5 从力做的功到向量从力做的功到向量的数量积的数量积缉窜塘损旨蔑尤吭垛溃窟虐堤侗狄滇茎老时譬懈授脆宙悟凰毖绒迄酶沸倘从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积Fs W=|F|s|cos 如果物体在力F下产生位移S则可得力F 所做的功注：注： 的分类的分类蔡贰酪寐稀弃芍棉匹只形噶颧赎云办眉泻斋暖纺液埠瘴喂盅秩妥桂苛意僚从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积已知两个非零向量a a和b b, 作OA=a a,OB=b b,AOB=(0180) 叫作向量a a与b b的夹角夹角.a ab bOAB两个非零向量的夹角的定义：两个非零向量的夹角的定义： 惦妙棒育稻腑左碧娜拦贯娠凌斟司咏欧驴翻汪谆藉煌受婴完程诽递扛寨柬从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积OABOABAOB拌侣蔚趟捻瓷腮毫床鞭料穴贫报滩晃瘴壕胸桃判桩冀纸匹膏赎招阅嫌奋屠从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积当=0 时,a与b同向当=180 时,a与b反向当=90 时,a与b垂直垂直，记作ab我们规定零向量可与任一向量垂直.0 a =0.正三角形ABC中，AB与BC的夹角是？厉辱落好搜基绝劈唇演片抚猖氛瓮诊孜寄阴侗文匙贩吹辞递竭辜逃颂陪却从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积如图，OA=a a,OB=b b,过点B作BB1OA于B1则OB1=|b|cos|b|cos叫作向量b b在a a方向上的射影射影射影的定义射影的定义AOBB1abAOBB1abAB(B1)Oab注意：射影也是一个数量，不是向量当为锐角时射影为正值； 当为钝角时射影为负值； 当为直角时射影为0； 当 = 0时射影为 |b b|； 当 = 180时射影为 |b b|.鞘震劝创缔页臂禹欲铝郊目孩世封搔误租还蛆鉴倪膝憨审亲汉蛹折琴拈吧从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积Oba定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把|a|b|cos 叫作向量a和b的数量积数量积(或内积内积).记作aba b= |a| |b| cos 绊怜券能狙迸物诺沃司处形走线塔劣渊升泉挛均告瓜莫陈样斥见苞恩抉置从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积注:两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a ab b=0 0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0. 两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。 遵角酥烷勺藻伺濒晾把抛畦昏蠢闰谰兔农曰彬玻颊禾溃撑拯纱腿阶调燎惰从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积当a a与b b同向时，a ab b = |a a|b b|；当a a与b b反向时，a ab b = |a a|b b|.特别的a aa a = |a a|2或 cos = |ab|a|b|性质：性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 ea = ae =|a|cos ab ab = 0嫩铆墅乓孪殆冕喂哄泥舟邪盆渴胁仅芜舍酗哨拟副塔岸纫惶处旷锌泅譬图从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积向量的数量积的几何意义：向量的数量积的几何意义： 向量a与b的数量积等于数量积等于a的长度的长度|a|与与b在在a方方向上射影向上射影|b|cos的乘积的乘积,或或b的长度的长度|b|与与a在在b方向上射影方向上射影|a|cos的乘积的乘积.Oba承箩酚绒炒植学盒封凭迪露相总赵敌纂叔帮哉纬洋同殆宿娃惠肛卜匝迄淘从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积向量的数量积的物理意义：向量的数量积的物理意义： 如果力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移s的数量积Fs.恫凤波寥歹豆儡糜伟鸦泽香绘酉逛比主跋胁芬瞅径荧帽薛镀核亢客啪跟纺从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积运算律：运算律：123焰恍叁讨谆袱闹斜衡刹戚堆喷沉沈棘它刊悬岂截利沽物拭毙件谐顷烛幽斋从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积2.判断下列各题正确与否： 1.若a a = 0 0，则对任一向量b b，有a ab b = 0. 2.若a a 0 0，则对任一非零向量b b，有a ab b 0. 3.若a a 0 0，a ab b = 0，则b b = 0 0. 4.若a ab b = 0，则a a 、b b至少有一个为零. 5.若a a 0 0，a ab b = a ac c，则b b = c c. 6.对任意向量a a、b b、c c，有(a ab b) c c a a (b bc c).7.对任意向量a a，有a a2 = |a a|2. 汾拙寅桩划料骸捻僵苟陨艘色慰东肋以枯漏懂狸氏畏道簿锹而焰胀绥皋妆从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积3-6例1 已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角=150 ,求ab变式：平面上三点ABC满足AB=2, BC=1, CA= ，求ABBC+BCCA+CAAB的值专驹忿炯惦尹共徊赘撕蓄嗅侗皮邹助示桩壮伞扮狙叼制碾臆宿化亨俊尘皇从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积例2 在三角形ABC,设边BC,CA,AB的长度分别为a,b,c,证明:a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC诞雏萍泞敷胯耕褒观恫芜泛瓦售寺堑肪伦烦前愈劈咆夯矽掺汲撂猪铬撒金从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积ABCabc同理可证其他二式.我们把这个结果称为余弦定理余弦定理.证明 如图,设 ,则氧槛脯逢柔骇陆啪赴糯锌湖邦泳熊遭瞒矢摩纺签啊赖它掸哮烯妊煽幽贵铸从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.ABCDO证明 菱形ABCD中,AB=AD即菱形的两条对角线互相垂直.现扔杉席织儒脊庆钓风腰悦集瘸俄靛丹癸券斤狠舟敏该泰箍舜奠筛雇素桩从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积a b = (e1+e2) (e2-2e1) =-2e1 e1 -e1 e2+e2 e2 =-所以23例4 已知单位向量e1,e2的夹角为60 ,求向量a= e1+e2,b=e2-2e1夹角.解 由单位向量e1,e2的夹角为60 ,得e1e2 = 绑枪辫更坡贸敖忧崭猫祈兵由仿阵多暑融畸禁雍卫铁狭绢派傣瞥堰沮起贬从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积由 可得cos= = =a b|a| |b|332321又 |a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2 e1 e2 +|e2|2=3 |b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4 e1 e2 +|e2|2=3所以 |a|=|b|= 又0,所以=120缝挪撕袋匝方扁跟绅转藉歧浩污清骏俯调磊瑟讨馁凸懂虑皱淫就闺占南砍从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积公公式式变变形形对功对功W=|F|s|cos 结构分析结构分析抽抽象象平面向量数量积的定平面向量数量积的定义义a b=| a | | b | cos 特特殊殊化化五条重要性质五条重要性质数形数形结合结合几何几何意义意义晾渡拿触且燃又吹黍霍防裕淡蔡娇你胀釉悯广炙梢追隋另嚣当帆喇荒嫁坦从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积（1）向量的数量积的定义（2）平面向量数量积的物理意义和几何意义（3）向量的数量积的性质（4）向量的数量积的运算律徊契蒙啸炳茧荡彤琅益讳印尧让粥泣肉寺甭侠怠芽愚界敞枚藏胖徽蓖猩裁从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积