1.2.3导数的四则运算法则第一章1.2导数的运算学习目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点一导数的四则运算法则f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案思考2答案G(x)f(x)g(x)，H(x)f(x)g(x).思考3答案导数的四则运算法则(1)设f(x)，g(x)是可导的，则：梳理梳理法则语言叙述f(x)g(x) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数_f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上_f(x)g(x)和(或差)第一个函数乘上第二个函数的导数_两上函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以_分母的平方特别提醒：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导.(2)af(x)bg(x)af(x)bg(x).Cf(x)知识点二复合函数yf(u(x)的导数题型探究例例1求下列函数的导数.(1)yx3ex；解答类型一利用导数的四则运算法则求导解解y(x3)exx3(ex)3x2exx3exx2(3x)ex.(3)yx2log3x；解答求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数.(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.反思与感悟0答案解析解答(2)求下列函数的导数.解解 解答y(x1)(x3)(x5)；解解方法一y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23.方法二y(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x5)x39x223x15，y(x39x223x15)3x218x23.解答解答类型二简单复合函数求导例例2求下列函数的导数.(1)yecos x1；解答解解设yeu，ucos x1，则yxyuuxeu(sin x)ecos x1sin x.(2)ylog2(2x1)；解解设ylog2u，u2x1，解答解解设y ，u12x，则yxyuux( )(12x)求复合函数导数的步骤(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系yf(u)，ug(x).(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求yu，再求ux.(3)计算yuux，并把中间变量转化为自变量.整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2(1)函数f(x)(2x1)5，则f(0)的值为_.答案10解析解析解析f(x)5(2x1)4(2x1)10(2x1)4，f(0)10.解答(2)求下列函数的导数.解答ya12x(a0，a1).解解令yau，u12x，则yxyuuxauln a(2)a12xln a(2)2a12xln a.类型三导数运算法则的综合应用例例3(1)已知函数f(x) 2xf(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；解答命题角度命题角度1利用导数求函数解析式利用导数求函数解析式解答(2)设f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f(x)xcos x.(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f(1)，注意f(1)是常数.(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值.完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则.反思与感悟答案解析1则f(1)1.例例4(1)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_.命题角度命题角度2与切线有关的问题与切线有关的问题答案解析(e，e)解析解析设P(x0，y0).yxln x，又k2，1ln x02，x0e.y0eln ee.点P的坐标是(e，e).解答(2)已知函数f(x)ax2bx3(a0)，其导函数为f(x)2x8.求a，b的值；解解因为f(x)ax2bx3(a0)，所以f(x)2axb，又知f(x)2x8，所以a1，b8.解答设函数g(x)exsin xf(x)，求曲线g(x)在x0处的切线方程.解解由可得g(x)exsin xx28x3，所以g(x)exsin xexcos x2x8，所以g(0)e0sin 0e0cos 02087.又知g(0)3，所以g(x)在x0处的切线方程为y37(x0)，即7xy30.(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.反思与感悟答案解析1解答(2)曲线yesin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程.解解设usin x，则y(esin x)(eu)(sin x)cos xesin x，即y|x01，则切线方程为y1x0，即xy10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为xyc0.故直线l的方程为xy30或xy10.当堂训练1.设y2exsin x，则y等于A.2excos x B.2exsin xC.2exsin x D.2ex(sin xcos x)答案2233445511解析解析解析y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x).答案2233445511解析3.曲线y 在点(1，1)处的切线方程为A.y2x1 B.y2x1C.y2x3 D.y2x22233445511解析答案切线方程为y12(x1)，即y2x1.4.设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.2233445511答案2解析解析解析由题意知y|x0aeax|x0a2.5.在曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线的方程为_.答案解析22334455113xy110解析解析y3x26x63(x22x2)3(x1)233，当x1时，斜率最小，此时切点坐标为(1，14)，切线方程为y143(x1)，即3xy110.规律与方法1.应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错.2.注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“”，而商的导数公式中分子上是“”.3.求复合函数的导数应处理好以下环节：(1)正确分析函数的复合层次.(2)中间变量应是基本初等函数结构.(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导.(4)善于把一部分表达式作为一个整体.(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.本课结束