二次函数（一般式）图象和性质二次函数（一般式）图象和性质陈国彬陈国彬1 的顶点坐标是的顶点坐标是_，对称轴是对称轴是_ 2怎样把怎样把 的图象移动，便可得到的图象移动，便可得到 的图象？的图象？ （h，k） 复习提问复习提问直线直线xh 3 的顶点坐标是的顶点坐标是 ，对称轴是对称轴是 (2，5) 直线直线 x2 4在上述移动中图象的开口方向、形状、在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？有变化？ 有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状没有变化的：抛物线的开口方向、形状 我们复习了将抛物线我们复习了将抛物线 向左平移向左平移2个单位个单位再向下平移再向下平移5个单位就得到个单位就得到 的图的图象，将象，将 化为一般式为化为一般式为 ，那么如何将抛物线，那么如何将抛物线 的图的图像移动，得到的像移动，得到的 图像呢？图像呢？ 新课新课 的图象怎样平的图象怎样平移就得到移就得到那么一般地，函数那么一般地，函数的图象呢？的图象呢？ 1用配方法把用配方法把化为化为的形式。的形式。 的形式，求出顶点坐标和对称轴。的形式，求出顶点坐标和对称轴。例例1 用配方法把用配方法把化为化为解： 顶点坐标为（顶点坐标为（3，2），对称轴为），对称轴为x3答案：答案： ，顶点坐标是，顶点坐标是(1，5)，对称轴是直线对称轴是直线 x1 的形式，求出顶点坐标的形式，求出顶点坐标和对称轴。和对称轴。练习练习1 用配方法把用配方法把化为化为 的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ ”类似具体演算如下：化为化为的形式。的形式。2用公式法把抛物线用公式法把抛物线把变形为所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线。 的形式，求出对称轴和顶点坐标例例2 用公式法把化为解：在中，顶点为（1，2），对称轴为直线 x1。 的形式，并求出顶点坐标和对称轴。答案： ，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x2练习练习2 用公式法把化成3图象的画法图象的画法 步骤：1利用配方法或公式法把化为的形式。2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。 的图像，利用函数图像回答：例例3 画出(1)x取什么值时，y0？(2)x取什么值时，y0？(3)x取什么值时，y0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？分析：分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是，对称轴是x2. (2) 当当x1时，y0，即，即图象与象与x轴交于点交于点(1，0)，根据，根据轴对称，很容易称，很容易知道知道(1 ，0)的的轴对称点是点称点是点(3，0) 又当又当x0时，y6，即，即图象与象与y轴交于点交于点(0，6)，根据，根据轴对称，很容易知道称，很容易知道(0，6)的的轴对称点是点称点是点(4，6)用光滑曲用光滑曲线把五个点把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，6)，(4，6)连结起来，就是起来，就是的的图象。象。 解：列表xy2210063046（2,2）x=2（0,6）（1,0）（3,0）（4,6）由图像知：由图像知：(1)当当x1或或x3时，时， y0；(2)当当1x3时，时， y0；(3)当当x1或或x3时，时， y0；(4)当当x2时，时， y有最大值有最大值2。xy练习练习3 画出画出的图像。的图像。x10123y52125x=1y=x22x2 （3）开口方向：当）开口方向：当 a0时，抛物线开时，抛物线开口向上；当口向上；当 a0时，抛物线开口向下。时，抛物线开口向下。4二次函数二次函数的性质：的性质：（1）顶点坐标）顶点坐标（2）对称轴是直线）对称轴是直线如果如果a0，当，当时，函数有最小值，时，函数有最小值，如果如果a0，当，当时，函数有最大值，时，函数有最大值，（4）最值：）最值：若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；当当时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；当时，时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。（5）增减性：）增减性： 与与y轴的交点坐标轴的交点坐标为（为（0，c）(6)抛物线抛物线与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线抛物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为，其中，其中为方程为方程的两实数根的两实数根 与与x轴的交点情况轴的交点情况可由对应的一元二次方程可由对应的一元二次方程(7)抛物线抛物线的根的判别式判定：的根的判别式判定： 0有两个交点有两个交点抛物线与抛物线与x轴相交；轴相交； 0有一个交点有一个交点抛物线与抛物线与x轴相切；轴相切； 0没有交点没有交点抛物线与抛物线与x轴相离。轴相离。例例4 已知抛物线已知抛物线k取何值时，抛物线经过原点；取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在y轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在x轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。 ，所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上。 ，所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点；抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，所以 ，所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上。抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即，整理得，解得：由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。所以当x2时， 。解法一（配方法）：例例5 当当x取何值时，二次函数取何值时，二次函数 有最大值有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？或最小值，最大值或最小值是多少？因为所以当x2时， 。因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；(2)用公式法解法二（公式法）：又例例6已知函数已知函数 ，当，当x为何值为何值时，函数值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。随自变量的值的增大而减小。解法一： ， 抛物线开口向下， 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。 解法二：，抛物线开口向下， 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。例例7 已知二次函数已知二次函数的最大值是的最大值是0，求此函数的解析式，求此函数的解析式解：解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组由解方程得所求函数解析式为。 相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若a0开口向上；5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。a0开口向下。5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故若b0对称轴为y轴，若a，b同号对称轴在y轴左侧，5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)， c0抛物线经过原点；c0与y轴交于正半轴； c0与y轴交于负半轴。例例8 已知如图是二次函数已知如图是二次函数yax2bxc的图的图象，判断以下各式的值是正值还是负值象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc分析：已知的是几何关系分析：已知的是几何关系(图形的位置、图形的位置、形状形状)，需要求出的是数量关系，所以应，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用发挥数形结合的作用解：解：(1)因为抛物线开口向下，所以因为抛物线开口向下，所以a0；判断判断a的符号的符号(2)因为对称轴在因为对称轴在y轴右侧，所以轴右侧，所以，而，而a0，故，故b0；判断判断b的符号的符号(3)因为因为x0时，时，yc，即图象与即图象与y轴交轴交点的坐标是点的坐标是(0，c)，而图中这一点在而图中这一点在y轴轴正半轴，即正半轴，即c0；判断判断c的符号的符号(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标因为顶点在第一象限，其纵坐标 ，且，且a0，所以所以，故，故。判断判断b24ac的符号的符号 ，且且a0，所以所以b2a，故，故2ab0；(5)因为顶点横坐标小于因为顶点横坐标小于1，即，即判断判断2ab的符号的符号(6)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，点时，点的纵坐标为正值，即的纵坐标为正值，即a12b1c0，故故abc0；判断判断abc的符号的符号(7)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，时，点的纵坐标为负值，即点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判断判断abc的符号的符号