上一页下一页概率论与数理统计教程（第五版）目录结束返回第四章 正态分布正态随机变量的线性函数的分布正态随机变量的线性函数的分布4.44.4上一页下一页概率论与数理统计教程（第五版）目录结束返回 定理定理11设随机变量服从正态分布则的线性函数也服从正态分布：证：证：的分布函数为若则有4.4 正态随机变量的线性函数的分布所以当时类似地可证.上一页下一页概率论与数理统计教程（第五版）目录结束返回定理1表明：正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.4.4 正态随机变量的线性函数的分布推论推论设随机变量服从正态分布, 则标准化的随机变量在定理1中，设即得结论.上一页下一页概率论与数理统计教程（第五版）目录结束返回 定理定理22 设随机变量 与 独立， 并且都服从正态分布：则它们的和也服从正态分布， 且有证：证： 已知与的概率密度分别是4.4 正态随机变量的线性函数的分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第五版）目录结束返回则随机变量的概率密度其中4.4 正态随机变量的线性函数的分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第五版）目录结束返回不难计算积分得于是由此可见， 服从正态分布4.4 正态随机变量的线性函数的分布定理2表明：独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.上一页下一页概率论与数理统计教程（第五版）目录结束返回 定理定理33 设随机变量相互独立， 且都服从正态分布：的线性组合也服从正态分布，且有其中为常数.4.4 正态随机变量的线性函数的分布由定理1及定理2 还可得下面更一般的结论.则它们上一页下一页概率论与数理统计教程（第五版）目录结束返回1.特别： 2. 随机变量与相互独立， 且则小小 结结推广： 设相互独立， 且则4.4 正态随机变量的线性函数的分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第五版）目录结束返回思考题思考题1.设随机变量与独立， 且服从均值为标准差为的正态分布， 而服从标准正态分布， 试求随机解：解： 已知与 独立， 且所以又因为随机变量4.4 正态随机变量的线性函数的分布由此可知， 的概率密度为的概率密度.变量上一页下一页概率论与数理统计教程（第五版）目录结束返回无实根的概率为则解：解： 方程无实根就是即按题意,有即已知4.4 正态随机变量的线性函数的分布2.设随机变量服从正态分布且二次方程从而，因为所以应有由此得所以上一页下一页概率论与数理统计教程（第五版）目录结束返回补充例题补充例题设是两个相互独立的服从同一正态分布的随机变量， 则随机变量的数学期望设由正态随机变量的线性性质知于是 的概率密度为解解: :4.4 正态随机变量的线性函数的分布上一页下一页概率论与数理统计教程（第五版）目录结束返回4.4 正态随机变量的线性函数的分布所以，