单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,2025届高考数学一轮复习讲义,集合、常用逻辑用语与不等式之集合,1.集合与元素,（1）集合元素的三个特性：,_,、,_,、,_,.,（2）元素与集合的关系是,_,或,_,关系，用符号,_,或,_,表示.,（3）集合的表示法：,_,、,_,、,_,.,确定性,互异性,无序性,属于,不属于,列举法,描述法,图示法,（4）常见数集的记法,集合,非负整数集（或自然数集）,正整数集,整数集,有理数集,实数集,符号,或,（,1,）集合的元素满足互异性；,（,2,）为自然数集（即非负整数集），包含,0,，而 ,+,表示正整数集，,不包含,0.,2.集合间的基本关系,表示,关系,自然语言,符号语言,图形语言,子集,集合,中,_,元素都,是集合,中的元素,_,（或,_,）,真子集,集合,，但存在元素,且,_,_,（或,_,）,任意一个,表示,关系,自然语言,符号语言,图形语言,集合相等,集合,，,中元素相同,续表,（,1,）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时,刻关注对空集的讨论；,（,2,）任何集合都是自身的子集，即；,（,3,）是指不含任何元素的集合，,是指以 为元素的集合,.,3.集合的基本运算,类别,表示,并集,交集,补集,图形语言,符号语言,_,_,_,_,_,_,，或,，且,，且,1.子集的传递性：,，,.,2.若有限集合,中有,个元素，则,的子集有,个，真子集有,个，非空真子集有,个.,3.等价关系：,.,1.已知集合,，则集合,的真子集的个数为,(,),A.7,B.8,C.15,D.16,解析：,选A.方法一：,，2，,，其真子集,有：,共7个.,方法二：因为集合,中有3个元素，所以其真子集的个数为,.,2.已知集合,，且,，则实数,的取值,范围是,_,.,解析：,由题意可知,，所以,.,考点一 集合的基本概念,例1（1）,已知集合,，集合,，且,，,则,(,),A.,，,B.,，1，,C.,，2，,D.,，2，3，,解析：,因为,且,，所以,，2，,.,（2）设,集合,，则,_,.,0,解析：,由题意知,，所以,，则,所以,.故,.,与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧,（1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合.,（2）厘清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性.,（3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数.,（4）厘清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.,1.已知集合,，则集合,中的元素的个,数为(,),A.3,B.4,C.5,D.6,解析：,选C.当,时，,；当,时，,0,1；当,时，,.所以,共有5个元素.,2.已知集合,，且,，则,_,.,解析：,因为,，所以,或,.,若,，解得,或,.,当,时，,，不满足集合中元素的互异性，故舍去；,当,时，集合,，满足题意，故,成立.,若,，解得,，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去.,综上所述，,.,考点二 集合间的基本关系,例2（1）,若,，,，,，则(,),A.,B.,C.,D.,解析：,因为,，,，所以,，又,，故,故B正确，C错误；易知,所以A,D错误.,（2）已知集合,.若,则实,数,的取值范围是,_,.,解析：,由题意可得，,.,当,时，,，满足,;,当,时，因为,，所以,.,综上，实数,的取值范围是,.,（1）判断两集合关系的方法,（2）根据两集合的关系求参数的方法,已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集,合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.,若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）,求解，此时注意集合中元素的互异性.,若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式,（组）求解，此时注意检验端点值能否取到.,1.已知集合,则满,足条件,的集合,的个数为(,),A.1,B.2,C.3,D.4,解析：,选D.由题意可得，,2,3,又因为,所以,，,或,，2，,或,，2，,或,，2，3，,，故满足条件的集合,的个数为4.,2.设全集,，集合,，,，若,与,的关系如图所示，则实数,的取,值范围是(,),A.,B.,C.,D.,解析：,选C.集合,，且,，,由题图可得,，所以实数,的取值范围是,.,考点三 集合的基本运算,角度1,集合的基本运算,例3（1）,(2023,新课标卷),已知集合,，,，0，1，,，,，则,(,),A.,，,，0，,B.,，1，,C.,D.,解析：,通解（直接运算法）,因为,或,，所以,.故选C.,光速解（排除法）,由于,，所以,，排除A，B；由于,，,所以,，排除D.故选C.,（2）,(2024湖南模拟),已知全集,，集合,，,，则,(,),A.,B.,C.,D.,解析：,由集合,，,，则,.,集合基本运算的步骤,角度2,利用集合的运算求参数,例4（1）,(2024湖南长沙模拟),已知集合,3,，,，且,，则,的取值集合为(,),A.,B.,C.,D.,解析：,由题意可得,或,.,若,，此时,，集合,中的元素有重复，不符合题意；,若,，解得,或,，显然,时符合题意，而,，集合,中的元素有重复，不符合题意.,故,.故选B.,（2）已知集合,，且,，则,实数,的取值范围是,(,),A.,B.,C.,D.,解析：,因为,所以,，,因为,，所以,.,利用集合的运算求参数的方法,（,1,）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍,.,（,2,）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之,间的关系，再列方程（组）求解,.,在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）,.,角度3,集合的新定义问题,例5（1）,设,是一个数集，且至少含有两个数，若对任意,，都有,(除数,，则称,是一个数域，则下列集合为数域,的是(,),A.,B.,C.,D.,解析：,1,，,，故,不是数域，A选项错误，同理B选项错误；任,意,，都有,(除数,，故,是一个数域，C,选项正确；对于集合,，,，取,，,，则,，故,不是数域，D选项错误.故选C.,（2）定义,叫做集合的,对称差，若集合,，则,_,.,解析：,由题得,则,，故,.,解决以集合为背景的新定义问题的关键点,（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧,扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义,相混淆.,（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻,辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.,1.如图所示，已知全集,，集合,，3，5，,，,，5，6，7，,，则图中阴影部分表示的集合为,(,),A.,，,B.,，,C.,，3，,D.,，3，,解析：,选A.题图中阴影部分表示的集合为,所以,，,.,2.,(2024山东潍坊模拟),设全集,，集合,，,，则集合,(,),A.,B.,C.,D.,解析：,选C.由题意，得,所以,，所以,.故,选C.,3.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合,“相交”.对于集合,，,，若,与,“相交”，则,_,.,1,解析：,由题意得，,，若,则,，若,则,.,当,时，,此时,不符合题意；当,时，,，满足题意.,