第二章第二章 道路与回路道路与回路2.1道路与回路道路与回路l定义2.1.1 有向图 中，若边序列 ，其中 满足是 的终点，是 的始点，就称 是 的一条有向道路。如果的终点也是 的始点，则称 是 的一条有向回路。道路与回路道路与回路l 如果 中的边没有重复出现，则分别称为简单有向道路和简单有向回路。进而，如果 中结点也不重复出现，又分别称它们是初级有向道路和初级有向回路简称为路和回路。显然，初级有向道路(回路)一定是简单有向道路(回路)。道路与回路道路与回路l定义2.1.2 无向图 中，若点边交替序列 满足 是的两个端点,则称 是 中的一条链或道路。如果，则称 是 中的一个圈，或回路。 如果 中没有重复出现的边，称之为简单道路或简单回路，若其中结点也不重复，又称之为初级道路或初级回路。道路与回路道路与回路l定义2.1.3 设 是无向图，若 的任意两结点之间都存在道路，就称 是连通图，否则称为非连通图。 如果 是有向图，不考虑其边的方向，即视为无向图，若它是连通的，则称 是连通图。 若连通子图 不是 的任何连通子图的真子图，则称 是 的极大连通子图，或称连通支。显然 的每个连通支都是它的导出子图。 道路与回路道路与回路l定义2.1.4 设 是简单图 中含结点数大于3的一个初级回路，如果结点 和 在 中不相邻，而边 ，则称 是 的一条弦。道路与回路道路与回路l证明：若对每一个证明：若对每一个 ，都有，都有 ，则，则 中必含带弦的回路。中必含带弦的回路。 证明：在 中构造一条初级道路 ，不妨设 ， 。由于 是极长的初级道路，所以 和 的邻接电都在该道路 了。由已知条件， ，不妨设 。其中 ，这时 是一条初级回路，而 就是该回路中的一条弦。道路与回路道路与回路l定义2.1.5 设 是无向图，如果 可以划分为子集 和 ，使得对所有的 ， 和 都分属于 和 ，则称 是二分图。道路与回路道路与回路l证明：如果二分图证明：如果二分图 中存在回路，则它们都是中存在回路，则它们都是由偶数条边组成的。由偶数条边组成的。 证明：设 是二分图 的任一条回路，不妨设 是 的始点，由于 是二分图，所以沿回路 必须经过偶数条边才能达到某结点 ，因而只有经过偶数条边才能回到 。道路与回路道路与回路l证明：设证明：设 是简单图，当是简单图，当 时，时， 是连通图。是连通图。 证明：假定 是非连通图，则它至少含有2个连通分支。设分别是 。其中 由于 是简单图，因此 道路与回路道路与回路由于 ， 所以 与已知条件矛盾，故 是连通图。2.3 欧拉道路与回路欧拉道路与回路欧拉道路与回路欧拉道路与回路l1736年瑞士著名数学家欧拉(Leonhard Euler)发表了图论的第一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”。成功地回答了，图中是否存在经过每条边一次且仅一次的回路。欧拉道路与回路欧拉道路与回路欧拉道路与回路欧拉道路与回路l定义2.3.1 无向连通图 中的一条经过所有边的简单回路(道路)称为 的欧拉回路(道路)。l定理2.3.1 无向连通图 存在欧拉回路的充要条件是 中各结点的度都是偶数。欧拉道路与回路欧拉道路与回路l定理2.3.1的证明：1.必要性：若 中有欧拉回路 ，则 过每条边一次且仅一次。对任一结点 来说，如果 经过进入 ，则一定通过另一条边从 离开。因此结点 的度是偶数。2.充分性：由于 是有穷图，因此可以断定，从 的任一结点出发一定存在 的一条简单回路 。这是因为各结点的度都是偶数，所以这条简单道路不可能停留在以外的某个点，而不能再向前延伸以致构成回路 。欧拉道路与回路欧拉道路与回路l推论2.3.1 若无向连通图 中只有2个度为奇的结点。则 存在欧拉道路。证明：设和是两个度为奇数的结点。作，则中各点的度都是偶数。由定理2.3.1，有欧拉回路，它含边，删去该边，得到一条从到的简单道路，它恰好经过了 的所有边，亦即是一条欧拉道路。欧拉道路与回路欧拉道路与回路l推论2.3.2 若有向连通图 中各结点的正，负度相等，则 存在有向欧拉道路。其证明与定理2.3.1的证明相仿。欧拉道路与回路欧拉道路与回路l例2.3.3 设连通图G=(V,E)有k个度为奇数的结点，那么E(G)可以划分成k/2条简单道路。证明：由性质1.1.2，k是偶数。在这k个结点间增添k/2条边，使每个结点都与其中一条边关联，得到G，那么G中各结点的度都为偶数。 由定理2.3.1，G包含一个欧拉回路C。而新添的k/2条边再C上都不相邻。所以删去这些边后，我们就得到由E(G)划分成的k/2条简单道路。2.4 哈密顿道路与回路哈密顿道路与回路哈密顿道路与回路哈密顿道路与回路哈密顿道路与回路哈密顿道路与回路l定义2.4.1 无向图的一条过全部结点的初级回路(道路)称为G的哈密顿回路(道路)，简记为H回路(道路)。 哈密顿回路是初级回路，是特殊的简单回路，因此它与欧拉回路不同。当然在特殊情况下，G的哈密顿回路恰好也是其欧拉回路。鉴于H回路是初级回路，所以如果G中含有重边或自环，删去它们后得到的简单图G，那么G和G关于H回路（道路）的存在性是等价的。因此，判定H回路存在性问题一般是针对简单图的。哈密顿道路与回路哈密顿道路与回路l定理2.4.1 如果简单图G的任意两结点 之间恒有 ，则G中存在哈密顿路。 哈密顿道路与回路哈密顿道路与回路l推论2.4.1 若简单图 的任意两结点 和 之间恒有 ，则 中存在哈密顿回路。l推论2.4.2若简单图 中每个结点的度都大于等于 ，则 有 回路。哈密顿道路与回路哈密顿道路与回路l引理2.4.1设 是简单图， 是不相邻结点，且满足 ，则 存在 回路的充要条件是 有 回路。l定义2.4.2若 和 是简单图 的不相邻结点，且满足 ，则令 对 重复上述过程，直至不再有这样的结点对为止。最终得到的图为 的闭合图，记作 。哈密顿道路与回路哈密顿道路与回路l引理2.4.2简单图 的闭合图 是唯一的。l定理2.4.2 简单图 存在哈密顿回路的充要条件是其闭合图存在哈密顿回路。l推论2.4.3 设 是简单图，若 完全图， 有 回路。