湘教版湘教版SHUXUE八年级下八年级下本课内容本节内容 1.4.2角平分线的性质（二）角平分线的性质（二）1 1、怎样用尺规作角的平分线、怎样用尺规作角的平分线. .2 2. .角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等ABOMPDOA，PEOB OC是是AOB的平分线的平分线 PDPE用符号语言表述：用符号语言表述：OCB1A2PDE 3. .角平分线的判定定理角平分线的判定定理: :到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。分线上。用符号语言表述：用符号语言表述： PDOA，PEOB PDPE 1= 2 即：即：OC是是AOB的平分线的平分线反过来：反过来：角的平分线是到角的两边距离相等的所有角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合点的集合. .动脑筋动脑筋动脑筋动脑筋ACBMNP如图，在如图，在ABC中，作点中，作点P，使点，使点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等。的距离相等。你能在你能在ABC中找到一点中找到一点P，使其到三使其到三边的距离相等吗？边的距离相等吗？分析：分析：因为角平分线上的点到角因为角平分线上的点到角两边的距离相等，两边的距离相等，所以只要作所以只要作ABC任意两角的平分线其交点任意两角的平分线其交点就是所求得就是所求得P点。点。口述作法口述作法能证明作图结论吗？能证明作图结论吗？如图，如图， ABC的角平分线的角平分线BM，CN相交于点相交于点P，求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等。的距离相等。DEFACBMNP证明：证明：过点过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于FBM是是ABC的角平分线的角平分线，点点P在在BM上，上，同理：同理：PE=PF.PD=PE=PF.即：点即：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等。的距离相等。点点P在在A的平分线上吗？的平分线上吗？三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形三边三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等。的距离相等。PD=PE( )( ).角平分线上的点到角两边距离相等角平分线上的点到角两边距离相等举举例例例例1、如图，已知如图，已知 EFCD, EFAB， MNAC， M是是EF的中点，需要添加一的中点，需要添加一个什么条件，就可使个什么条件，就可使CM，AM分别为分别为ACD和和CAB的平分线呢？的平分线呢？(可以添加条件可以添加条件MN=ME或或MN=MF) 理由：理由： NECD, MNCA 且且MN=ME NMFEDCBA M在在ACD的平分线上，的平分线上，即：即：CM是是ACD的平分线的平分线同理：可得同理：可得AM是是CAB的平分线。的平分线。例例2、 如图，在如图，在ABC的外角的外角DAC的平分线上的平分线上任取一点任取一点P，作，作PEDB，PFAC，垂足分别为，垂足分别为点点E、F。试探索。试探索BE+PF与与PB的大小关系。的大小关系。ACPBFED解：解：AP是是DAC的平分线。的平分线。又又 PEDB PFAC PE=PF在在EBP中，中，BE+PEPB BE+PFPB 例例3、如图，已知如图，已知ABC的外角的外角CBD和和BCE的平分线相交于点的平分线相交于点F，求证：点求证：点F在在DAE的平分线上的平分线上 证明：证明：过点过点F作作FGAE于于G，FHAD于于H，FMBC于于MGHM点点F在在BCE的平分线上，的平分线上，FGAE， FMBCFGFM又又点点F在在CBD的平分线上，的平分线上， FHAD， FMBCFMFHFGFH点点F在在DAE的平分线上的平分线上ABCDEFFEDCBADNE BFMCA1、如图，在如图，在ABC中，中，D是是BC的中点，的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是垂足分别是E，F，且且BE=CF。求证：求证：AD是是ABC的角平分线。的角平分线。提示：提示：RtDEB RtDFC（HL）得：得：DE=DF由角平分线性质，得出结论。由角平分线性质，得出结论。2、已知已知 BDAM于点于点D，CEAN于点于点E，BD，CE交点交点F，CF=BF，求证：求证：点点F在在A的平分线上的平分线上.提示：提示：RtFEB RtFDC（AAS）得：得：DE=EF由角平分线性质，得出结论。由角平分线性质，得出结论。DCBA变式训练：变式训练：如图，如图，ABC中，中，A = 90，AB = AC，BD是是BAC的平分线，的平分线，DEBC于于E，若，若BC = 10cm，则则DCE的周长等于的周长等于( )( )A10cm B8cm C6cm D9cmEA3、已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，A=90，AB = AC，BD平分平分ABC 求证：求证：BC = AB + AD提示：提示：由角平分线性质，得：由角平分线性质，得：AD=DE.RtBAD RtBED（HL）得：得：AB=BE又可证又可证：DEC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DE=EC如图，有两条河流如图，有两条河流l1，l2 ，两个工厂，两个工厂A，B，现要在，现要在这个区域内建一个中转站这个区域内建一个中转站P，要求，要求P到两工厂的距离到两工厂的距离相等，同时到两河流的距离也相等，请你在图中标相等，同时到两河流的距离也相等，请你在图中标出出P点的位置。点的位置。解：解：（1）画）画AB的垂直平分线的垂直平分线MN，ABl1l2（2）画画的平分线交直线的平分线交直线MN于于P,则则P点就是中转站的位置。点就是中转站的位置。P变式：如图，某地要在三条公路围成的一块平地上变式：如图，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个超市修建一个超市. .使这个超市到三条公路的距离相等使这个超市到三条公路的距离相等, ,应在何处修建应在何处修建? ?在确定超市的位置时在确定超市的位置时, ,一定要画出三个一定要画出三个角的平分线吗角的平分线吗? ?你是怎样思考的你是怎样思考的? ?你是如你是如何证明的何证明的? ?若把限制条件去掉，修建超市的地址有几处？若把限制条件去掉，修建超市的地址有几处？到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点点Q在在AOB的平分线上的平分线上用数学语言表示为：用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA，QEOB，点点Q在在AOB的平分线上的平分线上 QDQE作业：作业：P25 练习练习 P26 习题习题 3、5