概率统计概率统计 习题课习题课 三三一、填空题一、填空题设设则则解解因为因为所以所以又因为又因为故故已知已知 的分布律为的分布律为且且 与与 独立独立 ,则则解解因为因为 与与 独立独立 , 所以所以即即联立联立得到得到二、选择题二、选择题已知已知 相互独立相互独立 , 且分布律为且分布律为那么下列结论正确的是那么下列结论正确的是_.以上都不正确以上都不正确解解因为因为 相互独立相互独立 , 所以所以故故设离散型随机变量设离散型随机变量 的联合分布律为的联合分布律为且且 相互独立相互独立 ,则则_.解解所以所以即即因为因为 相互独立相互独立 ,又因为又因为故故解得解得或者或者设设那么那么的联合分布为的联合分布为_.二维正态分布二维正态分布,且且二维正态分布二维正态分布,且且 不不定定未必是二维正态分布未必是二维正态分布以上都不对以上都不对当当 相互独立相互独立时时 , 则则 的联的联合分布为合分布为 .三、解答题三、解答题 1.把一枚均匀硬币抛掷三次把一枚均匀硬币抛掷三次,设设X为三次抛掷为三次抛掷中正面出现的次数中正面出现的次数, 而而 Y 为正面出现次数与反面出为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值现次数之差的绝对值, 求求 (X ,Y) 的分布律与边缘的分布律与边缘分布分布 . ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)PX=0, Y=3PX=1, Y=1 PX=2, Y=1PX=3, Y=0=3/8=3/8解解PX=0=PX=1=PX=2=PX=3=PY=1=PY=3=1/8,PX=0, Y=1+PX=0, Y=3=3/8,PX=1, Y=1+PX=1, Y=3=3/8,PX=2, Y=1+PX=2, Y=3PX=3, Y=1+PX=3, Y=3 =1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.(X ,Y) 关于关于 X 的边缘分布的边缘分布 (X ,Y) 关于关于 Y 的边缘分布的边缘分布 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 的联合分布函的联合分布函数为数为求求 的值的值 ,求求 的联合密度的联合密度 ,判断判断 的独立性的独立性 .解解由由得到得到解得解得可见可见故故 相互独立相互独立 .的联合密度为的联合密度为 可见可见故故 相互独立相互独立 .设设 相互独立且服从相互独立且服从 ,求方程求方程有实根的概率有实根的概率 ,并求当并求当 时这时这概率的极限概率的极限.解解相互独立且服从相互独立且服从 , 所以所以的联合密度为的联合密度为方程方程 有实根的概率为有实根的概率为当当 时时,当当 时时,因而因而可见可见4. 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求 (1) A的值的值 (2) (X,Y)的分布函数的分布函数 (3) 两个边缘密两个边缘密度度.A =24.解解 (1)故故积分区域积分区域区域区域解解 (2)当当 时时, 不论不论 还是还是 ,都有都有暂时固定暂时固定当当 时时,当当 时时,当当 时时, 当当 时时, 当当 时时, 当当 时时,综上综上解解(3)当当 时时当当 时时,暂时固定暂时固定注意取值范围注意取值范围综上综上 ,当当 时时,解解 (2) 综上综上 ,注意取值范围注意取值范围5. 设设 (X,Y ) 的概率密度是的概率密度是 (1) X 与与Y 是否相互独立是否相互独立?(2) 求求 (3) 求求 概率密概率密度度.解解 (1)因为因为所以所以 X 与与Y 不独立不独立 .(2)当当 时时,故故暂时固定暂时固定当当 时时,故故暂时固定暂时固定(3)Z=X+Y 的密度函数为的密度函数为暂时固定暂时固定当当 时时,当当 时时,当当 时时,四、证明题四、证明题在区间在区间 0,1上随机地投掷两点上随机地投掷两点,试证这两点间的试证这两点间的距距 离的密度函数为离的密度函数为证明证明设这两个随机点分别为设这两个随机点分别为 X , Y , 则有则有于是于是 X , Y 的概率密度的概率密度分别为分别为所以所以 X , Y 的联合密度为的联合密度为 因为因为 X , Y 相互独立相互独立 ,这两个随机点这两个随机点 X , Y 的距离为的距离为 .Z 的分布函数为的分布函数为暂时固定暂时固定当当 时时,当当 时时,当当 时时,当当 时时,当当 时时,综上综上