2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其平面向量数量积的物理背景及其含义含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角夹角 一般地，实数一般地，实数与向量与向量a 的的积积是一个是一个向向量量，记作，记作a，它的它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1) |a|=| |a|(2) 当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相同；方向相同； 当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相反；方向相反； 特别地，当特别地，当=0或或a=0时时, a=0 设设a,b为任意向量，为任意向量，,为为任意实数任意实数，则有：，则有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=a+b已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，则则AOB= （0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直， 记为ab.OAab 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的的作用下产生位移作用下产生位移s（如图）如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。 已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的它们的夹角为夹角为，我们把数量我们把数量|a| |b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a| |b| cos规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。 |a| cos（|b| cos）叫）叫做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。 向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？ab=|a| |b| cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当 =90时时ab为零。为零。设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，的的夹角，则夹角，则特别地特别地OAB abB1解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10例例2 2 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求a ab b。例例3 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2OAB|b|cos abB1等于等于的的长度长度与与的的乘积。乘积。O投影OO练习：练习：1 1若若a = =0，则对任一向量则对任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，则对任一非零向量则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =04 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：其中，其中，是是任意三个向量，任意三个向量，注：注： 则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律证明运算律(3)例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.P116 例4例4 小结：1.2.可用来求向量的模可用来求向量的模3.投影投影作业：作业：4、已知已知a、b都是非零向量都是非零向量，且且a + 3 b 与与7 a 5 b 垂直垂直，a 4 b 与与7 a 2 b垂直垂直，求求a与与b的夹角的夹角。 解： （a + 3 b ）（7 a 5 b） （a 4 b ）（7 a 2 b ） （a + 3 b ）（7 a 5 b） =0 且 （a 4 b ） （7 a 2 b ）=0 即 7a a + 16 a b 15 b b =0 7a a - 30 a b + 8 b b =0 两式相减得： 2 a b = b 2， 代入其中任一式中得: a 2= b 2cos=