上页下页返回第四章第四章 抽样分布抽样分布 4.1 统计量统计量(Statistics)4.2 抽样分布（抽样分布（sample distribution）上页下页返回课题课题: :“关于南京市居民教育文化消费的调查与分析关于南京市居民教育文化消费的调查与分析”1.问题的提出问题的提出选择一定的方法选择一定的方法,调查南京市居民的教育文化调查南京市居民的教育文化消费情况消费情况, 并作出科学定量的分析并作出科学定量的分析.2.问题的假设问题的假设城市居民城市居民;年年;月月;消费范围消费范围3.问题的分析问题的分析消费额为一随机变量消费额为一随机变量 ,如分布已知如分布已知,那么那么,问题回答问题回答;实际其分布未知实际其分布未知!上页下页返回 (1)平均消费额多少平均消费额多少? 差异性如何差异性如何? (2)平均消费额的大致范围多少平均消费额的大致范围多少? 差异性变化范围如何差异性变化范围如何?你所作你所作 的判断的风险怎样的判断的风险怎样?(3)消费额消费额 的分布类型怎样的分布类型怎样? 是正是正 态分布的吗态分布的吗?(4)对以往的研究或某一结论对以往的研究或某一结论,根据你根据你的调查与分析的调查与分析, 差异明显吗差异明显吗?同意吗同意吗?(5)消费与可支配收入有关消费与可支配收入有关,怎样定量怎样定量描述描述?是否可以预测是否可以预测?反之能控制吗反之能控制吗?其其它如价格它如价格,预期预期,趋向趋向.统计估计讨论统计估计讨论(1)(2)假设检验讨论假设检验讨论(3)(4)回归分析讨论回归分析讨论(5)上页下页返回估计模型估计模型(第五章第五章)检验模型检验模型(第六章第六章)回归模型回归模型(第七章第七章)上页下页返回建模的准备建模的准备: :如何取得数据如何取得数据? ?怎样加工怎样加工? ?怎样科学推断怎样科学推断? ?为什么为什么? ?上页下页返回 4.1 统计量统计量3. 测量值的误差测量值的误差一一. 总体与样本总体与样本总体总体(population)：研究对象的全体：研究对象的全体个体个体(individual)：组成总体的每个单元（每一个：组成总体的每个单元（每一个研究对象）研究对象）例：例： 1. 某城市居民的家庭年消费某城市居民的家庭年消费2. 灯泡的寿命灯泡的寿命样本：从总体中抽出的部分个体组成的集合（子样）样本：从总体中抽出的部分个体组成的集合（子样） 总体容量总体容量(size of a sample)：总体所含个体的数量：总体所含个体的数量上页下页返回总体：随机变量总体：随机变量X样本样本(sample)：样本容量：样本容量：样本观察值：样本观察值：简单随机抽样（简单随机抽样（simple random sampling）：）：（一）（一） 总体中每个个体被抽到的机会均等；总体中每个个体被抽到的机会均等；（二）（二） 样本具有独立性样本具有独立性.相互独立且与总体相互独立且与总体 具有相同的分布具有相同的分布 由简单随机抽样所得样本由简单随机抽样所得样本简单随机样本（简单随机样本（simple random sampling）：）：上页下页返回二二. 统计量（统计量（statistic）定义定义4.1 是来自总体是来自总体 的一个样本，的一个样本， 是一个连续函数，是一个连续函数， 中不含任何未知中不含任何未知数，称数，称 为统计量。为统计量。例：例： ， 已知，已知， 未知未知上页下页返回常用的统计量：常用的统计量：1. 样本均值样本均值 （sample mean） 2. 样本方差样本方差 （sample variance 修正样本方差修正样本方差 ）未修正的样本方差未修正的样本方差3. 样本标准差样本标准差 上页下页返回 较大时，较大时，4. 样本的样本的 阶原点矩阶原点矩5. 样本的样本的 阶中心矩阶中心矩上页下页返回4.2 抽样分布（抽样分布（sample distribution）抽样分布：统计量的分布。（抽样分布：统计量的分布。（*有些含有未知参数有些含有未知参数 的随机样本函数的分布也称抽样分布）的随机样本函数的分布也称抽样分布）一一. 样本均值的分布样本均值的分布定理定理4.1 ， 来自总体来自总体 的一的一个样本，则个样本，则 服从均值为服从均值为 ，方差为，方差为 的正态分的正态分布。布。 上页下页返回证：证： ， ，定理定理4.2 任意总体，任意总体， ， ，来自来自 的一个样本，当的一个样本，当 充分大，充分大， 近似服从正态近似服从正态分布分布由中心极限定理，当由中心极限定理，当 充分大时充分大时上页下页返回近似服从近似服从近似服从近似服从由中心极限定理，当由中心极限定理，当 充分大时充分大时结论结论:样本均值样本均值 的分布服从或近似服从正态分布的分布服从或近似服从正态分布.上页下页返回1. 定义定义随机变量随机变量二二. 分布分布其中其中 是是 函数，称函数，称 服从自由度为服从自由度为 的的 分布分布上页下页返回上页下页返回相互独立相互独立2. 分布的典型模式分布的典型模式期望与方差期望与方差: 上页下页返回推论推论：推广推广独立同分布独立同分布3. 分布的可加性分布的可加性相互独立相互独立上页下页返回4. 样本方差的分布（与样本方差的分布（与 有关的分布）有关的分布）定理定理4.5 来自总体来自总体 的样本的样本 Note：只有来自正态总体的样本方差和样本均值才独立。：只有来自正态总体的样本方差和样本均值才独立。5. 分布的自由度和分位数分布的自由度和分位数（1）自由度）自由度上页下页返回（2） 分布的上侧分位点分布的上侧分位点上页下页返回例例1. ，求，求 ，使，使例例2. 设设 为取自总体为取自总体 的样的样 本，求本，求解：解：解：解：上页下页返回，且相互独立，且相互独立注：当注：当 近似服从近似服从 上页下页返回三三. 分布（学生氏分布）分布（学生氏分布）1. 定义定义 随机变量随机变量 的密度函数的密度函数称称 服从自由度为服从自由度为 的的 分布，记分布，记（1）图形关于直线）图形关于直线 对称；对称；（2） 较大时，与标准正态密度曲线接近。较大时，与标准正态密度曲线接近。上页下页返回上页下页返回2. 分布随机变量的典型模式分布随机变量的典型模式相互独立相互独立3. 服从服从 分布的统计量（与分布的统计量（与t分布有关的分布）分布有关的分布）来自总体来自总体 的样本的样本 期望与方差期望与方差:上页下页返回与与 相互独立相互独立证：证：上页下页返回定理定理4.8 取自取自取自取自两组样本相互独立两组样本相互独立其中其中注：注：上页下页返回证：证：上页下页返回4. 分布的双侧分位数分布的双侧分位数例例3： （1）求）求 的双侧分位数；的双侧分位数；（2） ，求，求 ；解解（1）（3） ，求，求 .（2） ，（3）自由度为自由度为 的的 分布的分布的 水平双侧分位数水平双侧分位数上页下页返回来自总体来自总体 的样本，且的样本，且 例例4.，求证：，求证：证：证：上页下页返回1. 定义定义 ： 随机变量随机变量 的概率密度为的概率密度为四四. 分布分布则称则称 服从自由度为服从自由度为 和和 的的 分布，分布， 称第一自由称第一自由度，度， 称第二自由度，记作称第二自由度，记作上页下页返回上页下页返回2. 分布随机变量的典型模式分布随机变量的典型模式相互独立相互独立推论：推论：上页下页返回F分布的统计量（与分布的统计量（与F分布有关的分布）分布有关的分布）取自取自取自取自两组样本相互独立两组样本相互独立上页下页返回证：证：Note：当：当 时，时，上页下页返回自由度为自由度为 和和 的的 分布分布 水平的上侧分位数水平的上侧分位数4. 分布的上侧分位数分布的上侧分位数上页下页返回例例5. ，求，求 使使解：解：上页下页返回来自总体来自总体 的样本，求的样本，求 例例6.的分布的分布.解：解：