定性、品质系统型别(稳定系统)劳斯判据双线性变换终值定理特征式D(z)稳定性一定条件下长除法部分分式分解求留数朱利判据闭环零、极点稳定性平稳性、快速性