4.4 洛朗洛朗级数数 4.4 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式1、双边幂级数、双边幂级数2、解析函数的洛朗展式、解析函数的洛朗展式3、 典型例题典型例题 4.4 洛朗洛朗级数数定定义 称称级数数4.3为复常数，称复常数，称 为双双边幂级数数4.3的系数的系数 为双双边幂级数，其中数，其中 一个以一个以z0为中心的中心的圆域内解析的函数域内解析的函数 f (z), 可以在可以在该圆域内展开成域内展开成z-z0的的幂级数数. 假假设 f (z)在在z0处不解析不解析, 那那么在么在 z0 的的邻域内就不能用域内就不能用z-z0的的幂级数来表示数来表示. 但是但是这种情况在种情况在实践践问题中中经常遇到常遇到. 因此因此, 在本在本节中将中将讨论在在以以 z0 为中心的中心的圆环域内的解析函数的域内的解析函数的级数表示法数表示法.4.4.1 双双边幂级数数 4.4 洛朗洛朗级数数负幂项部分部分非非负幂项部分部分主要部分主要部分解析部分解析部分同同时收收敛收收敛f1(z)f2(z)f(z) 4.4 洛朗洛朗级数数收收敛半径半径收收敛域域收收敛半径半径收收敛域域两收两收敛域无公共部分域无公共部分,两收两收敛域有公域有公共部分共部分H:R1az0RrHf(z)=f1(z)+ f2(z)时，收敛时，收敛 4.4 洛朗洛朗级数数z02双边幂级数在圆环域双边幂级数在圆环域 内收敛内收敛. .例如：双例如：双边幂级数数 这时,级数数(4.3)在在圆环H:r|z-z0|R 收收敛于和函于和函数数f(z)=f1(z)+ f2(z) 4.4 洛朗洛朗级数数 在收在收敛圆环域内也具有域内也具有. . 例如例如, , 可以可以证明明, , 上述上述级数在数在收收敛域内其和函数是解析的域内其和函数是解析的, , 而且可以逐而且可以逐项求求积和逐和逐项求求导. .幂级数在收数在收敛圆内的内的许多性多性质, , 级数数如今反如今反问, , 在在圆环域内解析的函数能否一定可以展开成域内解析的函数能否一定可以展开成幂级数数? ?先看下例先看下例. . 4.4 洛朗洛朗级数数其次其次,在在圆环域域:0|z-1|1内也可以展开内也可以展开为z-1的的负次次幂级数数:1Oxy 函数函数 在在 及及 都不解析都不解析, ,但在圆环域但在圆环域 及及 内部都是解析的内部都是解析的. .先研讨先研讨 的情形的情形: :由此可见由此可见, 内是可以展开为内是可以展开为z的负次幂级数的负次幂级数. 4.4 洛朗洛朗级数数 定理定理4.7 (洛朗定理洛朗定理) 在在圆环H:r|z-z0|R, (r0,R+)内解析的函数内解析的函数f(z)必可展成双必可展成双边幂级数数其其中中(4.3)4.4.2 4.4.2 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式z0 4.4 洛朗洛朗级数数证 设z为圆环域内的任一点域内的任一点,在在圆环域内作以域内作以z0为中心的正中心的正向向圆周周K1与与K2, K2的半径的半径R大大于于K1的半径的半径r, 且使且使z在在K1与与K2之之间.R1R2zrK1z zRK2z zz0由柯西由柯西积分公式得分公式得和泰勒展式一和泰勒展式一样可以推得：可以推得： 4.4 洛朗洛朗级数数 4.4 洛朗洛朗级数数CR2R1z0 假假设在在圆环域内取域内取绕z0的任何一条正向的任何一条正向简单闭曲曲线C, 那么根据那么根据闭路路变形原理形原理, 这两个式子可用一个式子来表示两个式子可用一个式子来表示: 4.4 洛朗洛朗级数数 称称为函数函数f (z)在以在以z0为中心的中心的圆环域域: R1|z-z0|R2内内的洛朗的洛朗(Laurent)展开式展开式, 它右端的它右端的级数称数称为 f (z)在此在此圆环域内的洛朗域内的洛朗级数数. 一个在某一个在某圆环域内解析的函数展开域内解析的函数展开为含有正含有正,负幂项的的级数是独一的数是独一的, 这个个级数就是数就是 f (z)的洛朗的洛朗级数数.其中其中 4.4 洛朗洛朗级数数注注1 1：注：注：注注3：Taylor级数是数是Laurent级数的特殊情形数的特殊情形 4.4 洛朗洛朗级数数 注注4：同一函数在不同区域内的展开式不同；：同一函数在不同区域内的展开式不同； 例如例如 在在 z=i 和和z=-i处展开函数处展开函数 为洛朗级数。为洛朗级数。 展开点展开点为i：f(z)在复平面内有两个奇点在复平面内有两个奇点: z=0与与z=-i, 分分别在以在以i为中心的中心的圆周周: |z-i|=1与与|z-i|=2上上. 因此因此, f (z)在以在以i为中心的中心的圆环域域(包括包括圆域域)内的展开内的展开 式有三个式有三个: 1)在在|z-i|1中的泰勒展开式中的泰勒展开式; 2)在在1|z-i|2中的洛朗展开式中的洛朗展开式; 3)在在2|z-i|+中的洛朗展开式中的洛朗展开式;O-ii 展开点展开点为-i：f(z)在复平面内有一个奇点在复平面内有一个奇点: z=0在以在以-i为中心的中心的圆周周:|z+i|=1上上. 因此因此, f (z)在以在以-i为中心的中心的圆环域内的展开式有二个域内的展开式有二个: 1)在在0 |z+i|1中的洛朗展开式中的洛朗展开式; 2)在在1|z+i| +中的洛朗展开式。中的洛朗展开式。 4.4 洛朗洛朗级数数将函数展为洛朗级数将函数展为洛朗级数常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数然后写出然后写出缺陷缺陷: 计算往往很算往往很费事事. 4.4 洛朗洛朗级数数4.4.3 典型例题典型例题例例1 1解：解：由定理知由定理知:其中其中故由柯西故由柯西古古萨根本定理知根本定理知:由高由高阶导数公式知数公式知: 4.4 洛朗洛朗级数数根据正、根据正、负幂项组成的的成的的级数的独一性数的独一性, 可可用代数运算、代用代数运算、代换、求、求导和和积分等方法去展开分等方法去展开 .优点点 : 简捷捷 , 快速快速 .2. 间接展开法间接展开法 4.4 洛朗洛朗级数数另解另解本例中本例中圆环域的中心域的中心 z = 0 z = 0 既是各既是各负幂项的奇点的奇点, , 4.4 洛朗洛朗级数数例例2 2 内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解：解：oxy1 4.4 洛朗洛朗级数数由由12oxy 4.4 洛朗洛朗级数数2oxy由由此时此时仍有仍有 4.4 洛朗洛朗级数数留意留意:奇点但却不是函数奇点但却不是函数的奇点的奇点 .本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的阐明明:1. 函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中虽然含有数中虽然含有的负幂项的负幂项, 而且而且又是这些又是这些项的奇点项的奇点, 但是但是能够是函数能够是函数的奇点的奇点,也能够也能够的奇点的奇点.不是不是 4.4 洛朗洛朗级数数2. 给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后, 函数可以在以函数可以在以z0为中心的为中心的(由奇点隔开的由奇点隔开的)不同圆环域不同圆环域内解析内解析,因此在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开因此在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾 .朗展开式是独一的朗展开式是独一的)问题：这与洛朗展开式的独一性能否相矛盾与洛朗展开式的独一性能否相矛盾?(独一性独一性 : 指函数在某一个指函数在某一个给定的定的圆环域内的洛域内的洛 4.4 洛朗洛朗级数数解：解： 例例3 3 将函数将函数 及及 在在z0=0z0=0的去心邻域内展成的去心邻域内展成洛朗级数洛朗级数. . 4.4 洛朗洛朗级数数例例4:4:求函数求函数在在圆环圆环内的内的罗罗朗朗级级数展式数展式. . 解：由于解：由于，那么，那么 我我们得得而而 所以有所以有 4.4 洛朗洛朗级数数例例4 4解：解： 4.4 洛朗洛朗级数数习题习题内的洛朗展开式内的洛朗展开式. 解：解： 4.4 洛朗洛朗级数数 4.4 洛朗洛朗级数数