第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节 导数的概念第二节 导数的基本公式及运算法则第三节 高阶导数第四节 微分第一节第一节第一节第一节 导数的概念导数的概念导数的概念导数的概念一、问题的提出二、导数的定义三、由定义求导数四、导数的几何意义五、可导与连续的关系六、小结 思考题 导数是微分学的核心概念导数是微分学的核心概念, , 是研究函数是研究函数与自变量关系的产物与自变量关系的产物, , 又是深刻研究函数性又是深刻研究函数性态的有力工具态的有力工具. . 无论何种学科无论何种学科, , 只要涉及只要涉及“变变化率化率”, , 就离不开导数就离不开导数. .莱布尼兹莱布尼兹(1646-1716)牛顿牛顿(1642-1727)牛顿的三大业绩：牛顿的三大业绩：光谱分析，光谱分析，万有引力定理，万有引力定理，微积分学微积分学. 牛顿牛顿1665年（年（23岁）创造了流数法岁）创造了流数法(微分微分学学)，从力学观点上独立发现微积分，从力学观点上独立发现微积分.他的他的流数法流数法写于写于1671年，但直到死后年，但直到死后9年的年的1736年才发表年才发表. 莱布尼兹于莱布尼兹于1694年进一步补充了积分结年进一步补充了积分结果果. 他创设的数学符号非常优良，如微分符他创设的数学符号非常优良，如微分符号积分符号等，对微积分的发展有极大影号积分符号等，对微积分的发展有极大影响，直到现在仍在使用响，直到现在仍在使用. 莱布尼茨是在莱布尼茨是在1673年到年到1676年之间，从年之间，从几何学观点上独立发现微积分的几何学观点上独立发现微积分的. 因此牛顿始创微积分的时间比莱布尼茨因此牛顿始创微积分的时间比莱布尼茨大约早年，但从正式公开发表的时间说大约早年，但从正式公开发表的时间说牛顿却比莱布尼茨要晚。事实上，他们二人牛顿却比莱布尼茨要晚。事实上，他们二人是各自独立地建立了微积分。是各自独立地建立了微积分。一般认为一般认为, 求变速运动的瞬时速度，求已知曲线求变速运动的瞬时速度，求已知曲线 别在研究瞬时速度和曲线的别在研究瞬时速度和曲线的切线时发现导数的切线时发现导数的. . 微分学产生的三个源头微分学产生的三个源头. 牛顿和莱布尼茨就是分牛顿和莱布尼茨就是分上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题如图如图,取极限得取极限得2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即二、导数的定义定义定义其它形式其它形式即即关于导数的说明：关于导数的说明：注意注意: :2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:三、由定义求导数步骤步骤:例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解更一般地更一般地例如例如,例例4 4解解例例5 5解解例例6 6解解例例7 7解解如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义几何意义五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证01例如例如,六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考题思考题思考题解答思考题解答练习题答案练习题答案