4.3 4.3 二次型的概念二次型的概念一、二次型一、二次型 二、二、二次型的秩二次型的秩 定义定义1 1 含有含有n个变量的二次齐次多项式个变量的二次齐次多项式叫做叫做n元二次型元二次型，当二次型的系数，当二次型的系数aij ( i, j=1,2, ,n)都是实数时都是实数时,称为实二次型称为实二次型. .1. 1. 二次型的定义二次型的定义 特别地特别地, , 只含有平方项的只含有平方项的n元二次型称为元二次型称为n元二次型的标准形元二次型的标准形. .二次型的矩阵形式二次型的矩阵形式，其中，其中实对称矩阵称实对称矩阵称A为二次型为二次型系数矩阵系数矩阵, A的秩称为的秩称为二次型的秩二次型的秩. .若二次型若二次型 f 是是标准形标准形,即其系数矩阵是对角阵即其系数矩阵是对角阵. .,其中其中则则 f 的矩阵形式为的矩阵形式为例例1.1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩.(1)(2)因因r(A)=3, 故二次型的秩等于故二次型的秩等于3.解解: : (1)二次型二次型系数矩阵及矩阵形式分别为系数矩阵及矩阵形式分别为例例1.1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩.(1)(2)(2)二次型二次型系数矩阵及矩阵形式分别为系数矩阵及矩阵形式分别为因因r(B)=2, 故二次型的秩等于故二次型的秩等于2.解解: : 例例2 2 已已知知二二次次型型f (x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的的秩秩为为2，求，求c 解一：解一：二次型的系数矩阵为二次型的系数矩阵为|A|=0, 可推知可推知c=3. 解二：解二：r (A) = 2于是于是c-9=-6, 可推知可推知c=3.二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程 1. 椭球面椭球面 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) b a c xyzO 2. 单叶双曲面单叶双曲面 O x y z a b x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程 3. 双叶双曲面双叶双曲面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) O x y z c 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程 4. 二次锥面二次锥面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 0 (a0, b0, c0) O x y z 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程 5. 椭圆抛物面椭圆抛物面 x2 a2 + y2 b2 = 2z (a0, b0) O O x x y y z z 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程 O x y z 6. 双曲抛物面双曲抛物面 x2 a2 y2 b2 = 2z (a0, b0)(马鞍面马鞍面) 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程 7. 椭圆柱面椭圆柱面 x2 a2 + y2 b2 = 1 (a0, b0) 双曲柱面双曲柱面 x2 a2 y2 b2 = 1 (a0, b0) z z y y O O x x y y O O x x z z z z y y O O x x 抛物柱面抛物柱面 x2 = 2py (p 0) 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程 O x y ax2 + 2bxy + cy2 = 1 a b b c O x y x2 25+ y2 9 = 1 3 5 1/25 0 0 1/9 二次曲线二次曲线二次曲线二次曲线axax2 2+ +bxybxy+ +cycy2 2 =1 =1 mm( (x x ) )2 2 + + n n( (y y ) )2 2 = 1 = 1 O Ox xy yyyO Oxxx = x cos y sin y = x sin + y cos