专题1 6 数列放缩证明不等式必刷1 00题任务一: 邪恶模式（ 困难） 1-100题提示:几种常见的数列放缩方法：1 1 1 1 / C(1) 7 r7 =-7；n nln + ) n n + lz1 4 4 ( 1 1n 4 4n -1 (2 -1 2n +1一、L 1Y - 1 1 1 )(4) 1 + 2) ；2y/n + 赤2 卜 Vw4- 1 ) :1 2n y/n +y/n2r i+ j+一V 2, 2& =何 2- l +，2” + l)J2-1+ J2 + 1 1 九1忑(8)(2 -l)2 -(2 -l)(2,-l) (2 -l)(2 - 一 ( 2_，( 2i - ) Y- l 2 - l( 2 2) ；1 1 1 J . + l 1 1讨 J ” . / J(- 1)( + 1) + J + l - y)n - _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1j (- 1) 1e + i)C T T T = 2(7 T击) 空1 2(看-看) 汨 ；(10)1 _ 23 y/n2 -n + /221 1 1 2 2_ _ 2_U)F T =(i+ i) _ - c：+ c：+ = + i)一 - 为 ;(12)1 2 - 1- - =-2-1 (2,-1-1)(2-1) 2 -1TA .( 朝.z 1一、单选题1 . 2 01 8 年 9 月 2 4 日，英国数学家M . F 阿帝亚爵在“ 海德堡论坛”展示了他“ 证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动， 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和. 记无穷数列的各项的和S = 1 + * +那么下列结论正确的是4 5 4 3A . 1 S B . S C. S 23 4 3 2【 答案】C【 分析】1 1 1 1由 22时，-7- 7 7 = -,由裂项相消求和以及不等式的性质可得5 2 , 排除Q,再由前3项的n ( 一 1 ) n n和排除A , B ,从而可得到结论.【 详解】1 1 1 1由2 2 时，而 可 = 匚 1 一 /-I 1 1 1 . 1 1 1 1 1可得S-1+齐 + ” + +/1 + 1 - 5 + 5 - + +k-n f + 8 时，S . 2,可得S ,可排除4 8 , 故选C.2,已知数列 叫 满 足 % 0, 4= 2,且( + 1)*= 应 +4，eN则下列说法中错误的是( )A. a2 2n+ 2n -n2 2) 2B.参 + A介 一 + 夕 2c . 1 a + a D. 2 4n【 答案】D【 分析】分析得出凡”% ,可判断出C D 选项的正误；分析得出% + ，利用累加法可判断出A选项的正误；当“ 2 2时，分析得出 0, q =2 ,且( + 1 ) 匕 1 =应 + “ ，” w N * ,即( +-( + 1 ) = na ； -n + an- ,故( + l ) (a “ M - l ) (%+ i + l ) = (a “ T)( 9 + + l ) ，由。 “ 0, 有( + 1 ) (用+ 1 ) 0, 勺+ + 1 0 , 故见+ - 1 与% - 1 同号,因为 )q 1 = 1 0 ,则 i z , 1 0 ,生 1 O , L ,以此类推可知，对任意的“ e N , % 1 ,所以，( + 1 ”3= 片+ % + ，则见+ i a , 所以，1 1 = 2 , D 错;1 % + % ，C 对;因为% = ( +1 ) 。 * 一 ，则 q = 2 d - a ： ,2d，L , % + ，累加得力 + 出 + + 。 ” = + 1 ) 匕 i - 4 2 ,匕LI、I 2 , 2 + 4 . 一 1 * , 口 2 2 + 2 ,所以，匕 4 可得a ； 4 - - - - - , A对: + 1 n. . a ： , 2 + 2当2 2 时，- r -n n n2 ( + 1 )22(nl ) ( n+1 ) n-1 ) n 2n姆 诏 a , - 2 2 2 2 2 2 2c 2 , 八小H T- H -z - + , H - - 2 - - -1 d + -I- - - - - =2 / , B 对 .33 42 n2 2 2 3 3 4 n- 1 n n故选：D.3 .已知数列 % 满足 = J , 向=。 “ +43n W N ),则下列选项正确的是()。2021 。2020B.吗4 04 3 2 02 1c 2 02 1C. 0 a . A , , 1【 答案】B【 分析】利用数列 % 的单调性可判断A选项的正误；利用放缩法得出 一 一二十一% 川 n h1 1/ 一 2 , n7 7 - 1-利用放缩法可判断BCD选项的正误.% a + 1 - 1 nNe4-9=以此类推可知,对任意的 e N * , a 0 ,所以，国 9=今 0 , 即 4 ,n所以，数列 “ 为单调递增数列，故a 丽 在出，A错；2在等式an + 1= % +&的 两 边 同 时 除 以 可 得1 1，.4 / +可1& y 1% “ 长： ” 2 也，11 1w - 1) n - n , 其中 N2 且 wN*，11 111 1所以，-a2累加 得 ,a21 1 1- 1,%-21 1-2% +1-i + u + a ,n 4 n则 % +1 1，故 “2 0 2 1 3 + 凡11 1 g + 1) n7 7 + 1111所以，丁Z 5 1 _2 3L ,1 11an 4+1n n 4-1,r 1 I 1 , 1 、 1 2+3累 力 得3-1- - , 可得- - - 彳 八 / r 又. _ a? Q 2l -2/7 + 3故选：B.4 . 已知数列应 满足q = g ,。 + 1=片 + 。 ” +1，若 ， = + + + 一 ，对任意的 cN*,%出 a”s 0 , 然 后 结 合 基 本 不 等 式 得 到 进 而 得 到a +i J 1 ,又q = ；, 所以% 0.由 - =+ 4, + 1，可 得 喂 =。 “ + ， +1 * 3 ,当且仅当d =1时等号成立,% , an因为4 = g ，+i -所以所以。 ( 乌-31 1 1所以o 于 一。 + 1 3 an- 111 1 1 1 1 / C所 以 一 - - - - - - - - - -2,ne% 3 峭 3 an_2 3 %、所以 S ,1 2 N * ) ，又对任意的“ e N * , S. 71C .当 P = 5时，则 $2019 1D .当。= 1时，贝 1 J $ 2 0 1 9 1【 答案】B【 分析】利用不等式放缩和裂项相消法对各选项进行分析和计算，即可求出结果.【 详解】对于选项 A, 当 p = - l 时，丁 = K T = l - Z T N 5 5 e N * ) ,- - r 1n2019 i 2019所以5 3 9 = 2。 , ,23 x 2 019 = 一万，故选项A错误；=i 2 2对于选项B, 当P = 0时，勺= 工( * ) ,2n又, 所 以 g l n ( l + L = g l n ( +1 ) - l n z ? J所以2019 12019 = Za ( l n 2 - l n l ) + ( l n 3- l n 2 ) + . . . + ( l n 2 019 - l n 2 018 ( n 2 02 0- I n 2 0 19 ) =与n 2 02 0万 ,故选项n = l 22B正确；对于选项C, 当p = g时,1 _ _I _ _ _ _ _ 1v i V( 小 + i)n2 n2 4 - 1 n n+ n2Jn1 + ln G H )所以对于选项D , 当p =；时，%故选项C 错误;1 1 117F1 77 =- (n eN * ),n ( + 1) (/1 + 1) n + 1 ,所以故选：B.120201-/ 1 ，故选项D 错误;第I I卷 （ 非选择题）二、解答题6 .已知数列 % 满足q = 2 , 。 e = 2 % + 2向.（ 1）证明：数列 受 为等差数列；（ 2）设4 勺，证明：/ + 2 .【 答案】（ 1）证明见解析（ 2 ）证明见解析【 分析】（ 1）根据爵 -枭 = L 结合等差数列的定义可证结论；（ 2）由 （ 1）知，4 = l+ （ “ - l） x1 = , 根据J （ W2） 放大后裂项求和，可证不等式成立.bn n -1 n【 详解】（ 1）因 为 翁 一旬 _ 2a“+2向2r=r + 1 r=1所以数列;亲 是首项为1 , 公差为1 的等差数列.( 2 ) 由 ( 1 ) 知，bn =l + (w-l)xl = /? ,所以J = 当“ 2 2 时,b： n-1 1 1 1 1 = - - -b； n2 (ii - 1)/7 n -1 n“1 1 1 1 1 1 1 1r l e + + 1+ 1-F-f- 4 -= 2- 2b； b： b2n 2 2 3 n n n7 . 已知数列M， 的前项和为s“， 对任意正整数， 点勺（ 3 , ） 都在函数 x） = / + 2 x 的图象上， 且 / （ X）在点P. （ ， S,） 处的切线的斜率为K.（ 1）求数列 叫的通项公式; 若 a = ( 啦 1 _2, 求证：+； L ， a h a b 【 答案】( 1) a “ = 2 + l ； ( 2 ) 证明见解析.【 分析】( 1) 把点的坐标代入函数的解析式中，结合句 = : ：, ； ( 2 ， )进行求解即可；( 2 ) 根据导数的几何意义，运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行证明即可.【 详解】( 1 ) 解：依题意可知5 ” = 1 + 2 ” ，当时，a = S - 5 _ , = ( n2 + 2 n ) - ( n - 1 )2 + 2 ( n - 1 ) = I n + 1 ,当 = 1 时， =S = 3 也符合上式，J % = 2 + 1 ； 证明：/ ( x ) = 2 x + 2 , .K,=2N + 2, 4 = 27一 2 , =u, z - Z Z + z - Z ZXT1 1 1 1 / 1 1 1 2n) . “ 瓦打 bn 2 22 23 2 1 - 1 2二原不等式成立.8 .已知等差数列 4 的前 项和为S. ，且S ? = 9 , 又 q =2 .( 1 ) 求数列 对 的通项公式：( 2 ) 若数列也 满足b n = 2，求证：数 列 出 的 前 项 和 ；.【 答案】( 1 ) an= n + ( 2 ) 证明见解析【 分析】 直 接利用等差数列前项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式.( 2 ) 利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和.【 详解】解：( 1 ) 设 。 “ 的公差为止因为&= 9,又6 = 2 .3 x 7所以邑 =3 卬 + 于 3 = 9,解得d = l .故 % =2 + (-1) = + 1 .（2） 证明：由于%= ， ? + 1 , 所以，= （ ; 严 ，1所以北 =（ ； ） 2+（32+. +（: = 41 : L1- -2 29 . 已知等差数列 % 满足% = 7, %+% = 26, % 的前项和为（ 1）求。“及 3；（ 2）记（, = + + J , 求证： 7；, 7 .E S S 3 4【 答案】（ 工）a=2n + l, s“ =2+2 （ eN*）（2）见详解【 分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式可求解。（ 2）由（ 1 ）的结论，利用裂项求和即可得出，再利用单调性即可证明结论。【 详解】,. tz, 4- 2d = 7（ 1）设等差数列。 ”的公差为d ,.%=7,%+% = 26, *q + 4。+ 4 + 6。= 26q =3d = 2解得an =3r + 2(7 7-11 、) =2c + 11 , s(3 + 2/7 + 1) 2 八 / 、n= - = n2 + 2( e N )（ 2）由（ 1）可知：sn =n（n + 2）T 1 1 1所以乙= 不 + f + + 丁 =另一为1 Z1 L A L A 1、=5+ + ( - -) + (- )n +l n n+21= (1 +-)2 2 n+l n+23 lz 1 1 、= - - - - ( - - - - +- - - - )4 2 n + l n+2c 1 / 1 1 、 , 1/ 1、 50 - (-+-) - ( - + - ) = 一2 + 1 + 2 2 2 3 121 3 1 ,1 1 、 3. - - - - - ( - - - - + - - - -) 3 4 2 /7 + 1 + 2 4/包二3 41 0 . 公差不为。的等差数列 对 的前项和为S“ ，若 4 = 1,岳，s2,反成等比.（ 1 ）求数列 对 的通项公式;（ 2 ）设2= = ，证明对任意的 w N * ,4 + 为 + + 2恒成立.【 答案】（1）an= 2 n -； （ 2）见解析.【 详解】试题分析：（1）由已知S； = SQ 4,把此等式用公差d 表示出来，解得”后可得通项公式；（2）由（1）计算出 为 了 证 明 不 等 式 4 + 4 + + 4 2 ,要想办法求出和4 + 电 + +6“，但此和不可能求出，为了证不等式，由4 丁 二 = 一 三 一 !（ 2 2 ） , 这样和4+b, + + 4 通过放缩后就可求得，从而证得不等式成n n（n - i） n - n立.试题解析：（1）设数列 % 的公差为d由题 5J54= (44 + 6d) = (2 + d)2q = l,d H 0,d = 2 , /. an = 2n-1( 2 ) 由(1 ) 得 S“ =2, . . . ”= ，当 =1 时，4 = 1 2 成立., 1当 心 2 时，b“= # 1n(n-l)1 _ _ _1n - n 7 , 7 一 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 - 一. b +b,4-1 - bn 1 + 1-1 -1 -1 -H -= 2 2 成. j. f2 2 3 3 4 n - n n所以对任意的正整数，不等式成立.考点：等差数列的通项公式，放缩法证明不等式.1 1 . 已知数列 “ 的 前 项 和 为 = （ WN* ） ,且 ” 1 = 2 . 数列 瓦 满足加= 0,历 =2 , = =2 , 3,.（I ）求 数 列 %的通项公式；（ II）求 数 列 瓦的通项公式；（ HI）证明：对于 HN*, + + + 2, , , - 1 .% 2 %【 答案】（1 ）册 = 2 , （ I I）b,=2T （ - 1） , （ ID）见解析.【 分析】 再利用等比数列的求和公式，即可得到结论.（I）利用S尸 与 L “ ，可得2 S ,=（+1）an,再写一式2s+ 产（+2） a +,两 式 相 减 可 得 四 ,2a n利用叠乘法，可求 数 列 a ,的通项公式；b 2（ I I ）根据4 = 0 , 岳= 2 , 资 = 一 ，利用叠乘法，可求 数 列 瓦的通项公式；b n-（ III）先证 明 也 = 2T外【 详解】（I ）解： : Sn= - 4”，* * - 2Sn = （ + 1） / ,* * . 2Sn+ =（ +2 ）,二- 可得 2。 + | = （ + 2） 田- （ 胃 +1） %，.% + 1 / 一 当2 2 时，4 = / x x x - - = 2a % 2. -1a % an1 2 .已知函数/ 。) =加 + 云 ( * 0 ) 的导函数/ ( x ) = 2 x - 2 , 数列 对 的前项和为S“ ，点匕( , S, ) 均在函数y = / ( x ) 的图象 上 . 若”= ；( “ “ + 3 )(1 ) 当 2 2 时，试 比 较 与 2 % 的大小；( 2 ) 记c “ = ( e N ) 试证q + c 2 + + C40 0 3 9 .【 答案】( 1 ) % + 1故 如 2% = 2c , = 1 ,_= ? 2 )y /n y j n + y i n S + S- lC| + ? 2 + + C400 1 + 2 -1) + 2 A/2 j +. . . + 2 (-J400 V399= 2/400-1 = 39 .1 3 .已知数列 % 满足% = 1, an+l = 2a + l (n e T V*).求;求数列 ” , , 的通项公式；证明： + + .+ - -( e N *).2 3 % a3 a ” + i 2【 答案】解：( 1)%= 7; 。 “ =2 -1(eM) ；证明过程见详解.【 分析】根据q=L - = 2a “ + l (e N *),逐项求解，即可求出结果； 由 %M = 2 “ + l (e N ),得到 见+ 1是等比数列，进而可求出结果.先由二 一 不 口 一 1 丁 L 2 , ， ，*十| -), ,a . a ? an n得到 + + .+ - . 2 3 2再由放缩法，即可得出结果.【 详解】因为数列 凡 满足q = 1, I = 2 “ ， + l (”e N *)所以=2q + 1 = 3 , % = 2 % +1 = 7 ,故 % = 7 .因为 a “ M = 2 “ + l (e N *)所以。 川 +1 = 2 4 + 1 )所以 。 , , +1是以4 + 1 = 2为首项，2为公比的等比数列.可 得 %+ 1 = 2 .即 a “ = 2 -15e N *).ak _ 2k- 2A -1 1 , , _ 因 为 二 =西 二 =； 一1； ( 5 j 2 a + i J所以 W. . . +J.2 % 2乂 因 4为-怎-一=- m2 =_ -1- -m1 - =_ 1 , 7 -1 -7 -、1 .1- r-y1 b , 1 , .2 , o., n% 2k+l -1 2 2(2A+1 -1) 2 3.2k+2k-2 2 3 2, a, a -y 1 /1 1 1、 1 八 1、 171 a2 a3 a+l 2 3 2 22 2 2 3 2” 2 3故此n 丁 一a, + a, + . . . +a-n- - -n( ,n N、 , )、.2 3 a 2 % % 21 4 .数列 叫 满 足 ：4+ 2牝 + 3 4 + + = (-1)2+1；数列也 满足：=在=，且4 .( 1 ) 求数列 叫 和 也 的通项公式；( 2 ) 设 备 = % , ，证明：17北 3；1 = 1(3 ) 设。 “ =。 “ + 也, ，证明：/ + v + / + 【 答案】_ 1 . + 1( 1 ) 。 “ = 2 ，b,= -(2 ) 证明见解析( 3 ) 证明见解析【 分析】(1)当2 2 时，4+242+34 + + (- ” ,1 = (-2)2 7 + 1 ,与条件等式两边相减，即得数列 % 的通项公式，再利用累乘法求数列 的通项公式；(2 ) 利用错位相减法求得7； =3- 耍，再利用单调性证明得解；1 1 1 1 1( 3 ) 只需证明尹+ 手 + 下 + +而 讦 4 , 再通过放缩和裂项相消证明不等式.(1)当 =1 时，a, =1 ;当 2 2 时，q + 2a2 +3如 - 1-( )+尹 +尹 +1+ -2n + 1lrn + 12n1所以T=3 -， + 3T所以加尸北= + 22 + i 0所以 1 递增所以看2 7 ； = 1又当f + o o时，T“T3所以1 4北3c ” =。 ” + 也, = + 11 1 1只需证明了 + 手 + 不 + +7 7 + 1)1-4当 2 2时, X(n - 1) F ? X ? ? 4- 1 ) 2 ,1 11n1rr x 2cc, , 1 1 1 1 I f 1 1 1 1 ( 1 1 1 1 1 1c ： c ； 2(2x l 2 x 3 ) 2(2x 3 3x 4) 2 (n -l ) +1 1 1= -2),构造等比数列卜“ 一共即可求解；选：由S“=； (a“+ + D( eN*), % ( 1 + - 1+1)( 22),两式相减可得+1( 2 2 ) ,以下过程与相同；选：由S,m = S ,i+ l( 2, e N .) ,可得/+1 + % =l(2,e V ),乂 %=2, = 2时，a3+a2= l ,所以02=-1，因为q = 2 ,所以% + % =1也满足上式，所以=l(2,e V ),即a. = -a,i+ l(N 2),以下过程与相同.然后由分组求和法可得前n项和S,；(2 )由(1 )求出$2. = ，$2川 = 左 +2 ,则4 利用裂项相消求和法求出前项和记为7；即2k k+2)可证明.(1)解：选：因为4 = 2 ,数列 端 - % 为常数列，所以a； -a “ =a； -a, = 22- 2= 2 ,解得a“ =2 或a“ = - l,又因为数列 % 的任意相邻两项均不相等，且 =2,所以数列 氏 为2 , 7, 2 , 7, 2 , 7所以 a“ + a“ _ | = 1(Z 2 , M ),即 % = - %T + 1 (HS 2),所以 * 2 2 ) , 又 q_； = 9O,所以 一 3 是以g 为首项，公比为T 的等比数列，所 以 一 ； = | (-l ) i，即% = g + | ( 一 ) T ；选：因为S, , = ；&+S, -=；( *+ -1+ 1) (2 2 ) ,所以两式相减可得a, 即 % = -% + 1( 2 2 ) , 以下过程与相同;选：由 S.+ i = S, i+ l (N 2 , eN .) ，可得 a.+ I + a“ = l (2 2 , eM) ,又？ = 2 , = 2 时，a3 + a2 = 1,所以2 = -1,因为q=2,所以勺 + q= 1 也满足上式，所以= l ( Z 2 , eM) , 即a“ = - %T+1 ( 22),以下过程与相同;所以S“ =1 3 - I T )” 2W +2 -1-(-1)3 + 2 3 /八 “ 一1=丁 +了 ( - 1 );(2 )解：由.(z 1x) 知. Sc ”=3 + 24x 2k + -3 (/- 11) 2A- -I = k. , S3-3- +- -2-x (2k + 1-) + 3( -/ 0 d 1 i= k +2, 1 1n l i所以4r r r l 7, , , , if, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A所以 1 = 4 + 4 + + 4 = T 1-T + T - T+ 7 +， ， ， + FT - TT7+ T 77712 V 3 2 4 3 5 k -1 k + k k+2)1 6 . 已知各项均为正数的数列 q 的前项和满足S 1, 且 65 .= 仇 + 1) (见+ 2 ) , ” .( 1 ) 求 , 的通项公式; 设 数 列 也 满足。(2 -1) = 1 , 并记7； 为 也 的前项和，求证：7； + l 0 , 可得a向 - 4 = 3 , 分析即得解：(2 ) 由 % (2，-1) = 1可得 = l o g 2 1 J , 利用对数运算性质可得Z ,= lo g J H , 3 r l ，利用 3 一 1 V 2 5 3w - 1J卢3/7 7 1, 因此q = 2 ,由 % + 1 =S“+| -S . = ! ( a”+ i + 1)1,田 + 2卜+ 1 地 + 2 ) ，得(a,+i+a“) (a,+ i-a,-3 ) = 0 , 又见 0 ,得-a“=3,从而 为 是首项为2 公差为3 的等差数列,故 凡 的通项公式为% =3 -1.(2)由 % (2 1 ) = 1 , 故* - 1 = 丁 二3n-l即2 8 = 2 -3 一 1可得 = log? 产； ，从而3/2-1_ , , ,.3.6 . 377 ,北=4 + 仿 + + = log2 + log2 + .+log2 - - = log22 5 3n-l3 )3w-lJ3 62 5. . 3 3 + 2- -3 - 1 3n 1. 3 6 3/7 5 8 3 + 2 3/14-2. . * 2 5 3/7-1 2 5 3 一 1 2于是T = log2log25 82,53 6 3 3 M.与一 J3 + 2) 3 + 2 人 i- - r T og? = log2(3 + 2 )-l,3n- J 27； + 1 g2(3 + 2) = log? (a“ + 3) .1 7 .已知数列 % 中，q = l ，“ 2 = 2 , 3 % + = 4 % - a, I( 1 ) 求 。 “ 的通项公式；b =_ _ _ _ _ _ _ _! _ _ _ _ _ _ _ s 卜 设 g=l , 2 , 求 证 : g ”. 5 1 I 【 答案】( 1 ) 勺 =2 2 3 -2 - ； ( 2 ) 证明见解析.l , n = 1【 分析】(I) 根据4 = 1 ，。 2 = 2 , 3 % ”=4/ 一 41 当2 2时，变形为“ 向 一 “ 得到数列 。 ” * 。 等比数列，再利用累加法求解；_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 22 2 3 -21 , / ? = 1( 2 ) 由 ( 1 ) 知：当 2 3 时, 1 + + - + - + . . . + - = 2 2 .2 2 3 3 4 n n n18 .数列 % 满足S“ = a（ N eN * ） , S “ 是 / 的前项的和，的 = L（ 1）求 s .；3 （ 1 丫（ 2 ）证明：- 1 + 2 .2【2 。 + ）【 答案】（ 1） s,=%D ：（ 2 ）证明见解析.【 分析】（ ! ）通过累乘法求通项。 “ ，再求前”项和S, 即可.（ 2 ）通过二项展开式直接放缩即可求解.【 详解】s.= M 解：（ 1）当2 2时，由1 / ,S + = -y -4 + i 得5 1） % =叫，B P = - T.an n -lan = a n- -a-, a-, =n.-. .n.-.2. .2 -.1 = /7-11,an-i a-2 a2 -2 n-3 1又得q=0 ,故s = 声= 1 1 .（ 2 ）证明：（ 1 + = fl + = 1 + C ；, - + C ； -f 1 + - + C -f I + - + C ； / 1I 2 a “ J I 2n） 2n 2n） ln） 2n）因此,另一方面,2 /7 + 1易证WT 2n-k2 一 （ + 1）（ 左= 0, 1, 、 一 1）局W誓悬貂2 .因此，有 h +4 2,当” = 1 时，与 +上 ，左边等号成立.2 1 2an+J 2 2 x 11 9 .已知各项均为正数的数列 对 的前项和为S ,且a； +%=2S”,2 2( 1 ) 求证：S, 册 ；( 2 ) 求证：-= + + y/s 0 ,又由条件展+a“=2S“，有a3+4M=2S“M，上述两式相减,注 意 到=S“M -S”得( % +%)( - - % -1) = o.a0, 故4+1-。 “ =1,=l+(n-l)xl=n, Snn(n +1)2耳2 +( + 1 )2,s :,即证4(2) ,/ n + w +1,n +1, 飞1 2n正k飞2 0 .已知数列 4“ 的首项q = |,1（ i ）证明：对任意的工0,(+ 1 )2V22、一n2( 2 ) 证明：卬 + 。 )+ + 4 2-w + 1【 答案】（ 1）证明见解析；（ 2）证明见解析.【 分 析 】( 1 )推出数 列k1是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数 列 巴 二 的通项公式,【JI a . J进而可求得 。 “ 的通项公式，然后利用配方法可证得结论成立;等式成立.由( 1 )中的结论结合等比数列求和可证得所证不【 详 解 】3 % _( 1 )对任意的e N * ，+ 1 =7 7则巴电工=生=一=彳二2 % + 1 。e 3 & 3a 2 % + 1因 为q u jv l，可 得 = 7 ( ， 1 )，6 Z3=7 7e( 1)( L ,5 2 q + l 2a2 + 1a-1 2以此类推，可知，对任意的EN2 % 0 , 1 ) ，且 有 ， = 一 ”所 以 ，数 列 ， 生 匚 是等比数列，且 首 项 为 公 比 为 ! ,I an 3 3a - 2 1所 以 ，对 任 意 的x 0 , wN ，x- 11 - -1 - 1-2-a ( 1 + x)2 1 + xa “ +a 0 .有“ q+生 + + 4, 1 +-X- -(-l- + x)22 2 2所以,1n + ，故原不等式成立.2%Ta. .( 1)证明：数列， 士， 是等差数列；( 2 )令b“=, 证明：/ ： +#+ 人 ； .aai a【 答案】( 1 )证明见解析；( 2 )证明见解析.2 1 . 已知数列 % 满足= 2 ,【 分析】( 1 )依题意可得a 向 -1 = 9,再两边取倒数，即可得到( 2 ) 由 ( 1 ) 可得。 “ = 1 + 4 ，则。 田,利用放缩法得到n1a ,T1( + I),1 ，从而得证；丁二，再利用裂项相消法求n(n + )和即可得证;【 详解】2 q - 1 ci解：( 1 ) 因为, 所以a . M - J -2一 ,a, a因为q =2, 所以,所以一% + |T ,-J 4 I所以一_ 一 7 = 1% + |-1 -!又因为 7 = 1 . 所以是以1 为首项，公差为1 的等差数列.a1 a .Tj( 2 ) 由 ( 1 )得 = 1 + “ -1 = H, 所以勺 = 1 + ! ，% 一1 n所以 q a ,a “ = . = w + i , 所以21 2 n + l7 2 7 2 1 2 1 1 1 1 1 1所以坪+ 与 + 9=齐 + ” + +适 存 放 +m+ 花 西= -+ + - = - 0 , 从而得- =3“ 一 3. ， 22进而可求出数列 4 的通项公式;b . 1 八 1 1 1 1（2）由（1）可得4 = 2 - 1 ,则 黄 - 2 = 5 口，再利用放缩法可得。 5 = = 2 ,T +（ 2一 _ 1 ）或尸, 从则得 1 = 2 一 24 （ 今一2）+（ 2 一 2）+ +（ 攀 一2 ）WLA J = 2 -（ “ 0 , 故=1. 与 =1时，解得= 1 , 因此数列 6 的通项公式为4 =.（ 2）由题意， = 2 -1. 2 = - I I 0 -= - -：-r W-bn 2-1 - 2-1 2,_ |+（2- |-1） 2- 所以2,化简得2“ + + % + -. + 如2 + 2U b2 b2 3 . 已知数列 对 的前 项和为S“ ，若 % +s“ = l.( 1 ) 求 a, , 通项公式；( 2)若为数列 % 的前 项和，求证：7；, 2/ 7 + 1 .【 答案】(1 ) % = /；( 2)证明见解析.【 分析】( 1 )先求首项，再应用。 .与S , 的关系，构造两式并相减消去5, ,得到递推关系从而证明 4“ 是等比数列,求出通项公式；( 2)化简通项法一放缩变形为可裂项形式，再裂项求和证明不等式，注意放缩成立条件，法二放缩为等比数列再公式法求和.【 详解】( 1 ) 由 a“ +S , =l ，令= 1,得当 2 2 时，+ =1 (2), 两式相减得2 % - % =0,1, at. 1即。 “ =5 勺-|,又。 产 1 ，则 = 5 ，所以数列 % 是 以 * 为首项，g 为公比的等比数列，故q = 5 ；1 1 2 2 . .- -.1. _ _ I _ I I法 一 : 1+ ( ； )“ 1 厂2+1 2-1 =2 + -1当 =1 时，e, =2 + (l-1 ) 2n- + 0 ， , 则 q, 42 + ( ? .-).2 2 + 2 1 + 2 +1-一 八 1 、 ， 1 1 、 ， 1 1 、 z 1 1 J L 3 2 + 1 22 + 1 22 +1 2T+7 2 , , 4 +1 2 M 4 J= 2 + 1 - 2 + 1 .2+1综上，Tn 60, 70,则2 上卫,a a + tn2 3 c 3.-4- - - v 4 f . . C ” 2 d-4-f.7； 2 + 3 %+ 6 + + | 1 - 1 n= 2 + 3x- = 2 + 1 -（ 才 2 + 1 .故命题得证.1 42 4 .已知数列 “ 满足q = : ，a用 一 2% = 答:， eN*.2 4/7 -1（ 1）设” =a“+工，求证：数列抄“ 是等比数列;2 一 1（ 2）设数列的前项和为S“，求 证 : S“ l, z. 3-2n -2- l 0 , 1 1当 之 2 时，S 2 + + - + + +- 2 + +-+ -!= 2 + 2 5 11 32-2一 1 2 22 23 2721 -2-6 2 川又S =23,%综上， 3 , G N* .n eN) .2 5 .已知数列 叫 ( 尸 0)满足2(%+负 + 莹 + ( 1 )求数列 为 的通项公式;( 2 )求证： +1 572- F , H - 2,MG N*),ln 1 n 1n 2,“ N“).当 =1 时， = Q；, 又 。0 , 贝 |J % = 1 ,所以数列是 以 1为首项，1为公差的等差数列，所 以 今 =，则/ = .( 2 ) 由(1 ) 得2224+1 ( + 1)J + 1 2( + 1) J + l J + l+ ( + l ) 力 + 1( + J + l)2( + 1 -4)y /ny j n +1则1 1 1 1 1(迈+ 2 正 -苏 耳 - 赤 + -+ 9 -高卜 + 2后-瑞卜乎+ 且乎.2 6 . 已知数列 4 的前项和为S “ ，q=l,。 用 = 六 .（ 1）求 证 为 等 比 数 列 ；3（ 2）求证：S j .【 答案】（ 1 ）证明见解析；（ 2）证明见解析.【 分析】( 1 )由已知得一 =+ 4 = 汽 + 1 ,即_ L_ + ! = 4 ( J - + 1 ,可证明 _ L + ： 是等比数列: 川 % a an+l 3 ( 4 , 3 J 3 J（ 2）有 （ 1 ）知4 1裂项相消可得证明.即3 3 3 ( 14B- 1 4 n2- l - 22n-备 卜 危 3 , 蚱 N） ,合理利用放缩然后利用【 详解】证明：（ 1 ） . 数列 4 的前w 项和为S ” ，4 = 1 ,4+ 4 t l an an ，?是以: 为 首项，以4为公比的等比数列.4 3 J 3（ 2 ） ； 一1+1; 卜 是 以4 ; 为首项，以4为公比的等比数列，. .1 一 +1 ； =4 ,以 3 J 3 an 3 33 . 3 3 3 3 ( 14 - 1 0 4 - 1 4n2- l (2n-l )(2n + l ) 2l n- 1E = 4 = 1 5，AT)( 沦 3 “ N ).%=3 =1 所rrr以. 邑c = i + 31 =6 M 3 时,S / l + X-J 1 5 2( 5 7 7 9 2n6 53+ 一1 0323综上所述，27 .已知数列 a . 的前项和为S “ ，a , = 4 ,数列 2 是公差为; 的等差数列.( I )求数列 。 , , 的通项公式；1 4( I I )设一0 ，求证：对于任意的 wN*, + & +L + 4 三 .【 答案】(I)= + 3 ( N ) ； ( I I )证明见解析.【 分析】(1)由率 =4=4,所 以 & =, +:，可得5产 丁 + : ， 当“2 2时 有 %= S , - S又q=4,即可得解;1 n 2 2 2 2(2 )首先 由 =厂:r=工 工 , 我,通过放缩和裂项可得：bn - i = w + 3 ( w2) ,又 q = 4 ,: . % = + 3 ( G N * )“一 ( + l ) a ；( + l ) ： + 3 ) 2 ( + ! ) ( 2) ( + 3 )= 3(” + 1 ) +2) - ( + 2； + 3 ) ( I I )当 2 2 时， + 3 + L + bnJ+J-L+J_L+L+ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _!3 2 2 3 x4 4 x5 4 x5 5 x6 ( + 1 ) ( + 2) (W + 2) (M + 3 )1 1 13 2 2 3 x4 -1-=7 x4 1 - 9 6 x 3 _9 6 x4 1( + 2) ( + 3 ) l79 69 6 x4 1： a +b2 +L + ,又吃。4 + + L + bn 2, eN*.(1) ( i ) 证明：数列 乙1是等差数列；( i i ) 求数列 对 的通项公式;12 2( 2 ) 记 7；=5W 2一 。 ，eN *， 二邛 + 管 + + 窗 ，证明：当eN*时，- - Sn-a .【 答案】(1)( i ) 证明见解析：(ii) % = 察 ( % * ) ：( 2 ) 证明见解析.【 分析】2 2 (1) ( i ) 根据的2与。 分 %T=一 一 2相除可得见 =? ,变形得- - - - - - - - - - = 1 , 从a “ a”而可证数列是等差数列:( i i ) 根 据(i ) 中等差数列的通项公式可得结果；求出7*，根据小 上一上可证“沁根据T - - - = - - - - - 25 + 2 ) 2(“ + 2)2 1 + |)胃| | 可证S“ ”【 详2( 1 ) ( i ) 当N2 时，aa2,an - =-2,%,2所以的 2勺= - - - -2,1两式相除得见 =午 一- - 1所 以 士 =诛=号;T所以丁 - - - - 7 = 1( 22).1 - -2 3 11又q = ; , 故2 = :，故 - - - - - - - - -=1也成立.3 2 34 一 2 - Ian为等差数列( i i ) 由(i ) 得，- - - - - = -+(-1)x1 =+ 2 , 即 a1一% l- q + 2、因为1 = ； 生%(2)1 2 3 4 + 1 1= X X X X X -= -2 3 4 5 7 7 + 2 n + 2 尸! = _L _L ( + 2( + 2)( + 3) + 2 + 3，工= 邛+ 以+ + 容! + 1 + + + 3 44 5 5 61 + 2 + 31 1 1 1 2 +2 2 2-=1- =-=区q -3 + 3 + 3 3 + 3 3 H+, 321 1 1 _ 1 _ _ _ _ _1_又 “( + 2) ( + 2)2一： + ；所以S= k + T +11 _ 2 22 22 2 2乙 2、 2 2 H + 1 2 - - = 1-= - 1 e N *), 数列也 是公比为正数的等比数列， = 2 , 且 2&,b、 , 8 成等差数列.( 1)求数列 % ,也 的通项公式；( 2)若数列 却 满足= 求数列匕, 的前项和S,.( 3 ) 若数列 d J 满足4 ,= 丁 一 高 ，求证：4 + 乩 + + 内 . 3 1 1 1【 答案】(1) % = ，4 = 2 ； (2) - - + - - ) ； ( 3 ) 证明见解析.4 2 +1 n+2【 分析】(1)证明数列 4 是等差数列，即得数列 6, 的通项公式，求出4= 2 即得数列 4 的通项公式;（ 2 ）先求出J =不 不 ，再利用裂项相消法求出数列的和；（ 3 ）利用放缩法证明不等式即可.【 详解】（ 1 ）数列 。 满足q = 1 , a . = l + a . T （ l , e N * ） ,所 以 %- 4 i = l （ 常数） ，所以数列S . 是等差数列，故a “ = 1 + （ - 1 ） = ，数列他, 是公比为9的正数的等比数列,4=2 ,且2公 ,b3, 8成等差数列.所以用=2 88,解得g = 2.所以，= 2* 2T = 2.故 = ，b = 2.( 2 )数列也 满足= ”所以G / 、 = ； (1一 ，n(n 4 - 2) 2 n n + 23c “ = 1 (Z 11 1 + -1 - - -1 1 - . . . 4- - - -1 - - - - - -1 -1 -1- - - - - -1- ) 、= 1 八( 1 4- -1 - - - - -1 - - - - - -1- ) 、= -3- - -1- ,( - -1- - H - - - -1 -)、 2 3 2 4 w- 1 + 1 n n+2 2 2 + 1 n+2 4 2 n+ + 2( 3 )数列 满足力 =7 ： ，+ ( T ) 1 1 1 1 1 I 1 2 2 21 - 1 22 + 1 2-1 24 + 1 22n - ,- 1 22n +1, 1 1 1 、 ， 1 1 1 、2, - 1 23- l 22-1 -1 22 + 1 24 + 1 22M+1Z 1 (1 + 1 + . . . + 1 x J 1 1、7y ) + (- + y +1 1 11+ + 52）, 所 以 智 = 4（ wN*） , 故可判断数列 / 是公比为4 的等比数列，则可得其通项公式;由得若小 2-1, 利用不等式放缩得，卢 2 3 2 22-1 + 1 _ p叠加即可证明.【 详解】（ 1）因为q =4,所以当 =1时，a2=3S,+4 = 1 6 ,所以生= 4；a乂当2 2 时，a“ =3S“_ 1+ 4,所以 川 - % = 3 % ,得。 的 = 4 / （ 2 2） ,故暇= 4（e N *）所以数列 % 是公比为4 的等比数列，则 有 =4 ；由陪J2 一 1因为号:T引- ,所以 + z L - ,2 3综上所以 有 卜 黄 曰 三 +隼1 + L +2 3也 一 1必 一 1N ,）3 1 .已知数列 4 满足4= 1, % 的前项和，满足E川=2S“ + + I.( 1 ) 求数列 。 “ 的通项公式；( 2 ) 记 数 列 的 前 项 和 为(,，证明：7；, 1 .【 答案】(1) a = 2 -l； ( 2 ) 证明见解析.【 分析】(1)由 =1求得，= 3 , 令 2 2 , 由S,、=2S“ + + l 得出S .= 2S T + ,两式作差可得出& “ = 2 4 +1, 推导出数歹| %+1 是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列 。 “ + 1 的通项公式，进而可求得数列 % 的通项公式；1(2 ) 推导出电也 ；( 22), 然后利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得7； 成立.【 详解】( 1 ) 当 =1 时，S ? = 2S+2 = +2 = 4 , a2 = S2 a = 3 ,当“ 22 时，S,+i =2S,+* + 1 , S ,= 2S ,T+ ,作差得。 什 | =2q,+1,整理得1+ 1 = 2(为 + 1), . 安 丁 = 2且 上 / 2 ,V I 1 1 4 1 I 1又4+1 = 2 , 所以，数列 勺 + 1 是以2 为苜项，以2 为公比等比数列， 1 +1 = 2X2T = 2,因此，% = 2 -1 ；, 1 5( 2 ) 当k =1时，4 = =1彳；q 3综上所述，对任意的 eN *，7；, |.ian / “ * 、3 2 .已知数列& , 痣 满足h 、(GN )2 1 + 。 “ + ( 1 )若也,= 亨 ，求证数列；是等差数列，并求数列口, 的通项公式：( 2 )若a= a ； ,(/) 求证：0 aw 0册 个% + j _1y /l + a “ +a ： an Jl + Q + q ： 1 ? 是递减数列，且q =2/. 0 _Ll + a+ al 1 111c l 5- - - - i - = + a+ +T + 2 = + T-an an an 4 2 2i * 1 f1Y1 + - 4 - -25 、 1 5 5 、 、 1 5H N - - I x2 之 2吮22. 力5 + 3AJ r( - 1) = 4T ) =由 (i ) 知0 82 . 3% 1 + % + 可anl anl X-i - 3 a；nl2-z综上所述，-42I加三5w + 3 13 3 . 已知数列 叫 满足q=1 , 。 , 1 =工4 2 2 ”“ ） ,（ 1）求见;（ 2）若数列 4 满足4 =；, + 1= + - V （ eN，） 求证：b 2 ) ,* ” 1一3nq a2%x x x- - -n- 1q = 1也适合.1 2所以%=（ EN*） ；/ 、八 ，1 25 , 7 I 4 25 , , 1 4 1 19 25(2) 由已知 & = 一 ， 6) = & + 1 = - bZ = b2 T7 = = ，3 12 2 1 3 12 3 2 22 3 4 12 12, , 1 1 1 1当N 3时，bn + l-bfl = - = 一一，n ( 一1) n - nEUL L “ 心、 L (L , x 19 J 1. A 1. , 1 L 25 1 25因此 6“+1=4 + 3 4 _4)+ 3 5 - ”)+ + (+ “)7 + (彳一= ) + (：-：) + , + (- _) = _12 2 3 3 4 n n 12 n 12则“ =b,+|- -n 12综上， I I .3 4 ,设等差数列 见 的前项和为S“，a=6,S5=3a5,n e N .(1)求 与 S ,；( 2 )设a = J1 + !,证明：a + b ,+ & + + 一 不 二 . 3 2 2/7 + 2【 答案】(1) % = 2 ，S=2 + ； ( 2)证明见解析.【 分析】(1)把已知用生和 表 示 后 解 得 , 然后可得通项公式和前“ 项和公式；(2 )写出，利用放缩法有6=11 + 二1 + 44M,然后求和4 + 4 +可证明不等式成立.V (/7 + 1) 2 n + )【 详解】( 1 )设等差数列 4 的公差为d .则由应 =3%得f葭。 + 2d *= 36 回 +4) ，解得f| 八= 22 二 an= 2+2(77-1)=2/7, Sn =-n-(-2- 4- -I-n-)- = n22+ n(2 )由 b = ll + J1 + -+ - =1 + - = l + -f- 1.Y n(n + 1) 丫 n(n 4-1) _2n(n + 1) J 2( + l) n + i)： +，+ + + ” , i+ 步 /1+ 翳) + , + 1+ 通篇1 1 1 1= n+ 1- =+- .2( n + ) 2 2+ 23 5 .已知数列 见 满足：at= 2 ,。e = 2勺 +2的 ， N ,.(1)求证 畀是等差数列并求加( 2 )求数列 见 的前项和S,；( 3 )求证:1+1 2 ”可得- ，从而再利用放缩法可证得结果.(H + 2. )-2. 2【 详解】( 1) 证明：三 - = 2 + ;二 _& = 空 + 1 _ & = 1,2” + i 2 2” + | 2” 2 + | 2”仔 是首项为今= 1 , 公差为1 的等差数列，. * . 柒= 1 + ( - 1) 1 = ，an = n-2 .( 2) ,.,S=1X2I+2X22 +3X23 +n-2 ,： .2S =1X22 + 2X23 + 3X24 + .n-2n+l,两式相减得:- S=2, + 22 + 23 + T - n -2+ ,S 2 ( 1 )“-一-2 . , . S=( - l ) 2n+1+ 2.( 3 ) 证明：- ： aa= n-2 , A an + 1 = (M + 1) - 2n + 1, ： . a +i-aa = (n + 2)-2 ,当时,n + 2 2, ： . (M + 2)-22+1,1 1 - - - - - - - - - - - -(n + 2)-2 2+ ,.1, 1, 1, 1 1 1 1 1 . 2), 然后作差。 用 - 4 得递推关系, 凑配后可得应 + 1 是等比数列，从而可得通项公式._ . Ill, 1 “ T 、 一( 2 ) 用放缩法求和一 + + +L + ，但前2 项不放缩.q % % %【 详解】( 1) 证明：= 2, %+ =2(5 + + l)( eN *), =2X(2 + 1 + 1) = 8时，% =2(S“_1+ ) , 相 减 可 得 :an+l-an = 2an + 2 ,即 =3% +2,变形为： +1 = 3(。 + 1) =1时也成立. . %+1 是等比数列，首项为3 , 公比为3 . %+1 = 3 ，。 二3 L11111(2) + + + =%3,-1 32-13, -11 1 一十 一 +2 811疗 +疗 +百5 1 32= - - 1 -8 2nr 1一72437.已知S是正项等比数列 对 的前项和，且邑+ 4 = %,% +4是 % ，%的等差中项.5 1一 尸 53( 1)求数列 % 的通项公式；4 1 1 1 117(2) 求证： - - - - + - - - - - + - - - - + - - - - - - - - - - H- - - - - - -一 3 % 3 c i y -j - 3 4 - 3 5【 答案】( 1) a=2n+, ( 2 ) 见解析【 分析】( 1)由题得 0 ,所以两边同时除以叫得qy-?q-2=qi-q -2 q -2 = (q + 1)q2 - 2) = ( + l ) ( r + 1) ( 9- 2) = 0 ,因为 0,所以9= 2,代入 2 ( a闻2 + 4) = 闯 + / / ,解得4 = 4 ,所以% = 2田.( 2)当 = 1, 2时不等式显然成立；, , 1 1 2 - 3 I_ 1_ 当 时 ，_3 - 2, , + , - 3 -( 2n + I- 3 ) ( 2n- 3 ) 2 - 3 - 2W + 1 - 3 1 1 1 1 1所以- - -r +- -+- + + - T4 Ta 3 a3-3 4_13 an-31 1 1 1 1 1 1 1 -H-1 -1 -1 - 1 -1 5 23 - 3 24- 3 24- 3 25 - 3 2- 3 2向 -3t1 1 1 75 5 2向 -3 5综合得原不等式成立.3 8.已知数列 4 满足4 = 1 ,前项和S“ 满足2S“ = 2 + , 也 是正项等比数列，且伪=1也 是q和 % 的 等比中项.( 1)求数列 , 和 也 的通项公式；1 1 1 1 5( 2)求证： - - - + - - - -+ - - - - - + , , + - - - - - - 0 , ;. 夕=2, =2 ，( 2 ) 证明：由题意得T = _ a “ +b “ + 2 21 1 1 1-+ -H - 1 - , + -% + 4 a2 +h2 a3 + Z ?3 a n+hn1 111 1 J 2 + 1.【 答案】( I ) % =2 + l ( e N + ) ； / 上 : ；( 3 ) 证明见解析.41+ 4【 分析】( 1 ) 利用递推公式，结合累加法即可容易求得通项公式；( 2 ) 根 据 ( 1 ) 中所求，结合裂项求和法即可容易求得S“ ；( 3 ) 利 用 ( 1 ) 中所求，即可求得4 ，以及北，对刀， 进行放缩，即可容易求得.【 详解】8% 一%X 1 / 匕 i - a ： =8 ,n* =( 心41) + ( 。 3 + + =8 ( - 1) + ( - 2) + + 1 + 1= (2M- 1) ,an =2/ 7- 1( / ? 2) ,当 =1时，4 = 2x1- 1 = 1也适合,:.a” =2/7 + 1(/IGN+).所以北二6 2 2 。 3 , ；%2n2/7-12 4 67 , 3 5令4 券 ”，所以7 4=2 + 1,2 4 6 2因为兴宇1 ,所以Z , ( ,2n- 1 2n所以2 + 1 = 4 % 。 2 + 1 .4 0 . 已知数列 见 的前项和为S , , 且 S“ = ； % + % - 1.( 1 ) 求数列 对 的通项公式; 若 数 列 息 的 前 项 和 为 I,证明：7； |.【 答案】( 1) a , , = + l ( e M ) . ( 2 ) 见解析【 分析】( 1) 令” =1求得q 的值，令 2 2 ,由5“ = ； % + 对 - 1得出5 _=；( ” -1 )%7 +3-1 ,两式相减得出告= 午，由此可得出数列 悬 为常数列，进而可求得数列 % 的通项公式；2 2 2 1 1( 2) 利用放缩法得出 h 丁 力，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所anny n-r 十/证不成立成立.【 详解】( 1 ) 当 =1 时，S = g q + 4 - l , 即q = 2 ,当时，S,- 1 ，S i =, - ，得：2 a = - (n - 1 )a _, +2an-2a , ,即加“ =( + l )a “ _1 ,，卫= 也，且 幺 =,n + n 2二数列1 - r l 是以每一项均为1 的常数列，则& = 1 ，即a “ = + l (e N*)；n + l J + 1 72 2 2 1 1( 2 ) 由 得+ * * - = ； 常 ( 、 = - - - - -, a “ ( + 1) 仆+ 2 ) n n + 21 1 1I 1 1 33 2 4 3 5 n + 2 2 / ? + 1 + 2 24 1 .已知各项为正数的数列 , 满足：勺 = 丁 ， =2 ,3,4,一 、 且名产1 .( 1 ) 证明：数 列 土 J为等差数列.( 2 )若4 证明：对一切正整数，都有4 。 2 M 二 = 7【 答案】( 1 ) 证明见解析.(2 )证明见解析.【 分析】( 1 )根据所给递推公式，将式子变形，即可由等差数列定义证明数列1J为等差数列.( 2 ) 根 据 数 列 为 等 差 数 列 ，结合等差数列通项公式求法求得通项公式，并变形后令， = 匚 + 1 .由求得f 的取值范围，即可表示出。 牝”5 , 由不等式性质进行放缩，求得(。 的 必 。 2 了后，即可证明不等式成立.【 详解】( 1 ) 证明：各项为正数的数列 风 满足： =- -幺 一0,n -2,3,4,则 % T = J-1 =2 - 峭. 1同取倒数可得-4 1ctn 1 ,“1,2” = - 1 + L -an- an- 111,所以一7 -7- 1,a“ T -i -1由等差数列定义可知数列为等差数列.( 2 ) 证明： 由(1 ) 可知数列人为等差数列则数列是以二T 为首项，以d = - l 为公差的等差数列.% -lJ i-l则 7 = -I7+ (T )X(T) = T+ 1_,a,T !-1 q-1因为 ,所以 f = 7 + k T，l),4 一 则 一 = ，勺 - 1所er-以(,1 a” = ,H -1- -= 1. -1- - - -n-t- - -t-n n -t n -t所以 % % 。2” -1-I 2 -t 4-Z ln - 2 - t= -X - X - X X -,- t 3 -t 5 -t 2 n -t所以( q q %的,)-t -I 2 -t 2 -t 4-Z 4-Z 2 n -2 -t 2 n -2 -t= X X - X - X - X -x X -X -l- t - t 3 -t 3 -t 5 -t 5 -t 2 n -t 2 n -t由不等式性质可知，若0 a b ,则?智总成立，b 6 + 1E h -t 1 - 2-Z 3 -t 2 n -2 -t 2/7-1-Z因而； 一 - - - - - : - - - - - ，1 / 2 z 3 / 4 z 2n t 2n t所 以( qqq-t -l 2 -t 2-t 4- Z 4 T 2n-2-t 2n 2 T-x - X - X - X - X - x X -X -l-t -t 3-t 3-t 5-t 5-t 2 n -l-t 2 n -t t l t 2 t 3 t 2n 2 t 2n-i t - X - X - X - X -X -t 2 -t 3-t 4 -t 2 n -t 2n-t-t 1= - - - - - - - - - - -2n-t 2 + l所以 q q 下不等式得证.4 2 .已知数列 。 满 足 ： /= ；, 见 + | = 浸 （ %） .（ I ）求 证 ：数 列 J + 1 是等比数列；d i ）设 % 的前项和为S , ,求 证5 , 3 .【 答 案 】（ I ）证明见解析；（ I I ）证明见解析.【 分 析 】+1（ I ）证 明 出4 f为非零常数，即可得出结论； +1an（ I I ）利 用（ I ）中的结论，确 定 数 列1 , + 1 1的首项和公比，求出该数列的通项公式，进而得出 。 “ = 吉利用放缩法得出% = - 。 击（ 之2 ） ,然后分 =1和 2 2两种情况证明不等式S ” 2 ，由此可得出3 1 o 3 1 6结论.【 详 解 】(I)工+10+1 +1an3 + 2Q” i- - - - - + 1 +1an因此，数 列1 + 1是等比数列;（ I I ）- - + 1 = 3 ,所 以 ，数 列J - L + 4是 以3为首项，以3为公比的等比数歹U,.，+ 1 = 3X3T =3, .“ = 一,* 3- l当 =1 时，S ,2 1 o山 a _ 1 _ 1 _ 1 v 1 1 1 之 2 时，一 3_i I 9 S - 2 _ 一 8s ,- 2 +(3,- 2 _)- 1 3， - 2 ,1 1 1 1 1 1 f 1 1 1 )s , = 讨+ 仃+ 门+ + 771用 +或 于 +可 + 尹 11 1 1 1 3(, 1) 1 3 1 1= + - - - - - = F 1 - F = 2 8 . 1 2 1 6 1 3刃 2 1 6 1 61 - -3综上所述，对任意的 N* , S ? .4 3 . 记其 为等差数列 “ 的前项和, 。 3 = 5 , a ? = 1 3 .（ 1 ）求 和 50 ；, 1 1 1 7 1（ 2 ）当2 2时，证明：三 + 丁 + + 不 4 了- - S S2 S 4 n【 答案】（ 1 ）a = 2n- , $ （ q+4， ） =2 ； ；（ 2 ）证明见解析.2【 分析】（ 1 ）根据。 3=5 , % = 13 , 利用“ ,d” 法求解., 1 1 1 1 1( 2 ) 由 ( 1 ) 知，S , , = - , 5 J I J = -7尸 = 7 再利用数列求和证明.nSn n nn-) n- n【 详解】（ l ）设公差为dq + 2 d = 5% + 6d = 1 3解得% =1d = 2所以。 “ =2 - 1 ,s .=3n 2 = n则21 1 1 1 1当九2 时，而 用 = 力 一 7 ,所以当加3时,1 7 1=i+14-4 2 4 当 = 2时， +白 =321 +- =5 7 14 4 4 2 .综上所述，原命题成立.4 4 . 已知正项数列 。 “ 满足 =1 , 4a ； +2 a , e N*).（ 1）证明：数列 6,+1 是等比数列；1 1 1 1 2/（ 2）证明：一 + + + + 0, ： ,a , +2an 0 :. an+l-2a = 1, BR t z +1 = 2a + ,则有4 +i +1 2凡 +2% + 1 Z + l= 2 且 q+l = 2 ,. 数列 4 ,+1 是以2为首项，以2为公比的等比数歹U ；(2 )由(1 )得a . +l = 2 ,I14 5 .已知数列 4 的前 项和记为S“，且满足、4、S,成等差数列.( I ) 求卬，4 的值，并证明：数列 + 1 是等比数列；( I I ) 证明：2 生 +& +幺+. . . + 皿 2 + 2 .q a2 a3 a【 答案】(1)q=1，% =3：见 解 析 ( II) 见解析【 分析】( I ) 先根据已知条件把1, 2 代入，即可求出前两项，再根据 、对 、5“成等差数列，得到一个新等式，两个相结合即可证明结论.( II ) 根据第一问的结论得到数列 , 的通项，对通项进行适当的放缩即可证明.【 详解】解：(I ) 由已知、% 、S,成等差数列，可得2a“ = $ ,+ ； . . 令 = 1 ,可得 = 1 ,令 n = 2 , 可得 2a2 = S2 + 2 , a2 = 3 2a_ , =5-1+(-1)(2). - 得 ：2an- 2a,i = + 1 , 即 % = 2a,. +1 ；二% + 1 = 2( 1 + 1), (N2) ；有= 1 , 可得q + l = 2.数列 &+1 是以2 为首项，2 为公比的等比数列.( I I ) 由( I )a + l = 2, :.a = r - .a+. 2n+ l- l 2-2-2 + l 、 1 、= = 2+- 2a 2 -l-2,- l-2 -l. 刍+ 2 + ”+.也 2+ 2+ 2+.+ 2= 2n% a2 a3 an2-2-2 + l 、 1c 1- = 2 H -= 2 4 -：-：2 一 1 2-1 2/,-1+2n -,-12 + 卜 卜 系 . +奈 卜 2+42+ 击2” 幺 + 幺+ 幺 +& 2 + 2i 2 ai a“4 6 .给定数列 。 “ , 若 满 足 伍 0且 。 *1 ),且对于任意的见 e N * ,都有金,“ = %,q, 则称数列 图为“ 指数型数列” .（ 1）已知数列 。 “ 的 通 项 公 式 %=4 ,证 明 ： % 为“ 指数型数列” ；（ 2）若 数 列 & 满 足 ：4 = ；，。 “ =24/,+1+3。 “ %* ） ； 判 断 数 列 5 + 1 是否为“ 指数型数列” ，若是给出证明，若不是说明理由； 若 数 列 , 的前项和为S”，证 明 ：【 答 案 】（ 1）证明见解析；（ 2）数列”是 指数型数列” ， 证明见解析；证明见解析【 分 析 】（ 1）利用“ 指数型数列” 的定义即可证明 q 是指数型数列；（ 2） 数 列 ， + 是“ 指数型数列“ ，证明_L + j_ L + = 3 3 = 3+” = （ 一 +1即得证； 先 由 题 得 见 =工w ； 3，再利用等比数列的求和八 n+m 7 3 - 1 2 3公式即得解证.【 详 解 】（ 1）解 ：对 于 数 列 “ , ，任 意机,a,心=4 =4 4 =册4，所 以 叫 是 指数型数列.（ 2）数列是“ 指数型数列” ， 证明如下：c 、 1 3 c 1 , / 1a” = 2 6。 ” +1+3a + ，n -= + 2 n + 1 = 3 + 1 ，% + 】 4 勺+ 1 ；所以数列 ,， + 4是等比数列， + 1 = | - + 1 x3,-1= 3 an J an a ）， + 1， + 1 = 33=3+=（ - + , 故数列 ， + l 是 指数型数列” .由可得， = 甘5； - 1 Z D1 1 1 13 1 3 T -（ + - + +t +_）=- （ 1 -F） .47 .已知数列 % 中， ,= 1 ,其前项的和为S“，且当 W2时，满 足 = 恐T（ 1）求证：数 列 是 等 差 数 列 ;（ 2）证明：S； + S； + + S： :.【 答案】（ 1）证明见解析；（ 2）证明见解析【 分析】s21 1（ 1）当2时，SS j =r=SS j= S S j （ 3 2 ） ,取倒数，可得不 一 丁 = 1 ,利用等差数列3 T ，的定义即可证得：数列 , 是等差数列；（ 2）利用S； = 4 -4 = U- - 二 进行放缩并裂项求和即可证明【 详解】（ 1）当22 时, S：=广,3 一1S“S”=S“ S,_,即从而 告 构成以1为首项，1为公差的等差数列.3”（ 2）由（ 1）可知，y = y +(n-l)xl = n, :.Sn=.n则当 2 2时 氏 $ 看 =；故当 22 时 S； + S； + S； =1+；.1 1 11 H -2 n 132 2 477又当 =1时，S： =1满足题意，故s： + M + s： ；.法二：贝 !J当 22 时S； =-y - = -n n n n - 1 n那么 s； + S； + S； + ； +7 _ 74 /7 47 7又当3时，s： = y,当时，$ ： =匕 满 足题意.48 .已知函数/ （ x） = T- ,数列 叫 中 ，若 =/（ ,） ，且3 - 2x4（ 1）求证：数 列 是 等 比 数 列 ；（ 2）设数列 对 的前项和为斗，求证：5 p【 答案】（）见解析；（2）见解析【 分析】（1）将= f （ % ） 代入到函数表达式中，得知M = 卢 一5 一孙，两边都倒过来，即 可 证 明 数 列 是 等 比 数列:（2）由（I ）得出斯的通项公式，然后根据不等 式 士 在求和时进行放缩法的应用，再根据等比数列求和公式进行计算，即可证出.【 详解】（I）由函数 x） = 31，在数列 4 中，若 = 4 ） ,得：a +l=- -3-2x 5-l a i1 3 2。 3上式两边都倒过来，可得：一=-2,。 用 册 an； 数列是以3 为首项，3 为公比的等比数列.( 2 ) 由(1 ) , 可知： -1 =3H, an= , /?GN*.% 3” +1 . 当 6N*时，不等 式 士 成立. 1 1 1 1 1 1 3 I 3 J 1 1 1 1 5 = 4+。 2+。 ? = - 1 ;- F . H - V -3+l 32 + 1 3 + 1 31 32 3 , 1 2 2 3 21-3 SM1 - .24 9 .设S,为数列 6,的前项和，S. = 2a ” - n g N， ） .( 1 )求证：数列 % +1 是等比数列；,111 1 c(2) 求证：I- 一 + +L + - 2 .2 4 a . a 【 答案】（ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析.【 分析】（ 1 ）令， ? = 1 ,由q =E求出生的值，再令22,由 = 2氏-得5 “ _ = 2 4 ,1 -（ -1 ） ,将两式相减并整理得a , , = 2a _ ,+l ,计 算 出 为 非 零 常 数 可 证 明 出 数 列 % +1 ）为等比数列；（ 2 ）由（ 1 ）得出4 , + 1 = 2 ,可 得 出 %= 不 二 ，利用放缩法得出白，利用等比数列求和公式分别求出数列 和 击 的前项和，从而可证明出所证不等式成立.【 详解】（ 1）当 = 1 时，q= S = 2 q-l ,解得q = l ；当 2 2 时，由 S “ = 2 % - 得 = 2 %_ | -( -1 ) ，上述两式相减得 = 5 -S _ , = 2 a -2 - 1 ,整理得a = 2 a“ 一 + 1 .所以，数列 “ ,+1 是首项为2,公比为2的等比数列;(2 )由(1 )可知a ,+l = 2 x 2 T = 2 ,贝1 1 1u因 为J a=- ,n2 -1 T所以1 二1 TL +1 1 + 尹1 TL + L2n 2 .1 1又因为不乃1 , 1=- - -, 一 _ , 1 - , -1 ,所以一1 + 1 +LT +1 1 +-1 +LT H 1 c l er= 2 - 7 2 以 g % 2 2 i .1 1 1 1 T 1r综上，1- + + L + 2 .2 ） a2 an5 0 .已知数列 。 , , 中，4=2,其前项和夕满足:S. = 2a “ +-3.（ I ）求数列也, 的通项公式；（ I I ）令二J 八, 数 列 色 的 前 项 和 为 证 明 ：对于任意的 W N ” ,都有?； ：.【 答案】（I ）a = 2-+l （ 1 1 ）见解析【 分析】（I ）由S “ =24+” 3 ,可得% - 1 = 2 （ 如 - 1 ） ,即数 列 也 一 1 时 以 1 为首项公比为2的等比数列，即可求I解（ 】 【 地 = 房 不 = 有 白 而 m = 击 （ 刀, 当心时1 - -4当 = 1 时, 即有【 详解】（I ）由 S , = 2 % + - 3 , 于是，当 2 时= S , - S , T = 2 % - 2 a “ _ 1 + 1 ,即 a = 2 a . , - l ,0- 1 = 2 （ % - 1 ） , ： q- l = l , 数列也一1 为等比数列,a - = 2 -,即 % = 2 T + l., 1 I 1 1 ,9（ I ） b ” =- - - - - - - - =- - - :- - -:- - - - - - :- - - - r =- -r （ 7 7 2 ）%（ a “ T） 2 T（ 2 T+1 ） 2f 2 i 4n- ,z1 T li 1 1 1 4 1 1 5当2 2 时 , 北5+4+不 + + 布 5 + j r = 5 + = =1 - -4当= 1 时，工 = : 。 显然成立,2 0综上，对于任意的 wN ,都有7 ； 二 .6s i . 已 知 数 列 的 各 项 均 不 为 零 . 设 数 列 的 前 项 和 为 S , , 数列 的前“ 项和为4，且S ； + 4 S “ - 34 = 0 , neN * .（I ）求 外 , 生的值；（ H）证明数列 % 是等比数列，并求也, 的通项公式；1 1 1（ ni ）证明：一?+ ： + + ： 2 .勾 一 1 a2 - 1 一 1【 答案】（1）2 , 4 ； （ I I ）证明见解析，a = 2 ； （ I I I ）证明见解析.【 分析】（I ） 直接给n 赋值求出q , 的值； （ I I ） 利用项和公式化简S ： +4S-3Tn = 0 , 再利用定义法证明数列 %是等比数列，即得等比数列 4 , 的通项公式；（ HD 由 （ I I ）知一7 后，再利用等比数列求和证C ln 1 Z 1 2明不等式.【 详解】( I ) ; S；+4S“ - 3% , = 0 , 令凡= 1 , 得a：+4aI-3q2 = 0 , / a, * 0 , a, = 2 ；令 =2 , 得(2 + a? )2 + 4(2 + a?) 3(4 + a， )= 0 , 即 2a, + 8%=0 , : % w 0， = 4 .证明：(II) ,5；+4S-37；= 0)S；M+4S,M 37；,M= 0 , - 得： +i + S M 川 + 4a+l - 3 a l = 0 -: a“ + 产 0 , .+ i + S“)+ 4 - 3a,* = 0 ,从而当” 2 时，+ S ,i)+4-3a“ = 0 ,- 得：(。 用 + % ) - 3。 , + 1 + 3% =0 , 即 a“M=2a，an0 , = 2 .a“又 由 ( I ) 知，a, = 2 ,% = 4 , .= 2 .a.数列S J 是以2 为首项, 以2 为公比的等比数列, 则4 = 2x21=2.1 1(I I I ) 由 ( I I ) 知- - - 7 = k T，-1 2 -1因为当2 1 时，2-122” |，所以吩匕4 击 .于是 一 + 一 + _ + _ ! _ 1+ L+-+ -= 2(1- L) 2a2- a - 2 2 1 25 2 .数列数“ 前项和为邪, 已知卬= 2 ,3 =-2 2 + 2.( 1 ) 求数列但“ 的通项公式； 1 I 1 11( 2 ) 证明一 + + + 一 .% a2 an 18【 答案】(1)% =4-2 ； ( 2 ) 证明见详解.【 分析】(1)由已知结合4 = S , - S i可得a,“ -4% =2”，变形 得 知 一 绘 = pl , 利用叠加法可求a”4 4 I 2 J, 1 1 1(2)由 =4-2 可得- - - 4a .1 1 1- - 4 an -所以1 T li 1 1 1 T li 1 1 7 1 17 J 1 q 4 - 2 2 1 8 - q a2 4 - 2 4 - 2 1 2 1 8111 1当之3时,7 ； J + + + q % 4 g %71=-1 -1 2 43 -7 1 1可得/( 仃 -荷 -福7 1 1 1 11 2 - 8 - 4 （ 4Z,- 2N） 2 4 j所以1 o_ 1 1 1 1 1所以 + - + + -% a2 an 185 3 .已知数列 / 满足4 =。，/S+| =2(S“ + * ) + 。 ； ，e N *.(1)若 % 为不恒力0 的等差数列，求 ；(2)若 = ；,证明：a - - 不 + +广 ， 利a向 an a . a , 用并项相加可以得到”, 0 , . _。 ” = 与 0,n.4 ,1 1 1两端同时除以 4+1,得：一 4向. J _ _ _1 _ _ J_ T .% 4 _1_ _ _ _1 、 _ _ _ _ _1_ 4 %( I L叠力口得：- - - - -% %11 _ j_2 ( 一 1) W-1 nX V 14- 1 -1 - H5 - 1 ) 2 ( 1x2 2x3-(n -2)(/j-l 5 4 .数列& 的前项和为% 且满足q = l, % = S .+ l(e N j.( I ) 求通项公式;(n)记 1 =：+ + + !，求证：l - -Tn 2 ) ,又 Y? = E + 1 = 2 ,.a ? = 2 q ,数列 % 是首项为1,公比为2的等比数列，证明：( I I )v a + 1= 2B,. 2= 2 -1，2时，击，M +L . . . + J +U认iE $ 2 S ” 1 - 1 2 2 7同理：7； 1 + -3 1故：2 V T 25 5 .已知正项数列 % ; 满足=a -a 2(n e N *).( 1 ) 求证： 0 q , 0, 解 得 用 数 学 归 纳 法 证 明 即 可 , 记 f =ln （ 急x 0 , 求导，利用导数判定单调性，再利用放缩法即可证明.【 详解】证明：（ 1 ）由4 - 吊 = %0 ，解得0%1 .卜用数学归纳法证明：当 W 2 时，a 0)当x 0 时，/ ( = 占 -7 7 7 = 7 7 1 + X (1 + X ) (1 + 可所以“ X ） 在（ 0, +8 ） 上是增函数，则/（ x ） /（ 0） = 0 ,即ln（ l + x ） WA1 / . , r* ,1 , z + 2 / +1vx = (zeAf), 则 币 山7 7 T 卜 了 ,从而有名对 ln22=2- 1, 儿=3，或 a= I+ 5 1)-(-5)=65, bn= (-4 )n.(2)证明：因为a“eN -,banbqan q (n qn lw,ba a” 所 以 就 = * = =9, 即 /= 3 2 .由(1 ) , 知式2 + d )= 1 2 ,即 .因为 a i= l, “G N + ,所以 1GN.根据，知 g l且 g 为正整数.所以可为0 或 1或 2 或 4.但同时满足两个等式的只有4=2, 4=3,所以 a = 2 n -l, S= (1 + 2 T )= 共所岐十21(-+ 2(2).当2 2 时,11 , 1 1 1 1 7 1 1 72 2 n n+) 4 2 2 ( + 1 ) 4显然，当 = 1时上式也成立. 1 1 1 7故W N + ，Fs + Ts+2 . + TS V T4.5 7 .已知数列包 , %= 1,二次 函 数 / ( 力 = / + ( 2 - - % 卜 的对称轴为x = ；.(1 )证明：数列 2 % 是等差数列，并求 , 的通项公式;n2( 2 ) 设 =一一1 , 求证: 且+ % + .包 3 b2 b3 b +1 2 -【 答案】( 1 ) %= 券( 2 ) 见解析【 分析】2 一 ” 一(1 )先由题得 , 12 镇 ”_ 1=2 ,再利用等差数列的定义证明数列 2 % 是等差数列，并求 4 的通项公bk 2A 1 1 1 1 b、 b、 hn n式 . / =目=5一迎刁 5先证明亡 5 因 为bt _ 2 * - 1 _ 1 1 _ 1 1 、1 1 1 _ n 1 b、 b2 bn 2 *+ l- l - 2 -2(2A+1-1 ) 32 * + 2 * - 2 2不 ，再狂明 V I (及 + 及 + 成，【 详解】2 一 1 1 1由已知得一工整理得。 用 = 3 /+ ，z 一 a ” Z Z左右同时乘以2 向得，2 % , 1 =2 % “ + 2 ,所以 2 % , , 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2 % “ =2 ,所以4 ， = 券(2 ) bn= 2 -bk _ 2A -1 _ 1 1 1 b1 b2 bn n相 ； = 齐 匚 1 = 工一1 严可， ，k =l , 2 , n ；所以及+ + 不bk 2 一 1 _ J J 乂因为石二 一 2 川 一 一 万 一 2 (2 2 一1 ) 32 * + 2 - 2 - 5 3 P*“ 1 4 n ( 1 n i f , 1 n 1所 以 1 - F , , - N - * P - r+ + = - 1- h2 h, b “ q 2 3(2 22 2 J 2 31 2 J 2 3 5 8 . 已知数列 。 0 的前w 项和S “ 满足：2Sn= -a .( 1 )数列 对 的通项公式；( 2 ) 设-一善工，且数列也 的前项和为4,求证：T.【 答案】(1 ) % = ： () =( ， e N ；( 2 ) 见解析.【 解析】试题分析：(1)结合通项公式与前n项和的关系可得数列 % 是首项为 :，公比也为; 的等比数列，则(2)指数裂项求和放缩可得，= -L- - - J 据此裂项求和可得j + 1 3 - I 3 3据此即可证得题中的结论.试题解析：(1 ) 解：当 7 7 = 1 时， 2 c当2 2 时，an= Sn-Sn_x所以数列 % 是首项 为 :所卬山日扪( 2 ) 证明：一 一1 + %由 一 仁 _-L3 + 1 3 3向 - 1/ 3向 所以也， = 中 . 1 ” :J + 1 J I所以1 = + 与 + ( 1 =1- 0 ,所以q = g ,a 1,即 2。 “ =- a“ + &_ , 3a“ = 。 ,1 ， ,an - J,公比也 为 : 的等比数列， e N * .1 1见 川 =31 3前=1 1 _1_ _ 5 _ _ 3+ 1 3+ |- 1 ,【 十3 11 1厂产 7+(+ . . . + (1 _ 4 1一1 _、 3 32J U2 3 J (3 3 7 3 3 ” .因为 一 击 0 ，所以即北；.5 9 . 已知数列 % 满足q =g , a+ la- 2a+ 1+ 1=0 , nwN* ( 1 ) 求证：数列 是等差数列；勺 - 1( 2) 求证:n2 a, a, a, a- - - - -+-+-. + s - aln所以两 6分a. / ( / + 2) i2 + 2i一方面，- - - -=/ . 八2 = . 2 二.口(z +1) i + 2/ + 11 7 分+ - 1 - n =1 -T + T - 711 分aM (/ + 1) i + 2/ + 1 (z + 1) z( + l ) i J + l. . . 幺 + 幺 + - - f i - -V G - - + - 1+ + f 1 !1 - 1 + f i - - + a2 a3 * I 1 2八 2 3) I - 1 n J I n n + 1J1 2= n- - - -= - - - - 13 yrn+ + 12故不等式一 幺 + + & / ? 成 立 . 1 4 分w + 1 a 2 % 限iq _1 _ 26 0 .数列 。 “ 满足 q + 2a2 h = 4 - n , n e N * （ 1）求4的值；（ 2）求数列 对 的通项公式；（ 3）设，=l + bg a” ，求证：/ + ： + , + .2A 瓦 b 4【 答案】（ 1）% = ；（ 2） % = 击；（ 3）证明见解析.【 解析】试题分析：（ 1）分别令 =1, = 2, = 3可得生；（ 2）借助题设条件运用数列的递推关系求解；（ 3）借助题设运用放缩法和不等式的性质推证.试题解析:(1 ) 令 = 1 ,得q= l；令 = 2 ,有q + 2/ = 2 ,得。 2 二；令 ? ? = 3 , 有 q + 2a2 + 3% = ? ，得 % =； + 2(2) * . * + 2a2 + + nan = 4 丁 , (1)式n -4- 1所以，当N 2 时，a1 + 2a2 + - - - + (w- l ) az, _1 = 4 - - y , ( 2 ) 式ka w c 日 + 1 + 2 n两式相减得： 。 =产一工k = 河1Qn = 萍当力=1时，q = 1 也适 合 % = ，7% = 击Se N)当 = 1时,7= 1 2 时,1=7nn - 1) n - 1 n1 11 1r+ r +b ； b 4 L + 1- ) = i + -y (3) 4 = l + l o g M = l + l o g | 白= ，2 2 3 22 Q 1 06 1 .设数列 % 的前项和为S , . 已知q= l,- = %+ 彳/ 一一 川.n 3 3b ； b ；片 2 3 n -I n 4 2 4 41 11 7综合可得: T - Hz- + HTV -b ； 铸 b ,1, 4 -( I )求的的值;(I I )求 数 列 4 , 的通项公式；1 I I 7(I D )证明: 对一切正整数， 有 一 + + + ”囚 2 4 4【 答 案 】(I ) 4 (0 ) a = n2 (I I I )见解析【 详 解 】I 2(I )依题意,2，=。2- - 1- ,又5 =4 =1,所 以 。2=4 ;1 2(I I )当22 时, 25 , =4用 - / - -n,1 , ,225 =(n- l ) a- - (n- 1)1 2两式相减得2。 “ =。 什 | - 3n + l ) - (2 - l ) - -整理得( +1”“ =。 用一( + 1) ,即玛_% =1,又 会 _ ? = 1+ 1 n 2 1故数列是首项 为 ;=1,公 差 为1的等差数列,所以 = 1 +( 1) x1 =， 所以 4 = /n5 74 4 (111)当 “ =1 时, = 1= ；当 =2 时, 工 + - =1 + =a 4 a a2 41 1 1 1 1当 23 时 , 一 = 二 此时1q4-F 4 -4 %= 1+I 1丁 承 录 + k1+ 4T +J 1- 4 n1117 1 7= 1 T - - - 1 - - - - - = - - - - - -4 2 4 n 4综 匕 对 切 正 整 数 ， 有 + a 电1 7+ 一 -% 4 ,为等差 直 接 将n换 为2代入递推式求解；(2)借 助 勺=S “( 2 2)进行递推转化，进而构造数列数列是解题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力. 借助放缩法进行证明，放缩的关键是1 1 = T册 1 1( 一 H 1 n6 2 .已知函数/ (x) =言 丁 数 列 6 满 足q= ；, + : =/ ( ) , nw N ,.( 1)求 证 ： a+, 一1 1 .4 2y/2-2 8 ，+禺6 3 .已知数列 % 满足川3叱+ 11 + 1 1 + % .a+ 4a+ i（ I ）若方程/ （ x） = x的解称为函数尸外0的不动点， 求诙+1=（。 ） 的不动点的值;( I I )若 = 2抱, = 苦I ，求证：数列 1血 是等比数列，并求数列 瓦 的通项.( I I I )当任意 e N” 时，求证：+b2+b+. . . + bn 0 ,则 I nbn+l= 3 I nb ,6一1 1又b = - = -t 得I n 4 =- l n 3 .+1 3故数列 I n。 是以- l n 3为首项，3为公比的等比数列.I n =( - l n 3 ) .3 T 叫、.从而b “ =( H I )对于任意e N * , 3 i从而 +& + 4+ + 2 ； + & + 图 + + () =3 ： ； )=g；.- 364 .数列 斯 满足臼= 1 , 即+i = 3an + 2n.(1 )求证数列 an + 2 ， 是等比数列;(2)证明：对一切正整数71,有 工 +工 +.+! 3Ql Q2 Qn 2【 答案】( 1 ) 证明见解析；( 2 ) 证明见解析.【 解析】试题分析:( 1 ) 可在递推式即+1 = 3an + 2 n 的两边同时加上2 +】 可得% +i + 2 H 1 = 3(0n + 2 ) , 由等比数列堂空=3.的定义可得 + 2” 证得 册 + 2 ” 是以3等比数列的等比数列： ( 2 ) 根据( 1 ) 求得 册 的通项公式册=3 ” - 2 ” 同时放缩为3 , - 2? 12 ( 7 1 2 2 ) , 所以工 W ( n 2 2 ) , 对 求 和 即 可 .0nz 2试题解析：由册+1 = 3 册 + 2 n 有产$1 + 2川=3(4 + 2&),又 为 + 2 = 3,所 以 口 + 2.是以3位首项, 3 为公比的等比数列( 2 ) 由( 1 ) 知 a或 二？ *1- 21 1又 3a 2a2a(N2),.1 1 1 1 1 1 , 11 1 3 flY 34 a2 4 1 32-22 3 -2 22 23 2 2 _2J 265 .已知数列 4 满足条件：4 = / , 。 , 田=2 勺 +1(1 )判断数列 4 + 1 是否为等比数列；=1(2 )若 f = l ,令 c “ =-3 = k， J- n证明 1【 答案】( 1 ) 当f = - l 时， , +1 不是等比数列当f W - 1 时， 6 , +1 是等比数列；( 2 ) 证明见解析.【 分析】( 1 ) 由题意得。 向 +1 =2 勺 +2 = 2 伍, +1 ) ,讨论f = - l , f H - 1 两种情况，利用等比数列的定义可得结论；( 2 ) 由( 1 ) 知七 =2 - 1 ,2 2 1 1 1 1可得c “ =R=0 n = 再 丁 点1 = 1 一 I，根据裂项相消法求和，再由放缩法可得结论.aal t+ ( 2 T ) ( 2 T ) 2 T L T % % +i【 详解】( 1 ) 由题意得 +1 = 2 。 +2 = 24 + 1 )乂。 + 1 = 1 + 1所以，当f = T 时， % + 1 不是等比数列当t声- 1 时， 4 + 1 是以r + 1 为首项，2为公比的等比数列.( 2 ) 由( 1 ) 知 ? =2 - 1 ,_ 2 ： _ 2 1 _ = J _ _ _ _1 _i d C ( 2 - 1 ) ( 2 ， ) = 2n- l 2 ，一 丁 丁m +g + q+ +c “ =( l - ； ) (丹卜.+L 白=1 一七 16 6 . 已知数列 “ 中，4 =4 , % = 3%- 2 ( 3 2 )( 1 )求数列 6 , 的通项公式;“1 1( 2 )证明：a ,F ai 2【 答案】 % =3 +1 ( 2 ) 详见解析【 分析】( 1 ) 本题可通过。 “ = 3%-2得出q T = 3(%T),然后根据4 - 1 = 3以及等比数列的定义即可得出数列( - 1 ) 的通项公式，最后根据数列 对- 1 的通项公式即可得出结果；( 2) 本题可通过放缩法 将 击 + * + + 6 转化 为 :+ ? + +,再通过等比数列前” 项和公式即可得出结果.【 详解】( 1) 因 为 = 3 %-2 ，所以a , T = 3a , , _ 1- 3 = 3( a , i T), :=3 ,an 1因为4- 1 = 3 ,所以数列 % - 1 是以3 为首项、3 为公比的等比数列，所以7 =3 3 T , a =3 + l.1 1 1 1/1 1( 2) 由( 1) 可知a 1 = 力+= + 不+ 运+ + 广/=1 ai 3+ 1 3 + 1 3 +1 3 3 313( 1一4 一 1 1,1- 1 2 2 3 2“1 1所以云 7成立.i = aj 26 7 .已知数列 % 满足：1 % 是公差为1的等差数列，且” ,用 =史 工 勺 +1 .I n J n( 1)求数列 对 的通项公式为;( 2)设4 = / ( ) ,求证:4 + 6 , H - - - -bn n-.【 答案】a* / ； ( 2)证明见解析.【 分析】( 1)由于 乌4是公差为1的等差数列，可得巴号一冬=1，乂。 用 =巴2 %+ L化简可求数列 的通项公 J + 1 n式%:(2)味= 左 2 H + bn 4 2( 1 + , 2 1 + y /3 V2 + + j n J” 1)2 - 1.6 8 .已知正项数列 叫 满 足 ：疯-向7 = 1, ( nN n，2) ,且 为 =4.( 1)求 对 的通项公式；( 2)求证+ + ( nGN*)4 a , a 【 答案】( 1) a “ = ( n+ 1) % ( 2)见解析【 解析】【 分析】( 1) 由等差数列的定义可知数列 瓦 是首项是2 , 公差为1 的等差数列，从而求 出 疯 的通项公式，即可求出 a j的通项公式；1 1 1 1 1 1 1 1( 2 ) 根据一=方工7 不(刖工 一 /二 ，代入+ + “ 一 ，可证得不等式成立.ak ( 2+ 1) k(k + ) k k+ a a2 an【 详解】( 1 ) 已知正项数列 4” 满足：y -苑 7 = 1，( nS N , n N 2 ) , 且 % =4.得数列 阮 是首项是2 ,公差为1 的等差数列，阮= 2 + ( - l) x l = + la = ( n+ 1)( 2) 证明:1 _ 1 1 I_ _ _ _ l_Z -( 左 + 1) 2 k(k+) k k + 1 1 1 1 1 1- 1VI -1 - + =1 + 1112 2 3 nn + 6 9. 已知等差数列 。 , , 的各项均为正数，%= 3 ,前 n 项和为S . , 也 是等比数列，a=1 ,且 b z & =6 4, b3S3=96 0 .( 1) 求数列 见 与 也 的通项公式；1 1 1 3( 2 ) 求证：三 +9 + 不 0 ) , 等比数列也 的公比为q , _ _ 6眩 A十S 2 =日 q ( 69 + + d 3)小 = 6 49 6 0 , 解 虱(d = 82 或工 5( 舍)”3所以4 =3+ 2 ( n - 1) =2n+ l, bn =8!( 2)因为和=3+ 5 + + ( 2n+ l) =n ( n+ 2)1 1 1111 1所以 + + + = - -+- - - - - F -F + -I S S2 1x 3 2x 4 3x 5 n(n + 2) 21 1 1 3故彳+ 不 + + 不 , + 2an( 1)求数列 叫的前项和S “ ； j _ _ _ T( 2)记 = + +F + + 不 ，证明：+ l - 1 U .【 答案】( 1) S , , y /n( 2)证明见解析【 分析】 根 据4 = S “ - S i ，整理后S ： - S , =l,根据等差数列的性质可知 优 是首项为1,公差为1的等差数列( 2)先对， 进行放缩，然后利用分母有理化进行裂项后求和.( 1)解：由题意得：等式两边同乘 2 - ,得 25 ： - 25 “ . Sa _ = S： + S；2S” . 5 _ , + 1整理得= 由,得S ： = l ,即 S ： 是首项为1,公差为1的等差数列s； = ，Stt=y/n ；(2)1 _ 1 _ 2 2 2 TTX FT 历# + 薪+所= 2 1 + A/3 /2 + /4 5/3 H-F +1 2 +1 1 j 1 1 1 1 2 2 2 2E s2 S3 s 1 V2+1 G + 6 Vw-T= 2( 1 + y/2, - 1 + /3 /2, + . . . + yfn - 1) = 2./n ,T3n + 1 .an3【 答 案 】( 1)证明见解析；% =3-2； ( 2 )证明见解析.【 分 析 】 山 题 意 得 . =2+3a“，推 得 爵 + l = g修+ 1 ) ,即可证 明 仔 + 1是等比数列，然后结合等比数列的定义和通项公式即可求得结果；a 3+i - 2 + i( 2 )推 得 “ =j =箕g3 + ( | ) ,由不等式的性质和等比数列的求和公式 、数列的单调性，即可求证.【 详 解 】( 1)由点同一2)在 函 数/(x) = 3x的图象上,可 得a向=2+3”, ,所 以 & L = % + 1 , 即 餐 = 3.% + 1 ,2 2 2+| 2 2 2也 即 爵 + 1 = | 修 +1） ,由=1，所以* + 1 = |，所以 亲 + 1 是首项和公比均为| 的等比数列，则 组 +1 =闵 ,2 3所以。 “ =3” 一 2；2d所 以 ,S, 3 + | +图 + + (|) =3 + 2= 3 n + 22( 1 -3、c 4 、 23/2 + 2 = 3 + .3 32 27 2 . 已知数列。 满足q =：, 且当“ 2 2 时， 2 - -1 = - - 2 .( 1)求证：数列 J- 是等差数列，并求数列 % 的通项公式；1-4“1 2（ 2）记 （ 广万卬见勺，。 L邛 +1 + + v ，证明：当 e N , 时，a - - - -+ + + . . . +3 4 4 5 5 611,12 +2 2 23 + 3 ” + 3 3 + 3 3 +1 32所以当 6 N* 时，。 ” +1 - S .7 3 .已知数列 。 满足=一+ = 3 “.3 an+ an( 1 ) 证明：数列， 为等比数列，并求数列 “ “ 的通项公式;( 2 ) 求证：q+% +, + %1.4【 答 案 】( 1 )证明见解析；r = 3 3 ” +(一1 )1 ； ( 2)证明见解析【 分析】1 a ” +2 ( 1 鼻 +1( 1)由题得- - - - - - =- - - - - - -6向4 1 q 4I 3n+1即得数列为等比数列，再求数列 4的通项公式;( 2 )对分类讨论利用放缩法求证.【 详解】( 1 )因为工+ , =3川,为+1 an1 q ” +2 1所以- - - - - - =3/ z*1 - - - -4 an3 4 +2T所 以 数 列 -1- - -3-,二+ 是 以 士3为 首项，-1 为公比的等比数歹ij,m 4 41 。 r 4即 = F + （ T ） 1 故 ” = 33”+ （ T ） 1. 1 1 1 3（ 2 ）由。 | = ，出= 7，得。 + & = 一，3 6 2 5当 2 4 且为偶数时,+/+_q3 U +1 3 -lJ 3 “T +3 4 f 1 1 T 3T.3+2.3T-i 1 1 4 f 1 1 1 1所以4 +% +,+” +5+ * 三 +尹 + F + ”11 4 + X2 327 = 1 21 1 5 27331 3一 54 53当 2 3 且 为奇数时，拉 + 1为偶数，则4 + 。 2 -an + an+ 0 ，则。 + % + + 3综上， +。2 + ， - + 。 “ 丁7 4 .已知正项数列 % 的前项和为0, 且 2S“= a； +a - “ wN*.（ 1）求数列 % 的通项公式;, 1 2 记 = J （ 2% + 1 ） S 数列出 的前” 项和为小 川 ，求证：7；,+ Y即（ 4 ,+。 “ 一1 ） （ 4 ,-勺-1 - 1 ） = 0，又见0，所以=21所以数列 “ “ 是首项为 : ，公差为1的等差数列，故% = + , e N *.( 2 )由( 1 )得 + J _ + 2 ),“ - 2 - 2 :山 J (. + l )( + 2 ) + . (“ + 2 + J + 2 )_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _+ 1 ) (+ 1 + y /n )2 (J + 1 一品)即小高“+法二： 当 = 1 时，A = b、 =V l x2 x3 - V 6，T+- = = - = + /?. = 2 , 不等式成立;V 2 6 V 62假设当以Mg l k N * ）时，不等式成立，即小而西那么当= 左+ 1时,2 2% +g=-K= +2 2 2 -|- -= = H - -J (1 + l )(4 + 2 )( + 3 ) 4k + 2 4k + y /k + =1 +2病 打 + /1 + 1 )(% + 2 )(1 + 3 ) 2 +12“左+1 ）依 +2 ）依 +3 ） vm= 2 +1 + 2 V m (4k -# + 1 )( + 2 ) + 3 )2要证4+ i + / c 2 ,只需证A/% + 21 + 2 V m (y /k + - 4i c + 2)& k + l )(k + 2)(k + 3) 0 ,即证明 i+ o ,所以当 = 左 + 1 时, 不等式成立.2综 上 ,故 小附2对任意GN*恒成立.7 5 .数列 。 “ 满足 q = 4 = 2 , 7+1 =2%.-1 ，” 2 , , + 2 =% + 。 2的 ，neN , .( 1 ) 求由，4 及 % (用表示)；( 2 ) 设% = - - - - .求证：” ,4占 ;a2n 出 +1 4一 1 1 1 1 1 5( 3 ) 求证：+ - - - - - - + + - - - - - - - - - -.% 。 2 % 。 2 % 向 62 22-1 ,n = 2k,ke【 答案】( 1 ) 生 = 4, 4 = 6 , % = ( ) ; (2)证明见解析；( 3)证明见解析. + 12,11 =2k-,keN*【 分析】（ 1 ）由递推关系及4 = % = 2 可得%，4 ,按奇数项、偶数项分别求通项.（ 2）由 （ 1 ）所求通项可得出向- 。 2 , = 2 , 进一步可得“通项，再进行放缩变换即可.（ 3）依 （ 2）进行放缩可求和即可得证.【 详解】(1 ) 依题意 % = = 4 , 4 = % + % = 6 .由。 2 e =2 电,一知，数列 % . J是首项为2. 公比为2 的等比数歹所以。 2 T= 2 - 4 = 2.因此，& / 2 = % + * = * + 2 + 2向 =-+ 22 + + 2向= 2 + 2?+ + 2用=2(2-1 ).2 21-I ,n = 2k,keN故数列 , 的通项公式为。 “ =V ）n + 12万 , 二 2 左 一 1 , 左 wN（ 2 ）证明：由 （ 1 ）知，。 2川一。 2=22一 2（ 2-1 ） = 2,当 力 时，bn =- L =生 川 % =2a2n a2n+ a2na2n+。2/ 2+1212（2n- l ） -2n+, -（2n+,-2）11111 1 1 1 1 1 1（ 3）证明： + - - - - - - + - - - - - -+ + - - - - - - - - - + + + a a2 “3。4 5 a2n ”2n+l 2 4 4 41447 6 . 已知 4 是公比夕 1的等比数列，且满足外 + % = 1 2 , 。 冈 = 3 2 , 数列也 满足:+ a ” _ 他 2 + + 也 ） =3 , 2Z , _ 4 _ 6.（ 1）求数列 “ 和 也 的通项公式；b _ 1（ 2）令= 工 喑-求证：cx+c2 + . . . +cn- .【 答案】（1）。 “ =2； b . = 2-l ； （ 2）证明见解析.【 分析】（1）先根据条件解得。 2 ,。 3即得 4 通项公式；利 用 条 件 可 得 “ 他 + . . . + 力i= 3 -2 向 -8（ -1） -12,再与原式两式相减可得 的通项公式；2 + 3（2）先放缩（ 2 _1 ） （ 2 + 1 ） 2 再利用裂项相消法证得不等式.【 详解】解：（1）因为 与 是公比令 1的等比数列，所 以 / 4因为= |4 = 32 , 弓 + 4 = 12, 所以。 2 = 4 , % = 8 ,所以4 = 色 = 2,4 ,= % / 一 2 =4X2-2 =2a2当 =1 时，= 2 , 4 = 2当 2 2 时anb 4-an_b2 +. + q6 = 32向 - 4- 6+ 。 一2 4 + . + 4 4 _ 1 =3,2 - 4（ 1） - 6将乘2 得到她+ ?一也+ + a 2b z = 3 2 1 一 8（ 一 1） 一 12一，得= -4/7- 6 + 8/7-8 + 12 = 4/2-2，所以 =2 - 1因为当 =1 时，i,= 2 = 2 x l - l , 所以a = 2 -1( 2_ bn+2 1 _ 2/7 + 2 2 + 3)因为=(2 -1)(2 +1)2 (2 -1)(2 + 1 ) 7 2 + 3 _ _ 冏( 2/2-1)(2/? + 1)2* ( 2 _ 尸 一( 2 + 1)2” ，11 1 1 T 1 11 2 w 1 3x2 3x2 5x22 (2? -1)乂 27 ( 2? +) 2=11 -1- - = 11 -1-伽 + 1) 2 b , an 1因此C + 0 + 1- 7-7 7 .设数列 % 的前项和为S“，且满足= 2 , 4川=2S.+3( eN )( 1 ) 求 S. ( 用表示) ；S, . S 3n 5( 2 ) 求证：当“ 2 2 时，不等式一+ +L + 彳成立.q S % 2 7【 答案】( 1) S“= (” + 1)-3T； ( 2 ) 证明见解析.【 分析】( 1)根据。 向 =S,+ S“，代入即得S向 -3S“=3”，整理可 得 籍 - * = ：, 今 为等差数列，即可得解;( 2 ) 代入整理，通过放缩即可证明.【 详解】解 : -：an+i=2Sn+ y ,：.S+l-3S= 3,. 乱上=1 3+, 3 3 *为首项为|为首项，公差为1 等差数列,. 凡= ( + ) 3 。( 2 ) %_ 2,77 = 1= ( 2 + 3)3-2 / 2 2 / $NSn + l N 2时，= 3-Tan 2 + 3 之 2 时， + + L + % a2an= 1+3 L+ T L17 9 2n +39 n-2 3n 5 刈 + L；对任意 e N都有, / / ( ) = 3 .Q)试证明：/ ( x ) 为 N , 上的单调增函数；( 2 ) 求 / + / ( 6 ) + / ( 2 8 ) ；An 1 1 1 1( 3 ) 令 * = / ( 3 ) , e N + ，试证明：菰+ + 丁 ( 三I f l 十乙 LZi “ 1 L-/【 答案】( 1 ) 证明见解析；( 2 ) 6 6 ： ( 3 ) 证明见解析.【 分析】( 1 ) 对中等式变形，利用定义法判断出 X) 的单调性；( 2 ) 先假设根据条件确定出。的值，即可求解出/ ( 1 ) , 6 ) 的值，再 结 合 ( 1 ) 的单调性确定出/ ( 2 8 ) 的值，由此计算出结果；( 3 ) 根据条件判断出 。 , 为等比数列并求解出通项公式，利用不等式以及二项展开式采用放缩方法证明不等式.【 详解】解：(1)由知，对任意凡6 e N * , a 0 ,由于“ b 0,从而/ ( a ) l , 而由/ ( 1 ) ) = 3,即得/ ( a) = 3 .又 由 ( 1 ) 知f ( a) f ( l ) = a ,即a 3 .于是得l a 3 ,又awN：从而a = 2,即/ ( 1 ) = 2 .又由 a) = 3 知/ ( 2 ) = 3 .于是/ ( 3 ) = / ( 2 ) ) = 3 x 2 = 6 ,/ ( 6 ) = / ( / ) =3 x 3 = 9 , / ( 9 ) = / ( / ) =3 x 6 = 1 8 ,/ ( 1 8 ) = / ( / ( 9 ) ) = 3 x 9 = 2 7 , / ( 2 7 ) = / ( / ( 1 8 ) ) = 3 x 1 8 = 5 4 ./ ( 5 4 ) = / ( / ( 2 7 ) ) = 3 x 2 7 = 81,由于5 4 - 2 7 = 8 1 - 5 4 = 2 7 ,而 且 由 ( 1 ) 知，函数/ ( x ) 为单调增函数，因此/ ( 2 8 ) = 5 4 + 1 = 5 5 .从而 / ( 1 ) + / ( 6 ) + / ( 2 8 ) = 2 + 9 + 5 5 = 6 6 .(3) / (a.) = / (/ (3) = 3x 3=3a, +i =/ (/ (3“ ) = / (/ (%) = 3。 “ ，% = / (3) = 6.即数列 % 是以6 为首项，以3 为公比的等比数列.a = 6 x 3 T = 2 x 3 ( = l , 2 , 3 )InT日 1 1 1 1 / 1 I、1 3 3n)于是1+ 广+ + 丁=59+ 土 +F) = 7x % 2 % 2 3 3 3 2 331-夕 ，显然;(1 一11 + 2，综上所述,411 j _ n2 ? ? +1 ) 4 +2n4+ 21 1 2 ” - 5.【 答案】( 1 )% 2 一 3 ( ) ( “ ) ，然后分 =1 和2 2 ,结合放缩法以及等比数列的求和公式证明出S“ 2 -5,即可证得结论成立.【 详解】2ana+l + 3an+l= Sa -2,即a . (24+3) = 8 % -2, r.a,承 22 % +3i % - 2 ( _ n%一 万 2a +3 2 ( “ 3, , a+ l-2 7 , a ,- -a+1-2 8a-2 4 ( a“- 2 )1 4 7“ + i - - -2 、 ) an a -22。 +3 , 2a“-2X 5 1 7所以，数 列 一J是以- :为 首项，以1 为公比的等比数列,为一2 2 4可得an =2-4-+ r-3-4n-2-4-+T-0, -3 = 2 x l-5 ；Q = 2_ _ = 2 _ 2 -3 当 22 时，由 ( 1 ) 可 得 24T+7T 2 + ( 7 ， I ,则S . l + 2( -l)-3 x 恭 伺 + + 图 =2 - 1 - ； j= 2 -5 + 4 x (g ) 2n-5.7综上所述，对任意的 N* , Sn 2n 5.8 0 .已知数列 % 满足一+ + + . . . = n2 +3 ( N ) .W a、 ax a 7( 1 ) 求数列 % 的通项( 2 )设几 =,若 5 = 始 +& 2+42+ 0 3 求证：6勺用 365 - -G - = - 7-1，W 4-1( + 1) ( + 1)( + 2) + 1 n + 21 1 4 4 4 1 1另一个放缩是7-L = 2 - ) - = = 2(- - ) ,放缩求和( + 1) n +2/7 + 1 4 +8 + 4 4 +8 + 3 (2 + 1)(2 + 3) 2/? + 1 2 + 3后可证得不等式成立.【 详解】2 4 6 2 /? 2 尸 ( 1 ) 一 + + + 一 = +3 ,6 % % 42 4 6； 2 2 时 , 一 - - -h + q a2 a32 得 丁 = 2 + 2 , an=( 1 ) 2 +3( 一1 ) ,nn + 1又工 =1 + 3 = 4 ,=;也适合上式,n ”=KT N * ;144又 +2 2 ( n +2 )n4- - - - - -=- - - - - - - - - - =- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = - - - - - - - - - - - - -( “ + 1 ) 2 w2 +2 /? + 1 4/+8 + 4 4/+8 +3 ( 2 + 1 ) ( 2 + 3)12 + 1 2 + 3S “ 23 5+ 21 . 15 7+ + 211 、1 3? + 3,= 2(1一 熹3( 2 4n+ 3) 6S 0 , * * 6。 + - 2 6Sn,综上，6 % +| - 3 6S 6 a +l - 2 .8 1.已知数列 % 和 也 满足= 1 ,且对任意的 b “ = a + 2, 2an= bn+l-bn.（ 1 ）求生, %及数列也 的通项公式; 记 C “ = 2，川： 1 ), n w N * , 求证：4cl+c2+- + cn n2 + n + -, n w N .b . +3 8【 答案】（ 1 ）%=3 ; %=9； = 3 + 2 . ； （ 2 ）证明见解析.【 分析】（ 1 ）根据递推关系2%=%厂 , b = an+ 2 ,得。 向 =3 %,再利用等比数列通项公式，即可得答案;（ 2 ）求出c “2 , （ + 1 ）= % +* , 再利用错位相减法求和，进行不等式的证明;3- 13- 1【 详解】( 1 ) 根据q = l, b “ = a “ + 2 ,得可 = 4 + 2 = 3,根据2% =6向 - 6 ,，得即2 = b 3,故 & = 5 , % = 3. 同理可得，4 = 11，% =9.根据2al i = bn+i- bn, b = a + 2 ,得2an = ( 。 向 + 2) - (a“ + 2 ), 即% = 3a .又q = l , 故数列 , 是 以 1 为首项，3 为公比的等比数列，%=3，所以,= 3 + 2 .( 2 ) 由 ( 1 ) 知，c = 2 ( 3 + 1)= 北 + 二 3 1 3 ,47当 =1 时，q = 4 , 4Cj JjgjuL；8当 N 2 时，- 4 4 1 ”根据c， = + 8 3 -2 + ( 3_ 1)4 n + T = 2n + - - - )1( 2 3得：C,+C2+- + 6 -, / +n+2 +l + y +.*. 23 n 门令 / = 里 + 3 + 产 山则L = 4 + + + 二 3 3 32 3T- 得：%3-1 1= 2 + + 转+ + 产-干=2 +n3一 】1541n14, 15 31所以，当 2 2 时，C + c，2 + + c“ c, = 4 ,所以，当22 时，4cl+c2+- + cf l n2 +n + .831综上所述，对任意 e N * ,恒有4 4G+C2+ ， “ 2+ +彳.88 2 .已知数列 6, 的前”项和为 S ,已知 = 2, 6S = 3a+ l-2 ( + 1) ( +2),S2V( 1 ) 求数列 叫的通项公式;1 1 1 5( 2 ) 证明：一 + + + -.为 2 an 6【 答案】 = 2 n2； ( 2 ) 证明见解析.【 分析】( 1 ) 先根据和项与通项关系得& = 2 ( 2 2 ) , 再根据等差数列定义以及通项公式得 =2 ”，即得结M + 1 n n果；( 2 ) 先利用放缩得! =白 , 、 =-1)，( 2 3) , 再利用裂项相消法证得结果.an 2n 2 ( - 1 ) 4 n- n +1【 详解】解：( 1 ) 因为 6 s, = 3% + - 2 ( + 1 ) ( + 2 ) ,所以 6 S , i = 3( - 1 ) 助 - 2 ( /? - 1 ) ( + 1 ) ( W 2 ) ,故叫 + 1 - ( + l ) a “ = 2n(n +1 ) ,即 %L _% 2 ( 2 2 ) ,n +1 n又因为“8 ,所 畛 *=2,故 用为等差数列，即M = 2 , 亦即氏 =2/ ；( 2 ) 显然上 +， =%1当2 3 时，一*故， + - + L +n1 1 5 -2 8 6= 1 _ _ _1_ _ _ _ = _1 z( _ _1 _ _ _ _ _ _1 _、I2n2 2 ( 2- 1 ) 4 n - 1 n + % a21 1 I= - + - + -2 4 3 5 n - 1 n +1L L +L2 8 41 2 3n /7 +1 J 2 8 4 2 3j 6* 2 8 48 3 .正项数列口, 的前项和为S“，满足对每个1 . S “ +2 ” ,。 用成等差数列，且 卬 % % + 6 成等比数列.( 1 ) 求卬的值；( 2 ) 求 % 的通项公式；1 1 1 1 八 、1 、( 3 ) 求证：+ + + ( 1 3- - 7 )ai a2 an 1 0 3【 答案】( 1 ) % = 1 ; ( 2 ) 。 “ =3- 2 ； ( 3 ) 证明见解析【 分析】（ 1 ）根据2 （ S , +2 ） = l + a用对 = 1和 = 2成立，得到两个方程, 根 据 卬% ，%+ 6成等比数列得到一个方程，三个方程联立组成方程组可解得4 ；（ 2 ）根据当“ 2 2时，% 可 得 % = 3a , + 2 ,再 两 边 除 以 后 ，可得 祟 + D为等比数列，利用等比数列的通项公式可求得结果；（ 3）利用1 9 康1进行放缩后，再根据等比数列的求和公式可得结果【 详解】2 ( S + 2 ) = % + 1 2 ( 9 + 2 ) = % + 1（ 1 ）由已知得，2 ( 52 + 2 ? ) = % + 1 = 2 ( q + % + 4) = % + 1a ； = a 4/ +6 ) Q； = Q4% +6 )a2 = 2 q +3= ( 2 +37 =(6 % +1 9 ) =2+ 7 q - 9 = (a ； = Q4% +6 )因为 0 ,所以q = 1( 2 )因为1 , S + 2 ，成等差数列,所以 2 ( S , +2 ) =% +1 n 2 S , =*2向 +1当 时， :一向 j * = 2 a = a +1 - a - 2 a +l = 3a + 21 2 sA i =。 “ - 2 +1又巧= L 4 =5=% = 3q+ 2符合上式，所以 V e N an+ -3an +2= 符= 5祟+ ；=招+ 1 = M + 1 =旧+1 是首项为 : ，公比为巧的等比数列乙 乙 乙 乙 乙 J I J 乙 N( 3)因 为 , 当“ 2 2时，( 3 - 2 ) - 3 = 4 3- 2 = 4( 3吁2 -2 -2) 0 3 - 2 1 - 3I 9 1- - - - - - - - - - - -3 一 2 5 3易知 = 1时, 原不等式成立；当大N 2时,3综上，原 不 等 式 成 立 .8 4 .数列 。 , q = l , %+ = 2 / 一 2+3 （ eN） 是否存在常数4 , ，使得数列忖, + 翁+ 是等比数列，若存在，求 出 入 的 值 ，若不存在，说明理由.1 5（2）设。= - - T ，S = 4 + 打+ 4 + + ，证明：当2 2 时，- - - - =，一 一 得s”=4 + a + a + a a - 彳 ） +（ ） + （- ） ） ,由此能够导出当儿.2 时， - 5 .2 2 3 3 4 + 1 + 3【 详解】解：（ 1）设a . = 2 4 - / + 3 可化 为 % + + 4 （ + iy + 4 （ + l） =2+ ； l2+ ） ，艮 | J= 2Q +A/72A = -l故 24 = 3 解得2 = ： u = - 2 - / = 0 1尸。 什 = 24 _ / + 3 可化为区 用 （ + ） 2+ （ + 1） = 2 “ 一 2+n ）又q - + 1工0故存在4 = - 1 , = 1使得数列 。 + 而2 + 力是等比数列（ 2）证明：由 （ 1）得 / 一 2+ = （ 4-12+1） .2 2 .4 = 2 7 + 2一，7 1 4 4 2 2* * n = _ _ _ _ _“ n2 4 / 72 4 / 1 2 / 7 - 1 2 +1Q 2时，5, /= il+63+ . . . + l + | + l + . . . + l - - - k 3 5 J 5 7 J 2 / 7 -1 2 + l3 2 + l5 4 5当“23时, 1由=711/ 7 + 1得/ ? (7 ? + 1 ) n1、+ 1 )-1 , /n +1 n + 1 + 1综上可得当 之2时，= S : .【 答 案 】（I ）证明见解析；（ I I ）证明见解析；（ I I I ）证明见解析.【 分析】( I )(I I )由&丈 =工 1,可得证% + 1利 用 =孕 。得& = H= 1 + Ln /+1 k 2 n2 - - - - - -n2 (n-l )n!二一可得证；. 一 1 n% + 1 “ 2 J + 1(川 )I I I % I + 1 2 ，可得证.【 详解】2( I) = - T 71.所以a “ n-+( I I )当 = 1 时 . ，由 a ,.=毕 得 = ：% , 所 以 幺=2,不等式成立;n + l 2 + 1 2 a2当时，由 用 = 早 工得3 -= =1+4，所以a a2 an . 1 . 1 . 1 1 1 1。2 + % + +。- - 川- - 1 + -1 -r + 1 + 2T- T+ , + 1 + - = +I丁2 +2音2 + +r2, 1 1 1 - 1 1 1 1 1 一1 x 2 (n-l )n 2 2 3 n- n n所以旦 + 幺 + 乌 - W + 2 - -a2 。3 % n ,an+l _ n2 _ 1 1 _ - 1 + 1(I B) - = 7r+ T = / = 一厂：一，所以，当“ 2 3 时，n1 4 Yn1 1 3 2 4 一 2 n n 1a -x x - x x . . . - - - -x - - - - =- - - - - - “ 2 2 2 3 3 - 1 7 7 - 1 4 (H- 1 ) 4 ,又因为q = 1 ；吗 = ；: 所 以 对 一 切 w N * 成立.8 6 . 已知数列。 的各项均为正数，其前项和为冬，且满足q = I , 2 S=n(a+ l- l ) , eN * .( 1 ) 求的、出的值；( 2 ) 求数列 % 的通项公式；1 1 1 7( 3) 证明：对一切正整数，有三+ 丁 + + 不彳.dl d2 A 4【 答案】( 1 ) 出 = 3 ，%=5； (2 ) a= 2 n - l ； ( 3) 证明详见解析.【 分析】( 1 ) 由 2 S, , = (4 用- 1 ) 得，2 a, = a, -1 ,解得的，同理可得出; 当 22时，2 s, 7 = (- 1 ) (% - 1 ) , 可得2 仆 = (. 一 1 ) 一 ( 一 1 ) (4 , 一 1 ) , 化简构造数列 二 + 1 为常数 J数列，求出 % 的通项公式；( 3 ) 当“ 2 2 时，- - 1,利用放缩法证明不等式.【 详解】( 1 ) 由 2 S“ = (+ i - 1 ) 得，2a , = a2-l ,又 = 1 , 所以a? = 3 ：当 = 2 时，得2 (% + ) = 2 (% T)，解得% = 5 ；( 2 ) ；2 5 “ = ( % - 1 ) , ； . 当22时，2 S, i = (- l ) (a” - l ) ,所以 2%= (。 “ + | - 1 ) 一(- 1 乂即- 1 ) ,/ 、 小 a“ 1 1 1化简得：+ = 1 ，所 以 二 = 一厂= 6 = -,7 + 1 n + 1 ) n / ? + 1即，+ L = 2 + 4 2 2 ) ,n + 1 7 7 + 1 n n又幺 + _L = % + 1 = 2 ,所 以 也 + - 1- = % + _1 (2)，2 2 1 + 1 + 1 故数列 幺 + 4 为常数数列，所以& + 工 = 2 ,得。 “ =2-1 ； n n n n(3) an =2n-I f ,当 2 2 时，an - an_x = 2 ,数列 4 为等差数列,所以 S . = ( + 2 T )=2, 21 7当 =1 时， =1 ,原不等式成立,4=1 + -3 -11一1 7原不等式成立，4 n H + 1 41 1 1 7综上，对一切正整数，有三+ 3 + +不 0吗 = 2 ,且( + 1 )匕产a： + ” “ ( eN )( 1 )证明：alt( 2)证明：或 + 且 + +4 o, e N” ,n j l l (a+ l + 1 ) ( + 1 ) 0 ,nan + / 2 + 1 0 ,所以。 + i - l 与 a“ - l 同号, 又 T = l 0,故 a. L( 2 ) 由 ( 1 ) 知% 1 ,故( +1* = a ： + a ( +1 ) ,所以。 , 田 。 , ， 1 册， 2 .因为。 “ = (+ 1 ) 匕 1 一端，所以 q = 2 a； -a f,a2 = 3a； - 2 a； , ,相加得 4 + a2 T - -卜 ” = ( + 1 ) 。 3 - 4 , 2M .所以a， ,于是与 ，n2 + 4 口 n 2 2 + 2 /-即 4 - - - - - ( . . . 2 ) , + 1 n2 2 2 21 + -H -7 ?2 / (_ ) (拉 +2 _ 2 _2 2 _1_ 1 _囚为n- n ( 一 1 ) ( + 1 ) ( 一 1 )又由题知W =3 ,故当 = 2 时，争 =:；*口卜域4 3 2 2 3 1 9 J ? + 7 , ， 4+F + 74 + 35；1 x Q + 221441 4 9 3+1 1 1 1 1 1 -1 - 1 -F4 9 3 4 4 51 2 I4 2 795综上，五 + 且 + + 4 2 (丸2 ) .4 9 n 58 8 .已知数列 / 、也 满足4 = 4 , a2= | , a+ 1 亨 ，2篝 （ 皿( I )求证：2 a+ 1 an ；1 Q（ I I ）设 数 列 * 的前项和为s“ ，求证：s 1时，7 ；, 2,利 用 作 差 法 证 得 - 勺 0，进而可证得结论； （1 V-（ I I ）由（ 。 也） 2 = 1 6可得出记 = 而 。 ： ，结合2 4用 % 可推导出； 1 2 旧 + 4 ,进而得出-4-T-I + -再利用放缩法可证得结论成立；（ 1 1 1 ）由2 。 用 0 ,1 （ 4 1所 以 = 彳4, + 22 （ 当且仅当。 “ =2时取等号） ,21 % ）因为q =4工2 ,因此a “ 2.又。 , 川- 。 “ =与 & ，所以26+1。 ” ；2ati( II ) 由(a也 了 = 1 6 ,有 = /，又 2a+i “ ，则。 ; +i = 7 ：+ = + 8 7(片 + 12)，则。 ； +1 - 4 ；国 一 4)；4 an J 4 4故 a；-4 (a；-4)(小 二 田n-,即+4,所以看=/41+ 一，4c 1. 18当 =1 时 ,S=- = l -+-. .当 N 2 时，因此,1 + -+L41 n = x4 43U+14 49 12/ /3 9 18 3 9 p 卜 勺前项和s ； + 2 ：=23 9 11 na -2 1(111)由得0 J)- 2), 故 % - 2 ( q 一2), I un 7 4 -所以(% -2 )+ (% -2)礼 +(q - 2)彳白74t + (4 - 2 4 _；( 4 2)二| ，Q因此， , 的前项和 , 2 + 8 9 .已知数列 , 满足0 1 , 川=a“ -ln (l + a“)，n& N ,.( I ) 证明：0 a l；( I I ) 证明：2a+1 ;I o(H I)若= 7 , 记数列 对 的前项和为S ,证明： .【 答案】(I)详见解析；(I I)详见解析；( I I I ) 详见解析.【 分析】(I ) 利用导数证明出不等式l n( l + x ) x 对任意的x O , l )恒成立，然后利用数学归纳法可证得0% 0 , 然后构造函数g ( x ) = x 2 + 21 n( l + x )- 2x ( O x 0 , 即可证得结论；( H I )由 (I ) (H) 可推导出。 “ ，再由0 % 1 可得出见 / ( 0 )= 0,则l n( l + x ) x .再用数学归纳法证明因为 所以 0 l n( l + q ) q ,由g =q T n( l + q ) 知 0 % 1 ;假设当= H 寸 ，0 % 1 ( ),则当 = A + 1 时，因为0 为 1,所以0 l n( l + a J% ,由 = % T n ( l + 6 ) 得0 % +1 1 ,综上由知0 % 1 对一切n e N * 恒成立；(H) 要证 2a “ “ 0 , 其中 0 。 用 1 ,令g ( x ) = x ? +21 n( l + x )- 2x ( O x 0 ,1 +x 1 +x所以, 函数y = g ( x )在区间( 0 , 1 )上单调递增，从而g ( a , ) g ( o ) = o ,即2 1n + 2a ” 0,得证；( H D 由 (I ) ( n ) 知 , * g ( g a ； _ 2)= 最： - 2 =: 心 因为当W 2 时，2小 2 2 ，乂所以所以为构造数列4 =誓 ( 22)，则%也 =贤-宇=米0,即% 如所以，数列 4 从第2 项开始单调递减，此时，b b2= ,则 =岁1 ,则22 + 2（ 22） ,可得对 白 ，从而+ + J + + ） =；+ 焉 1 - （ ； ） 1 + =6 ,1 9 9又 = 1 时，=%= 一 ,所以S ” 7得证.2 1 6 1 61 , 29 0 .在数列 4 中，已知4 产 学 ； ，其中 w N” .（ 1）求的的值，并证明：（ 2）证明：品， ；2n +1pill 3（ 3）设 。=一 + ? ? + + TP 求证：一 二 .a1 + 1 a2 +1 。 “ + 1 4【 答案】（ 1 ）%=；，证明见解析. （ 2）证明见解析.（ 3）证明见解析【 分析】（ I ）根据题中的条件，利用作商法证明；（ 2）通过合理放缩利用裂项相消法证明结论；（ 3）根 据 （ 2）中的结论合理放缩利用裂项相消法证明结论或合理放缩后得到等比数列，利用等比数列的求和公式证明结论.【 详解】证明：（ 1 ）由题意得出 =/ =5所以+a a-当且仅当。 “ = i 时取等号，但 % .%=!，故勺, c 、 2端 1 1 1 1 1 1 I 1 1 f 1% + 1 % 2 2K 。 角 为；an 2 2 1 % )由 ( 1 ) 知 ( 0, 得，. 3 ,于是六 一 六. . 2 (7 7 -1) + 3 = 2 /7 4-1 ,故册,12n +1( 3 ) 由 ( 2 ) 知明, -2 + 1令4 = 1- 1，则a ” = 1 5 = 2 q , 2 _4 + 1 4 4当时，- 7 ； =4 +4 + + 6 一 j_ 3综上u j 知，Tn n .9 1 .已知数列 % 满足：4 % +24 % =0 ,(心 2 “N ), 4 =1 前项和为S 的数列 a 满足：4 =1 ，4 = 2 ：丁(2 2ZN) ,又 C“斗(2 2 ” N ).l -2 a“ a, i bn( 1 ) 求数列 见 的通项公式；( 2 ) 证明：2 411H j 1H 1H 2,neN .I。 2 八 q j 3【 答案】( 1 ) % = 王 ( * ) ； ( 2 ) 证明见解析.【 分析】( 1 ) 由题意” “ a, i + 2 a“ -a“ T =0 ,变形可得 一 =2 见+4 4 ”，故工 + 1 = 21 一+ 1 ,即得数列 + ”是an) M J等比数列，即可求得结论; 由 题 意 可 得 上沙+升H鸟x#. 士凌士邑,故只需证-2 45. 2 , ne N),Cn 3 ” - l 3 / t - lQ故只需证-2 ss2 _ 1_ 由条件6 = 2 : 7 _2-l =- ? _12 - -二l l -l -2 x 1 x (2 7 (2 口 ) -2 (2 -1)(2 -1)2 -l 2 -l2Q一方面：当 = 2时S, = 2 彳3当 2 3 , N 时，S = A + % + + 6 ” 0所以S” = +4 + + 4 2 1 + 1 = 2，当 2 2 ,时，2 1 + | 1 + -839 2 .已知数列 “ , % = l , a“ *i = 3 a, , + (-1).记乎，证明: 也, 是等比数歹!J ；1 1 1 6（ 2） 当人是奇数时，证明: 一+ - 说 ；ak %+i J1 1 1r（ 3） 证明： + + + 2.% a2 %【 答案】（ 1 ） 见解析；（ 2） 见解析；（ 3） 见解析【 分析】（ 1）对递推关系进行变形 得 %T+ Q2 = 3 仆 +号 ,从而证明 2 是等比数列；（ 2 ）由 得 = ,代入所证式子，再利用放缩法进行证明；（ 3 ）由可知, + 一生，对分偶数和奇数计论，放缩法和等比数列求和，即可证明结论.ak ak + J【 详解】（ 1 ； 向 = 3。 , , + （ - 1 ） ，., 向 + 匕 詈 = 3 ,+号 ,且为 + g = q所以，数列 。 , , + 号 是 首 项 为 公 比 为 3 的等比数列.由可知见+宇=弓n . . = 丁4 4 4当左是奇数时,1,1 4 , 4 _4(3*+,-1 ) 44(3*+1 ) 1 6-3* 1 6-3* 1 6ak aM 3*+1 3*+|-1 (3*+1 )(3*+1-1 ) 3*-3*+1+2-3*-1 3*-3*+1 3*+l（ 3） 由（ 2） 可知，； + ； 白 = 4（ ：+ 卜 ） ； + ； 白 = 4（ / + % ）ak ak+ D J 3 4 %+ 】J J 3当为偶数时,1 71 + + 工1/= （1 + 工1）、+/（ 工1 =1 、） +z（ 1 ；二I）、（ 4“号1 亭1 + 一声1 亨13当为奇数时，1 1 1 1 1 1 1 / 1、 / 1、 / 1 、-1 - 1 - -I- 1 -1 - 4-1-= ( 1 - )+ ( 1 - -) , + ( F )a % % ai a2 % 明4 / 。 2 % % an anA,Ji 1、 ， 4 。一 刮 14( + ? + + 支 ) = 4 x - j - = 2(1 - 济 ) 21 -3所以， +，+，2.1 2 9 3 .已知数列 。 满足q =2, a2 =10, a+2 = a+l + 2a, eN,.证明: 数列储油+4, 是等比数列；（2）求数列 对 的通项公式； 1 1 1 3证明: 一+ + + -.i % a 4【 答案】证明见解析；（2） % =2向 +2-（ - I） ; （ 3） 证明见解析.【 分析】（1）由 %+2=。 7 + 2。 “ ，得“ 川 + 见 ” = 2 , 即可得到本题答案；（2）由。 向 + 。 “ =3-2向 ，得an + + an爵= 即可得到本题答案；（3）当 =1时，满足题意；若是偶数，由 + -H 1 - - + f - + -1 - -+ ， 可得 1- 1 H 当 “是奇数， 且 “ 23 时，由a2 an % a2 ai ） 3 ， a “ +J 4 a2 4， 4+ -I+ -+ I+ I p j# 综上，即可得到本题答4 。 2 -1 a1 t q （ 生 生 J q a2 an 4案 .【 详解】因为 a + 2= an+l + 2a ,所以 an+2 + an+1 = 2（a+1 + %）,因为q + g = 1 2 w 0 ,所以凡+ 2+。 向=2,&+i + a所以数列 。 向 + 4 是等比数列； 因为1+”,=3.2叫 所 以 爵 + ；.圻 3,所以 翁 - 2T停 一 2）,又因为q = 2 , 所以1 2 = - 1 , 所 以 俘 -2 是以T 为首项,-工为公比的等比数列，所以=22 I 2 J所以% =2向 +2-1） ；1 1 3 当 = 1时，一二彳 二：* 2 4若是偶数，所以当是偶数时，1 1 1 1 1 1 1-1 - F , *4-1 - F , + -F -卬 a2 an % 。2 an % 1 3 7 3 + - -= 2 4 .1 41-4当是奇数，目2 3 时,11 3 7 3 + - - = *2 4 ,1 4 ,1-41 1 1 3综上所述，当为e N * 时，一 + + + 一 .i 2 4 49 4 . 已知数列 见 的首项q=，其前” 和为豆，且满足S, M + S“ = 3 ( + l )2 (e( 1)用 。 表示的值;( 2)求数列 见 的通项公式；( 3 ) 当时，证明：对任意 eN* ,都有-f + + 5 + 2【 分析】( i ) 令 = 1 即可求解；( 2 ) 当N4 2时，通过作差法可求得4% = 6 + 3,再书写一 项 %+ 2 + 。 e=6凡+ 9 ,通过两式作差可得a + 2- a = 6 ( n 2 ) ,分类讨论的奇偶, 即可求解；( 3 ) 可结合放缩法公式二 2 )两式相减得见+ 1 + 。 = 6 + 3 ( n 2 ),故. a + 2 + a 向 = 6 + 9 ，两式再相减得见+ 2 - a ” = 6 ( 2 2 ), 。 2 ， & ， 4构成 以 %为首项，公差为6 的等差数列：% , % ， % ， 构成以巴为首项，公差为6 的等差数列；由 ( 1 ) 得 a 2 ” = 6 + 6 - 2 a ；由条件 n = 2 得 q + a 2 + % + / + % = 2 7 ,得 = 3 + 2c i ,从而出川=6 3 + 2 a ,a , n -1- 3 + ( 6 - 2 a )( - l )n, n 2解法2 ：设a + l + x ( + 1 ) + y = - ( a , , + x ” + y ), G | J a + 1 = -an - 2xn-2y -x则 t ； x - 6 = 1 一： . a 3 ( + 1)= _ ( 见_ 3 )-2y -x = 3 y = 0/ . n N 2 时，3 二( % 6 )( 1 ) ,即 = 3n + ( 6 - 2 a ) ( - 1 )n2l a , n= 1a 3 n + ( 6 - 2 a )( - i r2, n 2( 3 )证明：当a = |时，且22,庄 | ( 2 )可知a , , = 3 + ( - l )_ 1 1 1当 = 1时，* =研 ?当” 2 2时， 。2 . - 1 = 6 ( - 1 )，a2n = 3 ( 2 w + l )1 1 1 1- X- r+ + - H -2 -a2 a3 0 2 n1 X3 6，2 ，3 6 I n+l j 36 ( n-l j_ _ _ _95 .已知数列 % ,也, 的前 项和分别为S “ ，T, K I n a , = I n an tl - I n an = I n ( Z ) + l -b ), 9= 2 %, 9= 2 %.( 1 )求 , ,也 的通项公式；1 1 r 1 c( 2 )求证：+ +L + 2.【 答案】 %= 2 ( GN * ), 6 = 2 n - l ( n e N * )；( 2 )证明见解析.【 分析】 丘4 = l n a “ +l n a “ = l n ( %4) ,以及等差数列和等比数列的定义，确定数列 叫 ，也 分别为等比数列和等差数列，再根据( = 2卬，4 = 2 % ，列方程组，求解, 4,从而确定 4 ，也 的通项公式.( 2 ) 根据“= 2 - l ( w N * ), 确定7 ； 以 及 ; 的表达式，对J + J+L + J 进行放缩，471 ， 2 ln1 1 1 1 1 1 T l i 1 1 T 1 + + + = p - + l， 1 V i 七 不 + L - - - ,再利用裂项相消法求出Z j 12 Tn 1 2 i f l x 2 2 x 31 1 , 1 , 1 1 1 1 1 c市 + 范 + L + 2-, 从而得证三+ + L + 0 .故 ” “ 为等比数列， 为等差数列，公差和公比均为q.由T2 = 2a1T4 = 2 %2b l + 4 = 2a他 + 6a = 2 a ：i =04 = 0( 舍去).,得,解得上;或故 4 = 2 , 4 = 1 . . / 为以2为首项，2为公比的等比数列，% = 2 ( e N )：也 为 以 1 为首项，2为公差的等差数列，= 2 - l ( e N ) 证明： = 2 - l ( e N , ), . . . 北= 0 + 2 二1 )=/ ( N)1 1 , 1 1 1 , 1 , 1 1 , 1故- -1- - -I - L + =- H r + L H - 1 H - - - H - - - - + L + - - - - -以 7 ； T2 Tn I2 22 * l x 2 2 x 3 ( w - ),= 1 + 1 - - + - - - + L + 1- - = 2- -+-,其中” 2 3 , e N*;a-2 4 + 2 % J( 2 ) 若对任意 eN , 均有4 川= 3 。 , - 1 , 求 S,J的通项公式；( 3 ) 若对任意“ eN 均有4川 = 1,求证：52 -5 4 .an +1 4【 答案】( 1 )证 明 见 解 析 ；( 2 ) S = + - ( e N * ) ； ( 3 )证明见解析.4 2 、 7【 分析】( 1 )求出数列的通项公式，代入所证明的不等式转化求解即可；( 2 )利用递推关系，说明是首项为g,公比为3的等比数列，然后求解即可;（ 3 ）化筒数列的递推关系式，得 出 是 首 项 为 工 ，公差为工的等差数列，求出 % 的通项公式，用倒序相加法求数列的前项和，利 用 （ 1）结论进行放缩，然后证明即可.【 详解】解：（ 1）由已知 4 为等差数列，且_ 4 - 2 4 - 2一 ( 2 - 5 )( 2 + 3 ) - ( 2 - 3 )( 2 +1 )( 2 - 5 )( 2 + 3 )- ( 2 - 3 )( 2 + 1 ) = 4/一4 - 1 5 - ( 4 2 - 4 - 3 )= - 1 2 0,即( 2 / 7 - 5 )( 2 + 3 ) 0( 2 - 5 )( 2 + 3 ) ( 2 - 3 )( 2 / 7 + 1 )1111- - - + - - - +an-2 4 + 2 an-l 见+ 1 (2) % +=3% -l=% +_g=*% T1a.1 2_2公比为3的等比数列,邑 (3。 +3 3 ”01 + = 1 + = 匕 土 网 , 2、 ，2 1 1 - 3 1212 yl 4= 3T + 2 4(3 ) %J+1M + 1an即是首项为工，公差为1 的等差数列,故 = =i己 T” = S?2 S“ =- -+- 1- -1- - +- -2- F 4 -2- ,由 （ 工）知1 I l l , ,- h- -1 -， k 03n +13n( + 左 )( 2 一 人 + 1 ) 2 ( + l )4 0,111- - - - - 1- - - - - - - - 3 时，:3 看 屋27.【 答案】（ 1）0 a 证明见解析；（ 2）证明见解析；（ 3 ）证明见解析.【 分析】（ 1）先猜想：0 a . v g ，再用数学归纳法证明即可.（ 2 ）先求也+ 由 （ 1）即可证明.2 4( 3 ) 由”= ( 一1) /见，确定- 4 4 4 %，再由9= 4 + 出 + 。 3-%+ + + 4 ,根 据 ( 2 ) 由不等式证明放缩法即可求出范围.【 详解】( 1) 猜想：0 见4 ，.2用数学归纳法证明如下：(i )当 = 1时，=；，结论成立；( i i ) 假设 = % 时结论成立，即 0 4 4 ；，则 4句=；= ；(4 +； ) ，二 0 4+ 1 工；则 =% + 1时， 结论成立.( i i i ) 由 (i ) ( i i ) 可得，对任意 cN * , 0 K ；成立.( 2) -aJnL+tL -1a + 1- , 1 -a 2 4 2( 3 ) 易求得出 =i% %=a白 ， =总7，于是1) = 2, /( 2) = 4, /( 3 ) = 10, 4 ) = 3 5,4 3 2 2u 4o乙= % , b2=a2 9 瓦= % ，U = 一 %b= ( - 1)/( ， 0 an,所以 4 4an.7； = 卬 + % +% %+4 + + 4 2 6+4 +%_ %_ %- - - -an. . ” 向 ax+a2= -.又 T = q + 6 + 3 - 。 4 + 1 - - -k b“ a + a2 + a3 a4 + a5 - an,而-a4 + % + % +;%+(3)Tn aa2+a3= .综上，当心 3 时 , 泊3 喋27.9 8 . 已知数列 % 中，q = 1 4 讨= 2勺+ ( 1 丫 .( 1 ) 证明：血 +守 是等比数列；1 1 9( 2 ) 当上是奇数时，证明：丁十 广 产；ak ak + N( 3 ) 证明： + + 3.q ai a【 答案】(D 见解析.(2)见解析.(3)见解析.【 解析】分析：(1)由。 ，=2勺+ (-1)可得见M+以 一= 2 + 号 由 此 可 得 数 列 为 等 比 数 列 .(2)结 合(1)中所得的数列 4 的通项公式，利用放缩法证明即可.(3 ) 根 据 ( 2 ) 中的结论分为偶数和” 为奇数两种情况分别转化为等比数列的求和问题可证得结论成立.详解： (1) . 用 = 2。 “ + ( - 1),( 一 1) 2, - 数 歹U册+ 式 是首项为1 ，公比为2 的等比数列. 由（1）可知0 + _= 1 , 故a = 2上（二1） _ .33 3当上是奇数时，1 1 3 3 3（ 2 * + -） + 3（ 2*+1） 9 - 1 - - - - - | - - - -ak aM 2* + 1 2*+ ,-1 （2A+ l）（2A tl-1） 2*-2*+ ,+2*-19-2* 9 - = - .2仙2*+| 2,句 由 （ 2）可知，1 1 9当为偶数时，- - - + 一 01 1 1 c综上可得一 + + + 2且 e N 时，勺+ 1 = 4- |。 24 + 1 ； , 1 1 1 1（ 2）证明： + + + - - - - 生 - 1 = % ( 4_1) ，以上各式两边分别相乘得4 M - 1 = T ） ，又 q=2 ,所以知 + | =。 必- 1 。 2卬+ 1 ，故当” 2 且e N * 时，=。 。 ” 一 | 6 + 1 .（ 2）要证不等式1 -1 7 + -+ 0 ，a a2 a207因为4川 - 1 =。 “ ( 见- 1 ) , 所以一 二 = 7 一 - ,所以 - = 彳- - -二，a”+|T % T & a a - a+ l- lri, ,1 1 1 ( 1 1 W 1 1、 ( 1 1) 1 1a a2 a2017 1。1一 1 a2) ( 。 2-1 a3) ( 。2017 1 2018 ) 6 一 1 2018 一 1=1-?。 产 = 2刘7，“ ， 1 , 1 ”， 1 1 1 1所以 1- 1 -72oi7 所以一i7 + + +- “2017 2 2 1 。2 “20171 0 0 .已知数列 % 满足1 = 1 , =不，nwN*, 记 工，7；分别是数列 q ,际 的前项和，证明:1 + 4当GN时，(1) %+%; (2) Tn=-2-1； (3) 6 - S “ 0，故。 用 - 。 “ = 7 % - 可 =0，1+% 1 + 片 l + a 。 +1 %， N *;1 1 ,112c(2 ) 由- - - = 一 + ，得I-= 丁 + 。 + 2 , 从而an+l ( 向凡 = F+ ； + 2=- H ； _+Q： + 2x 2 + L = -y-+- a + a+ L + + 2/7 ,% + i % % %又, . q = l , .7；= 4 一一2/7-1 , wN*;%( 3 ) 由 ( 2 ) 知，%+1= + + 1 ，由得 ,2上2一，, 当 2 2 时，an 4- 7 = = T7=7 T=向一 ，由iH u SR Q + ,x/ (,2 -1) + V) + + (A/ / T J/7 -1) = 1 + y/2,yfn 1) V2/7+ 2 - 1 l?n- 1 ,a+i an %综上，历 -1 5 历.