第八章整式的乘法整式的乘法 8.5 乘法公式 第2课时 学习目标1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释并能够灵活应用.（重点） 2.理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.（难点） 情境引入 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较. 直接求：总面积=（a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 你发现了什么？ （a+b)2=a2+2ab+b2 a b a b 一 完全平方公式的运用合作探究计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 2+4m+4 2m (2) (m+2) =(m+2)(m+2)= . 2-2p+1 p2 (3) (p-1) =(p-1)(p-1)= . 2-4m+4 2m (4) (m-2) =(m-2)(m-2)= . 根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？ a2+2ab+b2 （a+b)2= . （a-b)2= . a2-2ab+b2 知识要点完全平方公式. 2+2ab+b2 2a（a+b) = ； 简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放” 2-2ab+b2 2a（a-b) = . 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个等式分别叫作两数和、两数差的完全平方公式. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 ? 公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 练一练已知x216xk是完全平方式，则常数k等于( ) D A.64 B.48 C.32 D.16 解析：因为16x=2x8，所以这两个数是x，8，所以k=82=64.故选D. 变式题：已知x2kx25是完全平方式，则常数1 k=_.0 解析：因为25=(5)2，所以k=10. 典例精析例1 计算： (1)(x? 3y) ;(1)(x? 3y)解： 222(a+b)2=a2+2ab+b2 2? x ? 2x(3y)? (3y)a2 2+2ab 2b2 ? x ? 6xy? 9y ;?1?(2)?ab? cm?;?3?1?(2)?ab? cm?3?222(a-b)2=a2-2ab+b2 ?1?1?2?ab? 2?ab?(cm)? (cm)?3?3?a2 -2ab b2 122222?a b ?abcm? c m ;93(3)(?4a? 3b) .(3)(?4a? 3b)方法一： 222? (?4a)? (?3b)22? (?4a) ? 2(?4a)(?3b)? (?3b)? 16a ? 24ab? 9b ;方法二：(3)( ?4a? 3b)2222? (4a? 3b)22? (4a) ? 2(4a)(3b)? (3b)? 16a ? 24ab? 9b .22观察与思考你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗? b a a b b a 图 1 b a 图2 几何解释: b a a b = + + ab ab + b2 a2 和的完全平方公式： 2+2ab+b2 2a（a+b) = . 几何解释: a?b b a?b (a?b)2 b(a?b) a b ab a (a?b)2 = a2 ?ab ?b(a?b) = a2?2ab+ +b2 . 差的完全平方公式： a2-2ab+b2 （a-b)2= . 例2 运用完全平方公式计算： (1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404. (2) 992. 992 = (100 1)2 =10000 - -200+1 =9801. 例3 运用乘法公式计算: (1) ( a+b+c )2 解：(1)原式 = (a+b)+c2 = ( a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc +c2 把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算. = a2+b2+c2+2ab+2bc +2ac； (2) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) 原式=x+(2y3)x-(2y-3) = x2-(2y-3)2 选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. 反的为另一组”. 当堂当堂练习练习 1在等号右边的括号内填上适当的项： b-c ） （1）a+b-c=a +（ b-c ） （2）a-b+c=a -（ b+c ） （3）a-b-c=a -（ - -b-c ） （4）a+b+c=a -（ 2判断下列运算是否正确 （1）2a-b-c=2a-（b-c） 能否用去括号法则检查添括号是否正确? （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c-5） 3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2； 原式=36a2+60ab+25b2； (2) (4x-3y)2 ； 原式=16x2-24xy+9y2； (3) (2m-1)2 ； 原式=4m2-4m+1； (4)(-2m-1)2 . 原式=4m2+4m+1. 4.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 5.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：x+y=8, (x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64; x-y=4, (x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16; 由-得 4xy=48 xy=12. 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4 ab=(a+b)2-(a-b)2. 课课堂小堂小结结 内内容容 (ab)2= a2 2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面） 完 全 平方 公 式 注事意 项 常结用 论 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.