第第3章章 线性电路的一般分析方法线性电路的一般分析方法和基本定理和基本定理3.1 支路电流法支路电流法3.2 网孔电流法网孔电流法3.3 节点电位法节点电位法3.4 叠加定理叠加定理3.5 代文宁定理代文宁定理3.6 最大功率传输定理最大功率传输定理小结小结 3.1 支路电流法支路电流法 1. 支路电流法支路电流法:以各支路电流为未知量列写电路方程以各支路电流为未知量列写电路方程 (1) 节点方程节点方程根据KCL，可对四个节点列出四个KCL方程：节点a:节点b:节点c:节点d:(31）图3.1复杂电路举例(2) 独立节点方程的概念独立节点方程的概念 具有n个节点的电路，只能有且一定有n-1个独立节点，也只能且一定能列出n-1个独立的KCL方程。 (3) KVL方程方程对于平面电路列写的KVL独立方程的个数正好等于网孔的个数。网孔：网孔：网孔：除此之外，都不是独立方程。如最大回路的KVL：2. 支路电流法的一般步骤支路电流法的一般步骤 (1)在给定电路图中设定各支路电流的参考方向。(2)选择()个独立节点，写出()个KCL方程。(3)选网孔为独立回路，并设定其绕行方向，列写出各网孔的KVL方程。(4)联立求解上述独立方程，得出各支路电流。 综上所述， 对以支路电流为待求量的任何线性电路，运用KCL和KVL总能列写出足够的独立方程， 从而可求出各支路电流。 例例 3.1 求图3.2所示电路中的各支路电流。 解：解： (1)假定各支路电流方向如图3.2中所示。(2)由于该电路只有两个节点，故只能列一个KCL独立方程，选节点b为参考点，则节点a：I1+I2I3=图3.2例3.1图(3)按顺时针方向列出两个网孔的KVL独立方程：2I14I2=15104I2+12I3=10a15V(4)联立求解上面三个方程，得I1=1.5,I2=0.5,I3=1其中I2为负值，说明假定方向与实际方向相反。(5)为验证所求正确与否，可选取一个未曾用过的回路列KVL方程，把求得的电流值代入方程中，若方程两边相等，说明所求值正确。取最大回路，则有:2I1+123=15将I1和I3数值代入，得左边=1.5+12=+12=15=右边说明求出的值正确无误。作业：作业： P84页页 3.1 . 网孔电流法网孔电流法 1. 网孔电流法网孔电流法由人们主观设想的在网孔中流动的电流称为网孔电流。如图.6()所示电路中的I、I、I，它们的参考方向是任意假定的。直接以设想的网孔电流为变量，对各网孔列写方程而对电路进行求解的方法称为网孔电流法。图3.6网孔电流法（33）对三个网孔列KVL方程。注意：要先设定各网孔电流的参考方向，通常设为顺时针，并且回路的绕行方向与其相同。网孔1：网孔2：网孔3：对照两图中各网孔电流与各支路电流之间的关系，可以看出，所有支路电流都可以由网孔电流来表示，即：网孔电流和支路电流的关系网孔电流和支路电流的关系2. 几点说明几点说明(1)设想的网孔电流只是一种计算手段。(2)设想的网孔电流并不违背定律。(3)各网孔电流之间相互独立，不受KCL约束，也不能互求，具有独立性。（33）网孔1：网孔2：网孔3：3. 网孔电流法的规范说明网孔电流法的规范说明令：（35）R11，R22，R33分别称为网孔1、2、3的自电阻自电阻，等于各自网孔中全部电阻之和，恒为正值。R12，R13，R23为两个网孔公共支路的电阻，称为互电阻互电阻。当相邻两个网孔电流通过公共支路时的方向一致，则互电阻为正值；不一致则为负值。当选定网孔电流都为顺时针或逆时针时，互电阻都是负的。 US11，US22，US33分别为三个网孔所有电压源电压的代数和。各电压源前面符号的确定原则为：按网孔电流的箭头方向走，先遇到负极的电压源前面取“+”号，反之取“-”号。4. 网孔电流法的一般步骤网孔电流法的一般步骤 (1)确定网孔及设定各网孔电流的参考方向。(2)建立网孔方程组。方程个数网孔个数。(3)求解方程组，即可得出各网孔电流值。 (4)设定各支路电流的参考方向，根据所求出的网孔电流即可求出各支路电流。规范方程：解解 ()将左边两个网孔合并为一个网孔，则可减少一个网孔。设定各网孔电流方向如图3.7(b)中所示，则有:图3.7例3.3图例例 3.3试求图3.7(a)电路中的电流I。()将上述数值代入规范方程，则有:()联立求解,可得:则：例例3.4试求图3.8所示电路中各支路电流及电流源两端电压U。图3.8解：将图（a）改为图（b）所示。设定各网孔电流如图所示。则：I=2A5I3I4所以：I0.4A各支路电流为：I1I=0.4AI2I=2A I3=I1+I2=1.6A所以电流源两端电压为：U=52+31.614.8V作业：P853.53.3 节节 点点 电电 位位(电压）电压） 法法直接以独立节点电位为变量列写其KCL方程而对电路进行求解的方法称为节点电位法。独立方程的个数等于独立节点的个数，为n-1。非独立节点为独立节点的参考点。图3.17节点电位法假定取节点4作为参考点，即，节点1、2、3为独立节点。设各支路电流的参考方向如图所示，则KCL为：节点1：节点2：节点3：（37）为使方程中含有变量、和,则根据欧姆定律，可得:将式(38)代入式(37),并经整理后，得:（38）（39）式(39)中各方程称为节点电位方程,从这个方程组解出节点电位值后,代入式(38),就可求出各支路电流。 2. 说明说明(1)节点电位方程实质上还是KCL方程。节点电位法只是求解支路电流的一种过渡手段，适用于节点少而网孔多的电路。(2)各独立节点电位之间相互独立，不受KVL约束，不能互求。3. 节点电位法规范方程节点电位法规范方程在式（3-9）中，令：这样式(39)可写成：（310）规范方程G11，G22，G33分别称为节点1，2，3的自电导，等于与各节点相连接的所有支路电导之和，恒为正值。G12，G13，G23分别为两个节点之间的电导，称为互电导，恒为负值。IS11、IS22、IS33分别为流入各节点的电流源电流的代数和，确定其正负的原则为：流入节点为“+”，流出节点为“”。推广到多节点：规范方程：4. 节点电位法的一般步骤节点电位法的一般步骤(1)选取参考节点。(2)建立节点电位方程组。(3)求解方程组，即可得出各节点电位值。(4)设定各支路电流的参考方向，根据欧姆定律和各节点电位值即可求出各支路电流。 图3.18例3.8图例例 3.8求图3.18所示电路中的电流I。解解(1)取节点4为参考点。(2)建立方程组：可作为1A电流源并联一个电阻a(3)联立求解，得：(4)故得节点方程为：4=02=建立节点方程组：节点1：212=2节点3：2+23=联立求解，得1=2.5，=0.5 例例 3.9列出图3.19所示电路的节点电位方程并求解。解解 ：因与2A电流源串联的1电阻不会影响其它支路电流，故在列写节点方程时均不予考虑，选择参考点如图中所示，则：图3.19例3.9图选取节点3为参考点，即 3=0建立节点方程组：节点1：2124=2节点2：1+22=I节点4：1+24=I辅助方程：24=3联立求解，得1=2，2=2.5V,4=0.5将和理想电压源相连的节点设为参考点所列方程少随堂练习：随堂练习：P66 3.3-3作业：作业：P86页页 3.13 图3.20例3.10图例例3.10试用节点电压法，求图3.20所示电路中的电流。解解该电路只有两个节点，用节点电位法最为简便，则：ab0只须列一个独立节点方程，以b点为参考点，得：这个方程的普遍形式为：该式称为弥尔曼定理，它实际上是节点电位法的一种特殊情况。在上式中，电压源的各项实际上是代数和。凡参考正极连接在独立节点上的，该项取“+”，反之取“”。将相关数值代入，解之，可得 3.4 叠加定理叠加定理1. 叠加定理叠加定理对图3.27列网孔电流方程为：网孔：网孔：求解，可得：(3-13)图3.27当IS0时（即电流源IS开路，电路其余部分保持不变），只有US单独作用，如图3.27（b）所示，此时：图3.27当US0时（即电压源US短路，电路其余部分保持不变），只有IS单独作用，如图3.27（c）所示，此时：图3.27由以上两式可得：与3-13式相同结论结论：两个独立源US和IS同时作用在电路中产生的响应电流I1，等于每个独立源独立作用时在电路中产生的响应电流I1和I1的代数和。该结论推广到一般线性电路中，可得叠加定理叠加定理：在线性电路中，任一支路的响应（电压或电流）都等在线性电路中，任一支路的响应（电压或电流）都等于电路中各个独立源（激励）单独作用时在该支路产于电路中各个独立源（激励）单独作用时在该支路产生的响应的代数和。生的响应的代数和。用叠加定理分析电路的步骤实际上就是单个独立源作用于电路中，求相应的电流或电压。 2. 应用叠加定理时应注意以下几点：应用叠加定理时应注意以下几点：(1)应用叠加定理时，应保持电路结构及元件参数不变。电压源短路，电流源开路。(2)在叠加时，必须注意各个响应分量是代数和。与总相应取向一致，叠加时取“+”，反之取“”。(3)叠加定理只适用于求解线性电路中的电压和电流，而不能用来计算电路的功率。3.齐次定理齐次定理即在线性电路中当全部激励(独立电压源或独立电流源)同时增大(或缩小)K倍(K为任意常数)时，其响应也相应增大(或缩小)K倍。显然，当线性电路中只有一个激励时，根据齐次定理，响应与激励成正比。 例例 3.13用叠加定理求图3.28(a)所示电路中的I1和U。解解因图中独立源数目较多，每一独立源单独作用一次，需要做4次计算，比较麻烦。故可采用独立源“分组”作用的办法求解。图3.28例3.13图(1)两个电压源同时作用时，可将两电流源开路，如图3.28(b)所示。依图3.28(b)，有图3.28例3.13图(2)两个电流源同时作用时，可将两电压源短路。如图3.28(c)所示。由于2A电流源单独作用时，3A电流源开路，使得中间回路断开，故I1”仅由3A电流源决定。依图3.28(c)，有所以:作业：P723.4-1P863.19例例 3.15求图3.30所示电路中的各支路电流。 解解本例题为一梯形电路，利用齐次定理求解比较方便。图3.30例3.15图设则：现已知U=129V，即电源电压增大了129/32.25倍，即K=129/32.25=，因此，各支路电流也相应增大倍。所以:本例计算是先从梯形电路距离电源最远的一端算起，倒退到电源处。通常把这种方法称为“倒退法”。可以先对某个响应设一便于计算的值，如本例设I5=1A。依此计算出的结果，再按齐次定理予以修正。这对于计算梯形电路元件数目较多的情况尤显方便。3.5 代文宁定理代文宁定理1.二端网络的含义二端网络的含义具有两个引出端钮的电路。有源无源内部是否含有独立电源图3.37N有源R(b)外电路2. 代文宁定理代文宁定理一个线性有源二端网络N，如图3.38(a)所示，对外电路而言，总可以用一个电压源等效代替。如图3.38(b)所示。其中电压源的电压等于有源二端网络的开路电压Uoc。如图3.38(c)所示，其内阻R0等于网络N中所有独立源均为零值时所得无源二端网络N的等效内阻Rab,如图3.38(d)所示。该电压源和电阻串联的支路称为代文宁等效电路。图3.38代文宁定理代文宁等效电路的电压源的极性必须与开路电压的极性保持一致3. 等效电阻在不能用电阻串、等效电阻在不能用电阻串、 并联公式计算时，并联公式计算时， 可可用下列两种用下列两种 方法求得：方法求得： (1)外加电压法：使网络N中所有独立源均为零值(注意受控源不能作同样处理)，得一个无源二端网络N，然后在N两端钮上施加电压U，如图3.39所示，计算端钮上的电流I，则图3.39用外加电压法求R0图3.40用短路电流法求R0(2)短路电流法：分别求出有源网络N的开路电压Uoc和短路电流ISC(注意：此时有源网络N内所有独立源保留不变)。由图3.40(b)可见：由此可得:应当注意：当Uoc=ISC=0时，此法即失效。例例3.18 用代文宁定理求图3.41(a)电路中I、U。图3.41例3.18图解解: 根据代文宁定理，将R支路以外的其余部分所构成的二端网络，用一个电压源Uoc和电阻R0相串联去等效代替。(1)求Uoc：将R支路断开，如图3.41(b)所示。用叠加定理可求得:(2)求R0：将两个独立源变为零值，即将2V电压源短路，而将1A电流源开路，如图3.41(c)所示。可求得:(3)根据所求得的Uo和R0，可作出代文宁等效电路，接上R支路如图3.41(d)所示，即可求得:练习：练习：P87 3.24作业：作业：P87页页 3.25例例3.19试用代文宁定理求图3.42(a)所示电路中流过4电阻的电流。解解:本题如果只用一次代文宁定理，直接求出4电阻支路以左的等效电压源，则计算开路电压将会很麻烦。为此，可以逐次应用代文宁定理。先求图3.42(a）中ab以左的代文宁等效电路，于是有:图3.42例3.19图这样可得到图3.42(b)。在图3.42(b)中，再求cd以左的代文宁等效电路，于是有：这样可得到图3.42(c)。在图3.42(c)中，再求ef以左的代文宁等效电路，于是有：最后得图3.42(d)。由此可求得： 3.6 最大功率传输定理最大功率传输定理 1. 最大功率传输定理最大功率传输定理图3.50最大功率传输定理实际电压源产生的功率：消耗在内阻R0上传送至负载如何得到最大功率电路中的电流为：当RL变化时，负载上要得到最大功率必须满足的条件为:（314）负载电阻上的功率为：故:即：用图3.50(b)所示的电路，同样可以在ISC和R0为定值的前提下，推得当RL=R0时，负载上得到的功率为最大，其最大功率为:解得RL=R0，即当RL=R0时，负载上得到的功率最大。将RL=R0代入式(314)即可得最大功率为:（315）（316）用实际的电压源或电流源向负载供电，只有当负载电阻等于电源内阻时，负载上才能获得最大功率。其最大功率为Pmax=U2o/（4R0）(对于电压源)或Pmax=R0ISC/4(对于电流源)。此结论称为最大功率传输定理最大功率传输定理。 2. 匹配概念与正确理解最大功率传输定理匹配概念与正确理解最大功率传输定理通常把负载电阻等于电源内阻时的电路工作状态称为匹配状态。应当注意的是，不要把最大功率传输定理理解为：要使负载功率最大，应使实际电源的等效内阻0等于L。必须指出：由于0为定值，要使负载获得最大功率，必须调节负载电阻L(而不是调节0)才能使电路处于匹配工作状态。 例例 3.23在图3.51(a)所示电路中，若已知：当R5=时，I5=20；当R5=2时，I5=50，问R5为何值时，它消耗的功率最大?此时最大功率为多少?解解 ：根据代文宁定理，可将5支路以外的其余部分所构成的有源二端网络用一个电压源Uoc和电阻R0相串联去等效代替，如图3.51(b)所示，则有图3.51例3.23依题条件可列方程组:联立求解，得:根据最大功率传输定理可知，当5=R0=2时，5可获得最大功率，为:例例 3.25求图3.53(a)所示电路中RL为何值时能取得最大功率，该最大功率是多少?图3.53例3.25图解解()断开L支路用叠加定理求Uoc。16电压源单独作用时，如图3.53(b)所示，根据分压关系，有:电流源单独作用时，如图3.53(c)所示，根据分流关系，有:所以:()求R0，将16V电压源和1电流源均变为零，如图3.53(d)所示，可得:()根据求出的UOC和R0做出代文宁等效电路，并接上L，如图3.53(e)所示，根据最大功率传输定理可知，当:时，可获得最大功率，这时，L吸收的功率为作业：作业： P83 3.6-1练习：练习： P88 3.31小小 结结(1)以支路电流作变量列写独立节点的KCL方程，再补充和网孔个数相同的KVL方程(变量仍是支路电流)，联立后足以解出全部支路电流，这就是支路电流法。此法优点是直观，所求就是支路电流，且可用电流表进行测量。缺点是当支路多，变量多，求解过程麻烦，不宜于手工计算。(2)以假想网孔电流作变量列写和网孔个数相同的KVL方程，联立求解求出网孔电流，进而通过网孔电流与支路电流的关系再求出支路电流，或者期望再求出其它电路变量，这就是网孔电流法。对于含有理想电流源，在不能将其转移成某个网孔电流时，可采取设其两端电压，来增加变量，进而增加方程。对于含有受控源的电路，其分析方法和步骤与只含独立源电路的分析完全相同，只是要将受控变量用待求的网孔电流变量表示作为辅助方程。此法优点：同一电路所需方程数目较支路电流法少，列写方程的规律易于掌握。缺点是不直观，有的网孔电流不能用电流表测试。(3)以独立节点的电位作为变量依KCL(连同欧姆定律)列写节点电位方程，求解出节点电位，进而求得各支路电流或欲求的其它电路变量，这就是节点电位法。此法优点是所需方程个数少于支路电流法，特别是节点少而支路多的电路用此法尤显方便，列写方程的规律易于掌握。缺点是对于一般给出的电阻参数、电压源形式的电路求解方程工作量较大。(4)叠加定理是线性电路叠加特性的概括表征，其重要性不仅在于用此法分析电路本身，而且在于它为线性电路的定性分析和一些具体计算方法提供了理论依据。(5)代文宁定理是等效变换法分析电路最常用的定理，它表明任何一个有源二端网络总可以用一个极其简单的等效电路去代替。解题三步骤：即求开路电压求等效内阻画出等效电路接上待求支路，最终根据最简单电路求待求量。对于含有受控源的电路，在计算等效电压源时，要注意控制量随二端网络对外端口的开路应作相应的变化(短路、开路、改变方向或极性)；在求等效内阻时，只能用外加电压法或短路电流法。(6)最大功率传输定理阐明了在通信技术中，变换的负载为获得最大功率而应当满足的条件，即RL=R0。此最大功率为U2o/4R0或1/4R0I2SC。