工程力学工程力学工程力学工程力学Engineering MechanicsEngineering Mechanics Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University 第九章第九章 扭转扭转 9-1 9-1 引言引言 两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动。两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动。 杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的力偶作用。杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的力偶作用。 变形特点变形特点 受力特点受力特点9-2 9-2 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系 1. 1. 外力偶矩与功率、角速度关系外力偶矩与功率、角速度关系 2. 2. 外力偶矩与功率、转速关系外力偶矩与功率、转速关系 二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图 扭矩正负规定扭矩正负规定 由右手螺旋法则确定，扭矩矢量与截面外法线一致，扭矩由右手螺旋法则确定，扭矩矢量与截面外法线一致，扭矩为正；反之为负。为正；反之为负。1. 1. 截面法与扭矩截面法与扭矩 例：图所示传动轴，主动轮例：图所示传动轴，主动轮B 输入的功率输入的功率PB=10kW，若不，若不计轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为计轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为PA=4kW，PC=6kW，轴的转速，轴的转速n = 500r/min，试作轴的扭矩图。，试作轴的扭矩图。 2. 2. 扭矩图扭矩图 扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面的位置，扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小。纵坐标表示扭矩的大小。 解：解： 计算外力偶矩计算外力偶矩 计算轴各段的扭矩计算轴各段的扭矩 解得：解得： 绘制扭矩图绘制扭矩图 解得：解得： 2-2： 1-1： 9-3 9-3 切应力互等定理与剪切应力互等定理与剪切胡克定律切胡克定律 一、薄壁圆管的扭转应力一、薄壁圆管的扭转应力 各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行四边形。形变为平行四边形。 微元体无轴向、横向正应变，存在垂直于半径方微元体无轴向、横向正应变，存在垂直于半径方向的切应变，圆周上所有的剪切变形相同。向的切应变，圆周上所有的剪切变形相同。 圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径方向上有相同的切应力。径方向上有相同的切应力。 各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行四边形。平行四边形。 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径方向上有相同的切应力。径方向上有相同的切应力。二、切应力互等定理二、切应力互等定理 1. 1. 纯剪切纯剪切 微元体的四个侧面上只存在切应力无正应力。微元体的四个侧面上只存在切应力无正应力。 2. 2. 切应力互等定理切应力互等定理 在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。线的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比。力与切应变成正比。 弹性模量、剪切弹性模量、弹性模量、剪切弹性模量、泊松比之间的关系泊松比之间的关系 剪切弹性模量剪切弹性模量9-4 9-4 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 一、扭转切应力的一般公式一、扭转切应力的一般公式 1. 1. 变形几何关系变形几何关系 各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行四边形。行四边形。 切应变在横截面上的分布切应变在横截面上的分布 平面假设平面假设 圆轴扭转变形前原为平面的圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍为平面，形状、横截面，变形后仍为平面，形状、大小不变，半径仍为直线，两相大小不变，半径仍为直线，两相邻截面间的距离不变。邻截面间的距离不变。 2. 2. 物理关系物理关系 未知，与内力、材料、截面有关。未知，与内力、材料、截面有关。3. 3. 静力关系静力关系 令令抗扭刚度：截面抵抗抗扭刚度：截面抵抗扭转变形的能力扭转变形的能力4. 4. 扭转切应力的一般公式扭转切应力的一般公式 二、最大扭转切应力二、最大扭转切应力 9-5 9-5 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 一、实心圆截面一、实心圆截面 二、空心圆截面二、空心圆截面 三、薄壁圆截面三、薄壁圆截面 极惯性矩与面积对于点的分布有什么关系？极惯性矩与面积对于点的分布有什么关系？相同面积的实心圆与空心圆哪个对于圆心的极惯性矩大？相同面积的实心圆与空心圆哪个对于圆心的极惯性矩大？9-6 9-6 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 一、扭转失效与扭转极限应力一、扭转失效与扭转极限应力 1. 1. 塑性材料的扭转失效塑性材料的扭转失效 横截面上的最大切应横截面上的最大切应力即扭转屈服应力为扭转力即扭转屈服应力为扭转极限应力。极限应力。 断口材料呈片状，剪断口材料呈片状，剪切破坏切破坏 断口横截面，最大切断口横截面，最大切应力引起剪切破坏应力引起剪切破坏 低碳钢抗剪能力低碳钢抗剪能力比抗拉能力差比抗拉能力差2. 2. 脆性材料的扭转失效脆性材料的扭转失效 横截面上的最大切应力即扭转强度极限为扭转横截面上的最大切应力即扭转强度极限为扭转极限应力。极限应力。 断口断口45o的螺旋面，最大的螺旋面，最大拉应力引起的脆性断裂拉应力引起的脆性断裂断口材料呈颗粒状，脆断口材料呈颗粒状，脆性断裂破坏性断裂破坏 铸铁抗拉能力比铸铁抗拉能力比抗剪能力差抗剪能力差二、轴的强度条件二、轴的强度条件 三、圆轴合理截面与减缓应力集中三、圆轴合理截面与减缓应力集中 1. 1. 设计轴截面宜将材料远离圆心，平均半径设计轴截面宜将材料远离圆心，平均半径越大，壁厚越小，切应力分布越均匀，材料的利越大，壁厚越小，切应力分布越均匀，材料的利用率越高。用率越高。 2. 2. 设计轴减少截面尺寸的急剧改变，以减缓设计轴减少截面尺寸的急剧改变，以减缓应力集中。应力集中。 例：图所示阶梯形空心圆截面轴，在横截面例：图所示阶梯形空心圆截面轴，在横截面A、B、C处承处承受扭力偶作用，已知受扭力偶作用，已知MA=150Nm，MB=50Nm，MC=100Nm，许用切许用切 = 90PMa应力。试校核轴的强度。应力。试校核轴的强度。 解：解： AB与与BC段的扭矩分别为段的扭矩分别为 所以轴满足强度条件所以轴满足强度条件 AB与与BC段进行强度校核段进行强度校核 例：某传动轴，轴内的最大扭矩例：某传动轴，轴内的最大扭矩T = 1.5kNm ，若许用，若许用切应力切应力 = 50PMa。试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。并比较其重量。实心圆截面。实心圆截面。空心圆截面，其内外径的空心圆截面，其内外径的比值比值di /d0 = 0.9。 解：解： 计算实心轴直径计算实心轴直径 计算空心轴外径计算空心轴外径 空心轴内径空心轴内径 确定空心轴与实心轴的重量比确定空心轴与实心轴的重量比 9-7 9-7 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 一、圆轴扭转变形一、圆轴扭转变形 1. 1. 单位长度单位长度dx的扭转角度的扭转角度 2. 2. 相距相距l 两截面的相对扭转角两截面的相对扭转角 3. 3. 扭矩、切变模量为常数，等截面圆轴相距扭矩、切变模量为常数，等截面圆轴相距l 的的两截面的相对扭转角两截面的相对扭转角 二、圆轴扭转刚度条件二、圆轴扭转刚度条件 例：图所示圆截面轴例：图所示圆截面轴AC ，承受扭力偶矩，承受扭力偶矩MA、MB、MC作用。已作用。已知知MA = 180Nm，MB = 320Nm，MC = 140Nm ，IP = 3.0105mm4，l = 2m，G = 80GPa， = 0.5o/m。试计算该轴的总扭转角。试计算该轴的总扭转角AC AC ，并，并校核轴的刚度。校核轴的刚度。 解：解： 计算轴的总扭转角计算轴的总扭转角 校核轴的刚度校核轴的刚度 所以轴的刚度满足要求所以轴的刚度满足要求 例：两端固定的等截面圆杆例：两端固定的等截面圆杆AB，在截面，在截面C 受一扭转力偶矩受一扭转力偶矩M作用。已知杆的抗扭刚度为作用。已知杆的抗扭刚度为GIP，试求两端的约束力偶矩。，试求两端的约束力偶矩。 解：以圆杆解：以圆杆AB为研究对象，建立平衡方程为研究对象，建立平衡方程 由变形几何关系得变形协调方程由变形几何关系得变形协调方程 由扭转胡克定律可得由扭转胡克定律可得 由由解得：解得： 例：传动轴转速例：传动轴转速n = 300r/min，主动轮，主动轮A输入的功率输入的功率PA = 36.7kW。从动轮。从动轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为PB=14.7kW，PC = PD = 11kW。轴的材料围。轴的材料围5号钢，号钢，G = 80GPa， = 40PMa ， = 2o/m 。试选择。试选择BD的直径。的直径。 解：解： 计算外力偶矩计算外力偶矩 计算计算BD的直径的直径 按强度条件设计轴的直径按强度条件设计轴的直径 作扭矩图确定最大扭矩作扭矩图确定最大扭矩 按刚度条件设计轴的直径按刚度条件设计轴的直径 所以所以BD的直径的直径 按强度条件设计轴的直径按强度条件设计轴的直径 第十章第十章 弯曲内力弯曲内力 10-1 10-1 引言引言 变形特点变形特点 受力特点受力特点 杆件受垂直于轴线的横向外力杆件受垂直于轴线的横向外力或轴线平面内外力偶作用。或轴线平面内外力偶作用。 杆件横截面绕中性轴作相对转杆件横截面绕中性轴作相对转动，轴线由直线变为曲线。动，轴线由直线变为曲线。 10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图 一、支座形式与支座约束力一、支座形式与支座约束力 1. 1. 活动铰支座活动铰支座 2. 2. 固定铰支座固定铰支座 3. 3. 固定端固定端 二、梁的类型二、梁的类型 1. 1. 简支梁简支梁 2. 2. 外伸梁外伸梁 3. 3. 悬臂梁悬臂梁 10-3 10-3 剪力与弯矩剪力与弯矩 一、梁内力计算的截面法一、梁内力计算的截面法 1. 1. 剪力与弯矩剪力与弯矩 解得：解得： 2. 2. 剪力、弯矩的正负规定剪力、弯矩的正负规定 剪力的正负规定剪力的正负规定 剪力使研究对象有顺时针剪力使研究对象有顺时针转的趋势为正，逆时针转的趋转的趋势为正，逆时针转的趋势为负。势为负。 弯矩的正负规定弯矩的正负规定 弯矩使研究对象上凹下弯矩使研究对象上凹下凸（凹面向上）为正，弯矩凸（凹面向上）为正，弯矩使研究对象上凸下凹（凹面使研究对象上凸下凹（凹面向下）为负。向下）为负。 例：简支梁例：简支梁AB受力如图，求截面受力如图，求截面D与与C上的剪力和弯矩。上的剪力和弯矩。 解：解： 求支座约束力，建立平衡方程求支座约束力，建立平衡方程 解得：解得： 求截面求截面D上的内力上的内力作截面作截面D取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程 解得：解得： 求截面求截面C上的内力上的内力作截面作截面C取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程解得：解得： 作截面作截面C取右段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程取右段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程 在集中载荷作用处截面的左右边的剪力不同，弯矩相同；在集中载荷作用处截面的左右边的剪力不同，弯矩相同；在集中力偶作用处截面左右边的弯矩不同，剪力相同。在集中力偶作用处截面左右边的弯矩不同，剪力相同。 解得：解得： 二、梁内力计算的简易法二、梁内力计算的简易法 剪力剪力 弯矩弯矩 横截面上的剪力等于该截面任一侧梁上所有横向横截面上的剪力等于该截面任一侧梁上所有横向外力的代数和，外力符号同剪力的正负规定。外力的代数和，外力符号同剪力的正负规定。 横截面上的弯矩等于该截面任一侧梁上所有外力横截面上的弯矩等于该截面任一侧梁上所有外力（包括力偶）对截面形心之矩的代数和，外力（包括（包括力偶）对截面形心之矩的代数和，外力（包括力偶）对截面形心之矩符号同弯矩的正负规定。力偶）对截面形心之矩符号同弯矩的正负规定。 例：简支梁例：简支梁AB受力如图，求截面受力如图，求截面D与与C上的剪力和弯矩。上的剪力和弯矩。 解：解： 求支座约束力，建立平衡方程求支座约束力，建立平衡方程 解得：解得： 求截面求截面D、C上的内力上的内力10-4 10-4 剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程 与剪力、弯矩图与剪力、弯矩图 一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程 以横坐标以横坐标x表示横截面在梁轴线的位置，各横截面上表示横截面在梁轴线的位置，各横截面上的剪力和弯矩表示为的剪力和弯矩表示为x的函数。的函数。 剪力方程剪力方程 弯矩方程弯矩方程 当外力突变时，剪力、弯矩方程可能发生变化，所以当外力突变时，剪力、弯矩方程可能发生变化，所以集中载荷处、集中力偶处、分布载荷的起止处均是方程的集中载荷处、集中力偶处、分布载荷的起止处均是方程的分段点。分段点。 求求x截面的剪力、弯矩截面的剪力、弯矩 二、剪力图与弯矩图二、剪力图与弯矩图 以平行于梁轴线的横坐标表示横截面位置，以纵坐以平行于梁轴线的横坐标表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面的剪力、弯矩。标表示相应截面的剪力、弯矩。 建立坐标建立坐标 FS-x 和和 M-x 确定各分段点处截面上的剪力、确定各分段点处截面上的剪力、弯矩，标在相应的位置弯矩，标在相应的位置在分段点之间按剪力方程、弯在分段点之间按剪力方程、弯矩方程大致绘出图形矩方程大致绘出图形标出标出FSmax和和Mmax数值及位置数值及位置 例：图所示简支梁在整个梁上作用有集度为例：图所示简支梁在整个梁上作用有集度为q 的均布载荷。的均布载荷。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。 解：解： 求支座约束力求支座约束力 剪力方程和弯矩方程（以剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点）端为坐标原点） 绘制剪力图和弯矩图绘制剪力图和弯矩图 当结构、载荷对称时，剪力当结构、载荷对称时，剪力图反对称，弯矩图对称。图反对称，弯矩图对称。 均布载荷作用范围剪力图为均布载荷作用范围剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。斜直线，弯矩图为二次抛物线。 当当FS = 0时，时，M有极大值或有极大值或极小值。极小值。 例：图所示简支梁在例：图所示简支梁在C点受集中力点受集中力F作用。列出此梁的剪作用。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。 解：解： 求支座约束力求支座约束力 剪力方程和弯矩方程（以剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点）端为坐标原点） 绘制剪力图和弯矩图绘制剪力图和弯矩图 在集中力在集中力F作用处剪力图发生突变，突变值等于集中力作用处剪力图发生突变，突变值等于集中力的大小（对于集中力作用处截面剪力必须指明截面的左右）。的大小（对于集中力作用处截面剪力必须指明截面的左右）。 在集中力在集中力F作用处弯矩图变成尖角，同时有极大值或极作用处弯矩图变成尖角，同时有极大值或极小值。小值。 例：图所示简支梁在例：图所示简支梁在C点受集中力偶点受集中力偶M作用。列出此梁的剪力作用。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。 解：解： 求支座约束力求支座约束力 剪力方程和弯矩方程（以剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点）端为坐标原点） 绘制剪力图和弯矩图绘制剪力图和弯矩图 集中力偶对剪力图无影响。集中力偶对剪力图无影响。 集中力偶集中力偶M作用处弯矩图发生突变，突变值等于集中力作用处弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶的大小。偶的大小。 例：图所示外伸梁上均布载荷为例：图所示外伸梁上均布载荷为q = 3kN/m，集中力偶矩，集中力偶矩M = 3kNm。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。和弯矩图。 解：解： 求支座约束力，取梁为研究对象，建立静力平衡求支座约束力，取梁为研究对象，建立静力平衡方程方程 解得：解得： 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 CA段：段： AD段：段： DB段：段： 10-5 10-5 剪力、弯矩与载荷剪力、弯矩与载荷 集度间的微分关系集度间的微分关系 一、剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系一、剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系 解得：解得： 二、利用剪力、弯矩与载荷集度间的微分关二、利用剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系绘制剪力图、弯矩图系绘制剪力图、弯矩图 无均布载荷无均布载荷q = 0 均布载荷均布载荷 q 0集中力集中力F 集中力偶集中力偶M 剪力图剪力图 水平直线水平直线斜直线斜直线剪力图剪力图有突变有突变无特殊无特殊变化变化弯矩图弯矩图 斜直线斜直线二次抛物二次抛物线线弯矩图弯矩图有尖角有尖角弯矩图弯矩图有突变有突变 当正弯矩画在上面时，当正弯矩画在上面时，q(x)0，图为凹曲线；，图为凹曲线；q(x) b），承受集中载荷），承受集中载荷F作用，梁的弯曲刚度为作用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定挠度的最大值。并确定挠度的最大值。 解：解： 列弯矩方程，建立如图坐标系列弯矩方程，建立如图坐标系 AC段（段（0 xa）CB段（段（a xl） 转角方程转角方程 挠曲轴方程挠曲轴方程 AC段（段（0 xa）CB段（段（a xl） 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程 弯矩方程弯矩方程 确定积分常数确定积分常数 解得：解得： 挠曲轴方程挠曲轴方程 AC段（段（0 xa）CB段（段（a xl） 转角方程转角方程 挠曲轴方程挠曲轴方程 转角方程转角方程 确定最大挠度确定最大挠度所以转角为零的点在所以转角为零的点在AC 段段 12-4 12-4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法 梁材料服从胡克定律下的小变形，几种载荷共同作用梁材料服从胡克定律下的小变形，几种载荷共同作用产生的变形等于每种载荷单独作用产生变形的代数和。产生的变形等于每种载荷单独作用产生变形的代数和。 例：简支梁上作用均布载荷例：简支梁上作用均布载荷q 和集中力和集中力F，设弯曲刚度为常，设弯曲刚度为常数。试用叠加法求横截面的挠度。数。试用叠加法求横截面的挠度。 解：解： 例：悬臂梁在段作用集度为例：悬臂梁在段作用集度为q 的均布载荷，设弯曲刚度的均布载荷，设弯曲刚度EI为常数。试用叠加法求自由端为常数。试用叠加法求自由端C 的挠度和转角。的挠度和转角。 例：图示等截面外伸梁，设弯曲刚度例：图示等截面外伸梁，设弯曲刚度EI 为常数。试用叠加为常数。试用叠加法求截面法求截面B 的转角和端点的转角和端点C 的挠度。的挠度。 解：外伸梁可看作由简支梁和固定在解：外伸梁可看作由简支梁和固定在B处的悬臂梁组成处的悬臂梁组成 简支梁简支梁AB的变形，将均布载荷向的变形，将均布载荷向B处简化，得作用在处简化，得作用在B处的处的集中力集中力qa和力偶和力偶 M = qa2/2 悬臂梁悬臂梁BC的变形，均布载荷的变形，均布载荷引起引起C有挠度，简支梁有挠度，简支梁AB在在B处可处可以转动，由于转动引起以转动，由于转动引起C有挠度有挠度 例：图所示矩形截面梁，自由端横截面内承受集中载荷例：图所示矩形截面梁，自由端横截面内承受集中载荷F 作用，作用，该载荷与对称轴该载荷与对称轴 y 的夹角为的夹角为，试计算自由端形心，试计算自由端形心C 的位移。的位移。 解：将载荷沿坐标轴与分解解：将载荷沿坐标轴与分解 Fy 作用时，形心作用时，形心C沿坐标轴沿坐标轴 y 方向的挠度方向的挠度Fz作用时，形心作用时，形心C沿坐标轴沿坐标轴 z 方向的挠度方向的挠度形心形心C的位移的位移 总位移与坐标轴总位移与坐标轴y的夹角的夹角 12-5 12-5 简单静不定梁简单静不定梁 例：图所示例：图所示AB梁端固定，梁端固定，B端活动铰，承受均布载荷，梁端活动铰，承受均布载荷，梁的弯曲刚度为的弯曲刚度为EI。求。求A、B 处的约束力。处的约束力。 解：解除解：解除B 端约束，用自由端和约束力端约束，用自由端和约束力FBy 代替代替解得：解得： 变形协调条件变形协调条件 建立静力平衡方程建立静力平衡方程 解得：解得： 解除解除A端转动约束，用固定铰和约束力端转动约束，用固定铰和约束力MA代替。变形协调条件代替。变形协调条件 解得：解得： 建立静力平衡方程建立静力平衡方程 解得：解得： 例：图所示圆形截面梁承受集中载荷例：图所示圆形截面梁承受集中载荷F 作用，已知作用，已知F = 20kN，跨度，跨度a = 500mm，截面直径，截面直径d = 60mm，许用应力，许用应力 = 100MPa，试校核梁的强度。，试校核梁的强度。 解：解： 求支座约束力，作弯矩图求支座约束力，作弯矩图 解除解除B 端约束，用相应的约束力端约束，用相应的约束力FBy 代替，变形协调条件代替，变形协调条件 解得：解得： 建立静力平衡方程建立静力平衡方程 解得：解得： 强度校核强度校核所以梁的强度满足要求所以梁的强度满足要求 例：悬臂梁承受集中载荷例：悬臂梁承受集中载荷F 作用，因其刚度不够用杆作用，因其刚度不够用杆CB 加加固。试计算梁固。试计算梁AB 的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为l ，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为EI与与EA，且，且A = 3I/l2。 解：解：将加固梁将加固梁B 处的约束解除，用相应的约束力处的约束解除，用相应的约束力FR 代替代替变形协调条件变形协调条件 解得：解得： 加固梁的最大挠度加固梁的最大挠度 未加固梁的最大挠度未加固梁的最大挠度 12-6 12-6 梁的刚度条件与梁的刚度条件与 合理刚度设计合理刚度设计 一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 一般轴一般轴 吊车梁吊车梁 架空管道架空管道 滑动轴承滑动轴承 例：简支梁跨中承受集中载荷例：简支梁跨中承受集中载荷F = 35kN。已知跨度。已知跨度l = 4m，许，许用应力用应力=160MPa，许用挠度，许用挠度=l /500，弹性模量，弹性模量E = 200GPa，试选择工字钢型号。试选择工字钢型号。解：解： 按强度条件选择工字钢型号按强度条件选择工字钢型号 按刚度条件选择工字钢型号按刚度条件选择工字钢型号 查表选择查表选择No22a工字钢工字钢二、提高梁弯曲刚度的措施二、提高梁弯曲刚度的措施1. 1. 选择合理的截面形状选择合理的截面形状2. 2. 合理选择材料合理选择材料 影响梁刚度的截面几何性质是惯性矩，所以合理影响梁刚度的截面几何性质是惯性矩，所以合理截面形状是截面面积较小而惯性矩大的截面。截面形状是截面面积较小而惯性矩大的截面。 影响梁刚度的材料性能是弹性模量，所以选择弹影响梁刚度的材料性能是弹性模量，所以选择弹性模量大的材料。性模量大的材料。3. 3. 梁的合理加强梁的合理加强 梁的位移与梁内所有微段的变形均有关，所以提梁的位移与梁内所有微段的变形均有关，所以提高梁的刚度必须在一定范围内提高梁的刚度。高梁的刚度必须在一定范围内提高梁的刚度。4. 4. 梁跨度的选取梁跨度的选取5. 5. 合理安排梁的约束与加载方式合理安排梁的约束与加载方式 通过减小梁的跨度实现减小梁的弯矩，从而达通过减小梁的跨度实现减小梁的弯矩，从而达到降低梁弯曲变形的目的。到降低梁弯曲变形的目的。 通过合理安排梁的约束与加载方式减小梁的弯通过合理安排梁的约束与加载方式减小梁的弯矩，从而达到降低梁弯曲变形的目的。矩，从而达到降低梁弯曲变形的目的。