从平面几何的发展看从平面几何的发展看现代数学现代数学谈胜利谈胜利二零零四年十二月一日二零零四年十二月一日1欧几里得几何（欧几里得几何（ 公元前公元前 300）总结了公元前总结了公元前总结了公元前总结了公元前 7 7 世纪至世纪至世纪至世纪至 4 4 世纪希腊的几何成果。世纪希腊的几何成果。世纪希腊的几何成果。世纪希腊的几何成果。研究对象：研究对象：研究对象：研究对象： 直线直线直线直线 和和和和 圆圆圆圆解析几何（解析几何（17 世纪初）世纪初）笛卡儿和费尔马引进了坐标后笛卡儿和费尔马引进了坐标后笛卡儿和费尔马引进了坐标后笛卡儿和费尔马引进了坐标后 几何问题几何问题几何问题几何问题 代数问题代数问题代数问题代数问题研究对象：研究对象：研究对象：研究对象： 直线直线直线直线 和和和和 圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线射影几何（射影几何（17 世纪初）世纪初）研究对象：研究对象：研究对象：研究对象： 直线直线直线直线 和和和和 二次曲线二次曲线二次曲线二次曲线 的射影性质的射影性质的射影性质的射影性质2坐标几何坐标几何微微 积积 分分 解解析析几几何何射射影影几几何何代代数数几几何何3Pappus 定理定理 （公元（公元 300 350）4Pascal 定理定理 （公元（公元 1640）5Brianchon 定理定理 （ 1800s）PQR6PQR7欧氏平面上的二次曲线欧氏平面上的二次曲线椭圆椭圆: : 与无限远直线与无限远直线 L L 不相交的二次曲线不相交的二次曲线抛物线抛物线: : 与与 L L 相切的二次曲线相切的二次曲线双曲线双曲线: : 与与 L L 相交两个点的二次曲线相交两个点的二次曲线圆圆: : 与与 L L 相交于下述两个固定虚点的二次曲线相交于下述两个固定虚点的二次曲线 1, 1, i i, 0, 0, , 1, - 1, -i i, 0 , 0 平行线平行线: : 相交于无限远处的两直线相交于无限远处的两直线8将将P和和Q的连线移至无穷远的连线移至无穷远9将过将过P的切线线移至无穷远的切线线移至无穷远10关于圆的定理关于圆的定理ABCbca11三次曲线的研究三次曲线的研究牛顿牛顿牛顿牛顿证明在坐标变换下三次曲线有证明在坐标变换下三次曲线有证明在坐标变换下三次曲线有证明在坐标变换下三次曲线有标准方程标准方程标准方程标准方程: :y2=x3+ax2+bx+c12曲线的相交（曲线的相交（17 世纪开始）世纪开始）牛顿牛顿牛顿牛顿 1665 1665 年断言：年断言：年断言：年断言：如果虚点包含在内，如果虚点包含在内，如果虚点包含在内，如果虚点包含在内，m m 次曲线次曲线次曲线次曲线 和和和和 n n 次曲线有次曲线有次曲线有次曲线有 mn mn 个交点个交点个交点个交点. . f(x,y)=0, g(x,y)=0. f(x,y)=0, g(x,y)=0.消元法消元法消元法消元法（我国数学家于（我国数学家于（我国数学家于（我国数学家于1212世纪发现，世纪发现，世纪发现，世纪发现，Bezout Bezout 和欧拉和欧拉和欧拉和欧拉 于于于于 1764 1764 发现明显的算法）：发现明显的算法）：发现明显的算法）：发现明显的算法）： r(x)=f(x,y) u(x,y) + g(x,y) v(x,y). r(x)=f(x,y) u(x,y) + g(x,y) v(x,y).Bezout Bezout 定理：定理：定理：定理：牛顿的断言正确。牛顿的断言正确。牛顿的断言正确。牛顿的断言正确。 完整的证明在十九世纪末才找到。完整的证明在十九世纪末才找到。完整的证明在十九世纪末才找到。完整的证明在十九世纪末才找到。13圆锥曲线的定理的推广圆锥曲线的定理的推广ChaslesChaslesChaslesChasles定理定理定理定理：设两三次曲线交设两三次曲线交设两三次曲线交设两三次曲线交9 9 9 9个点，如果第三条个点，如果第三条个点，如果第三条个点，如果第三条三次曲线过其中三次曲线过其中三次曲线过其中三次曲线过其中8 8 8 8个点，那么它一定过第九个点。个点，那么它一定过第九个点。个点，那么它一定过第九个点。个点，那么它一定过第九个点。这是这是这是这是 Pappus Pappus Pappus Pappus 定理和定理和定理和定理和 Pascal Pascal Pascal Pascal 定理的推广。定理的推广。定理的推广。定理的推广。欧拉欧拉欧拉欧拉给给给给克莱姆克莱姆克莱姆克莱姆的一封信中提到过此结果。的一封信中提到过此结果。的一封信中提到过此结果。的一封信中提到过此结果。14Cayley-BacharachCayley-BacharachCayley-BacharachCayley-Bacharach定理定理定理定理：设两曲线设两曲线设两曲线设两曲线C C C Cm m m m和和和和C C C Cn n n n交交交交mnmnmnmn个点，个点，个点，个点，如果第三条曲线如果第三条曲线如果第三条曲线如果第三条曲线C C C Cm+n-3m+n-3m+n-3m+n-3过其中过其中过其中过其中mn-1mn-1mn-1mn-1个点，那么它个点，那么它个点，那么它个点，那么它一定过剩下的点。一定过剩下的点。一定过剩下的点。一定过剩下的点。定理定理定理定理（2000200020002000）：设两曲线设两曲线设两曲线设两曲线C C C Cm m m m和和和和C C C Cn n n n交交交交mnmnmnmn个点，如果第个点，如果第个点，如果第个点，如果第 三条曲线三条曲线三条曲线三条曲线C C C Cm+n-km+n-km+n-km+n-k过其中过其中过其中过其中mn-(k-2)mn-(k-2)mn-(k-2)mn-(k-2)个点，那么它一个点，那么它一个点，那么它一个点，那么它一 定过剩下的定过剩下的定过剩下的定过剩下的k-2k-2k-2k-2个点。个点。个点。个点。注意注意注意注意：推广到曲面上。高维时为猜想，等价于代数：推广到曲面上。高维时为猜想，等价于代数：推广到曲面上。高维时为猜想，等价于代数：推广到曲面上。高维时为猜想，等价于代数几何中著名的几何中著名的几何中著名的几何中著名的FujitaFujitaFujitaFujita猜想猜想猜想猜想15圆锥曲线和三次曲线的差异圆锥曲线和三次曲线的差异二次曲线可以用有理函数参数化，三次不行。二次曲线可以用有理函数参数化，三次不行。二次曲线可以用有理函数参数化，三次不行。二次曲线可以用有理函数参数化，三次不行。x=x(t), x=x(t), y=y(t) y=y(t)16曲线的复图形不同：曲线的复图形不同：曲线的复图形不同：曲线的复图形不同：直线和二次曲线的图形是球，直线和二次曲线的图形是球，直线和二次曲线的图形是球，直线和二次曲线的图形是球，三次曲线的图形是环面。三次曲线的图形是环面。三次曲线的图形是环面。三次曲线的图形是环面。17复曲线的想法来自复曲线的想法来自复曲线的想法来自复曲线的想法来自 Riemann (1851), Riemann (1851), 他将多项式方程他将多项式方程他将多项式方程他将多项式方程f(w,z)=0f(w,z)=0中的中的中的中的w w看成是看成是看成是看成是z z的多值函数的多值函数的多值函数的多值函数 w=h(z)w=h(z), , 复曲线的图形就复曲线的图形就复曲线的图形就复曲线的图形就是复是复是复是复 z- z-平面的多层覆盖所形成的平面的多层覆盖所形成的平面的多层覆盖所形成的平面的多层覆盖所形成的RiemannRiemann面面面面。这导。这导。这导。这导致了现代数学中致了现代数学中致了现代数学中致了现代数学中流形流形流形流形概念的产生。概念的产生。概念的产生。概念的产生。RiemannRiemann面的图面的图面的图面的图形为：形为：形为：形为：图形中洞的个数图形中洞的个数图形中洞的个数图形中洞的个数g g成为亏格成为亏格成为亏格成为亏格18三次曲线又叫三次曲线又叫三次曲线又叫三次曲线又叫椭圆曲线椭圆曲线椭圆曲线椭圆曲线 y2 = 4x3+ax+b因为它与因为它与椭圆积分椭圆积分有联系。椭圆积分大致上就有联系。椭圆积分大致上就是包含三次或四次多项式的平方根的积分，来是包含三次或四次多项式的平方根的积分，来自椭圆周长的计算。这种联系是由自椭圆周长的计算。这种联系是由高斯、阿贝高斯、阿贝尔、尔、Jacobi于于1820年代发现，后来被年代发现，后来被 Riemann (1850年代）、年代）、Weierstrass (1863) 和和 Poincare (1901) 进一步明朗化。进一步明朗化。例：例：椭圆曲线可以由椭圆曲线可以由Weierstrass的的 P函数参函数参数化。数化。 x = P(u), y = P(u)19椭圆曲线上的群结构（点之间可定义加法）椭圆曲线上的群结构（点之间可定义加法） P + 0 = P; P + V = 0; P + Q = Q + P; ( P + Q ) + R = P + ( Q + R ) .20椭圆曲线与现代数论椭圆曲线与现代数论二次曲线上的有理点（坐标为有理数的点）可用参数化的方二次曲线上的有理点（坐标为有理数的点）可用参数化的方二次曲线上的有理点（坐标为有理数的点）可用参数化的方二次曲线上的有理点（坐标为有理数的点）可用参数化的方法完全求出。法完全求出。法完全求出。法完全求出。MordellMordell (1950): (1950): 椭圆曲线上的有理点组成一个椭圆曲线上的有理点组成一个椭圆曲线上的有理点组成一个椭圆曲线上的有理点组成一个有限生成的交有限生成的交有限生成的交有限生成的交换子群换子群换子群换子群。即从有限个有理点出发，通过。即从有限个有理点出发，通过。即从有限个有理点出发，通过。即从有限个有理点出发，通过 + +，- - 运算可求出运算可求出运算可求出运算可求出所有的有理点。所有的有理点。所有的有理点。所有的有理点。FaltingsFaltings (1986): (1986): 亏格亏格亏格亏格 g1 g1 的曲线上最多只有有限个有理点。的曲线上最多只有有限个有理点。的曲线上最多只有有限个有理点。的曲线上最多只有有限个有理点。费尔马大定理费尔马大定理费尔马大定理费尔马大定理：不存在非零整数：不存在非零整数：不存在非零整数：不存在非零整数 a, b, c a, b, c 使得使得使得使得 (n2) (n2) an + bn = cn21关于费尔马定理的证明关于费尔马定理的证明可归结为可归结为可归结为可归结为 n=p4 n=p4 为素数的情形。设为素数的情形。设为素数的情形。设为素数的情形。设 a, b, c a, b, c 是其解是其解是其解是其解. .G. FreyG. Frey (1985) (1985) 构造了一条椭圆曲线构造了一条椭圆曲线构造了一条椭圆曲线构造了一条椭圆曲线 (Frey (Frey 曲线曲线曲线曲线): ): y2 =x ( x + ap ) ( x bp ). .他证明此椭圆曲线不是他证明此椭圆曲线不是他证明此椭圆曲线不是他证明此椭圆曲线不是“ “模曲线模曲线模曲线模曲线” (” (即不能用即不能用即不能用即不能用“ “模函数模函数模函数模函数” ”参数化参数化参数化参数化). ).Taniyama-ShimuraTaniyama-Shimura猜测：猜测：猜测：猜测：任何椭圆曲线都是模曲线。任何椭圆曲线都是模曲线。任何椭圆曲线都是模曲线。任何椭圆曲线都是模曲线。1995 1995 年，年，年，年， Wiles (Taylor)Wiles (Taylor) 证明了上述猜测。证明了上述猜测。证明了上述猜测。证明了上述猜测。22代数不变量的研究代数不变量的研究十九世纪十九世纪十九世纪十九世纪, , 代数几何的一个很重要的研究内容就是代数几何的一个很重要的研究内容就是代数几何的一个很重要的研究内容就是代数几何的一个很重要的研究内容就是代数不变量理论。代数不变量理论。代数不变量理论。代数不变量理论。 f(x, y) = a0 xn + a1 x n-1 y + + an yn判别式判别式判别式判别式 D(D(a0, , an ) )、结式结式结式结式 R(f, g)R(f, g)、 不变量理论就是研究在坐标变换下不变量理论就是研究在坐标变换下不变量理论就是研究在坐标变换下不变量理论就是研究在坐标变换下“ “不变不变不变不变” ”的多项式。的多项式。的多项式。的多项式。 D( D(a0, , an )=det()=det( ) )p D( D(a0, , an ) )23现代几何的研究现代几何的研究现代几何就是研究流形。现代几何就是研究流形。现代几何就是研究流形。现代几何就是研究流形。 MM = = U U1 1 U U2 2 U Un n 我们希望通过那些在坐标变换下我们希望通过那些在坐标变换下我们希望通过那些在坐标变换下我们希望通过那些在坐标变换下“ “不变不变不变不变” ”的几何量来的几何量来的几何量来的几何量来研究流形研究流形研究流形研究流形 M, M, 例如：例如：例如：例如：微分形式微分形式微分形式微分形式。实际上几何上的不变量都来自代数不变量。反之，实际上几何上的不变量都来自代数不变量。反之，实际上几何上的不变量都来自代数不变量。反之，实际上几何上的不变量都来自代数不变量。反之，任何代数不变量也给出了几何上的一个不变量。任何代数不变量也给出了几何上的一个不变量。任何代数不变量也给出了几何上的一个不变量。任何代数不变量也给出了几何上的一个不变量。24研究现状研究现状几何上还有很多来自代数的不变量没有得到研究。几何上还有很多来自代数的不变量没有得到研究。几何上还有很多来自代数的不变量没有得到研究。几何上还有很多来自代数的不变量没有得到研究。 不变量理论不变量理论不变量理论不变量理论 = = 向量丛理论向量丛理论向量丛理论向量丛理论Mumford (1960): Mumford (1960): 研究了部分代数不变量发现了几研究了部分代数不变量发现了几研究了部分代数不变量发现了几研究了部分代数不变量发现了几何现象何现象何现象何现象“ “向量丛的稳定性向量丛的稳定性向量丛的稳定性向量丛的稳定性” ”。造成原因造成原因造成原因造成原因：代数不变量理论被人为地划分为代数的：代数不变量理论被人为地划分为代数的：代数不变量理论被人为地划分为代数的：代数不变量理论被人为地划分为代数的一个分支。一个分支。一个分支。一个分支。25Weyl 的数学哲学的数学哲学n n任何几何事实都来自不变量为零；任何几何事实都来自不变量为零；n n任何不变量都是张量的不变量。任何不变量都是张量的不变量。后者来自后者来自有限对称群的表示（有限对称群的表示（1900）。）。26祝博士生学术论坛祝博士生学术论坛圆满成功圆满成功谢谢大家谢谢大家!27 素材和资料部分来自素材和资料部分来自网络，如有帮助请下载网络，如有帮助请下载!