数字信号处理数字信号处理8/30/20241第第2章时域离散信号和系统的频域分析章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言引言 2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质 2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号 傅里叶变换之间的关系傅里叶变换之间的关系 2.5序列的序列的Z变换变换 2.6利用利用Z变换分析信号和系统的频响特性变换分析信号和系统的频响特性 习题与上机题习题与上机题8/30/202422.1引言引言我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分时域分析方法析方法和和频域分析方法频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换则用信号的傅里叶变换(Fourier Transform)或拉普拉斯变或拉普拉斯变换表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信换表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则号（序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换或用信号的傅里叶变换或Z变换表示。变换表示。本章学习序列的傅里叶变换和本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用变换，以及利用Z变换变换分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号处理的理论基础。处理的理论基础。8/30/202432.2时域离散信号的傅里叶变换时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质的定义及性质时域离散信号不同于模拟信号，因此它们的傅里叶变时域离散信号不同于模拟信号，因此它们的傅里叶变换不相同，但都是线性变换，一些性质是相同的。换不相同，但都是线性变换，一些性质是相同的。2.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义时域离散信号傅里叶变换的定义序列序列x(n)的傅里叶变换定义为的傅里叶变换定义为（2.2.1） 8/30/20244FT为为Fourier Transform的缩写的缩写。FTx(n)存在的存在的充分必要条件是序列充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足满足绝对可和的条件，即满足下式：下式：（2.2.2） X(ej)的傅里叶反变换为的傅里叶反变换为（2.2.3） 一个周期内！一个周期内！8/30/20245（2.2.1）和（）和（2.2.3）式组成一对傅里叶变换公式。）式组成一对傅里叶变换公式。（2.2.2）式是傅里叶变换存在的充分必要条件，有些）式是傅里叶变换存在的充分必要条件，有些函数（例如周期序列）并不满足（函数（例如周期序列）并不满足（2.2.2）式，说明它）式，说明它的傅里叶变换不存在，但如果引入冲激函数，其傅里的傅里叶变换不存在，但如果引入冲激函数，其傅里叶变换也可以用冲激函数的形式表示出来，这部分内叶变换也可以用冲激函数的形式表示出来，这部分内容将在容将在2.3节介绍。节介绍。8/30/20246【例例2.2.1】设设x(n)=RN(n)，求，求x(n)的傅里叶变换。的傅里叶变换。解解 （2.2.4） 当当N=4时，其幅度与相位随频率时，其幅度与相位随频率的变化曲线如的变化曲线如图图2.2.1所示。所示。 8/30/20247图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线 8/30/202482.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号傅里叶变换的性质1 FT的周期性的周期性在定义（在定义（2.2.1）式中，）式中，n取整数，因此下式成立：取整数，因此下式成立：(2.2.5) 观察上式，得到傅里叶变换是频率观察上式，得到傅里叶变换是频率的周期函数，周的周期函数，周期是期是2。这一特点不同于模拟信号的傅里叶变换。这一特点不同于模拟信号的傅里叶变换。为为整数整数8/30/20249由由FT的周期性进一步分析得到，的周期性进一步分析得到，在在=0和和=2M附近附近的频谱分布应是相同的（的频谱分布应是相同的（M取整数），在取整数），在=0，2, 4, 点上表示点上表示x(n)信号的直流分量；信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率离开这些点愈远，其频率愈高，但又是以愈高，但又是以2为周期，那么最高的频率应是为周期，那么最高的频率应是=。另另外要说明的是，所谓外要说明的是，所谓x(n)的直流分量，是指如图的直流分量，是指如图2.2.2（a）所示的波形。例如，所示的波形。例如，x(n)=cosm，当，当=2M, M取整数时，取整数时，x(n)的序列值如图的序列值如图2.2.2（a）所示，它代表一个不随所示，它代表一个不随n变化变化的信号（直流信号）；当的信号（直流信号）；当=(2M+1)时，时，x(n)波形如图波形如图2.2.2（b）所示，它代表最高频率信号，是一种变化最快的所示，它代表最高频率信号，是一种变化最快的正弦信号。由于正弦信号。由于FT的周期是的周期是2，一般只分析一般只分析之间之间或或02范围范围的的FT就够了。就够了。 8/30/202410图2.2.2cosm 的波形8/30/2024112 线性线性设设X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n), 那那么么(2.2.6) 式中式中, a，b是常数。是常数。 8/30/2024123时移与频移时移与频移设设X(ej)=FTx(n), 那么那么(2.2.7) (2.2.8) 8/30/2024134 FT的对称性的对称性在学习在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称，以及它的性质。与共轭反对称，以及它的性质。设序列设序列xe(n)满足下式：满足下式：（2.2.9） 则称则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示：用其实部与虚部表示： 8/30/202414将上式两边将上式两边n用用n代替，并取共轭，得到：代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到： （2.2.10） （2.2.11） 8/30/202415上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序列：列： （2.2.12） 将将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：表示成实部与虚部，如下式：8/30/202416可以得到：可以得到：（2.2.13） （2.2.14） 即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。 8/30/202417【例例2.2.2】试分析试分析x(n)=ejn的对称性。的对称性。解因为解因为x*(n)=ejn=x(n)满足满足(2.2.9)式，所以式，所以x(n)是共轭对称序列，如展成实是共轭对称序列，如展成实部与虚部，则得到：部与虚部，则得到： x(n)=cosn+j sinn上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。是奇函数。8/30/202418一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即 （2.2.15） 式中，式中，xe(n)和和xo(n)可以分别用原序列可以分别用原序列x(n)求出，将求出，将（2.2.15）式中的）式中的n用用n代替，再取共轭代替，再取共轭, 得到：得到：（2.2.16） 8/30/202419利用（利用（2.2.15）和（）和（2.2.16）式，得到：）式，得到：（2.2.17） （2.2.18） 利用上面两式，可以用利用上面两式，可以用x(n)分别求出分别求出xe(n)和和xo(n)。 8/30/202420对于频域函数对于频域函数X(ej)，也有和上面类似的概念和结论：也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) （2.2.19）式中，式中，Xe(ej)与与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足：称部分，它们满足：（2.2.20）（2.2.21）8/30/202421同样有下面公式成立：同样有下面公式成立：有了上面的概念和结论，下面研究有了上面的概念和结论，下面研究FT的对称性。的对称性。 （2.2.22）（2.2.23）8/30/202422 (1) 将序列将序列x(n)分成实部分成实部xr(n)与虚部与虚部xi(n)，即即x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行傅里叶变换，得到将上式进行傅里叶变换，得到:式中式中8/30/202423上面两式中，上面两式中，xr(n)和和xi(n)都是实数序列。容易证明：都是实数序列。容易证明：Xe(ej)满足（满足（2.2.20）式，具有共轭对称性，它的实部是偶）式，具有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；函数，虚部是奇函数；Xo(ej) 满足（满足（2.2.21）式，具有共）式，具有共轭反对称性质，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。轭反对称性质，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。 最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性，虚部和应的傅里叶变换具有共轭对称性，虚部和j一起对应的傅里一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。叶变换具有共轭反对称性。 8/30/202424(2) 将序列分成共轭对称部分将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分和共轭反对称部分xo(n)，即即x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.24)将（将（2.2.17）和（）和（2.2.18）式重写如下：）式重写如下：8/30/202425将上面两式分别进行傅里叶变换，得到：将上面两式分别进行傅里叶变换，得到：因此（因此（2.2.24）式的）式的FT为为（2.2.25a） （2.2.25b） （2.2.25c） 8/30/202426（2.2.25）式表示：序列）式表示：序列x(n)的共轭对称部分的共轭对称部分xe(n)对应对应着着X(ej)的实部的实部XR(ej)，而序列而序列x(n)的共轭反对称部分的共轭反对称部分xo(n)对应着对应着X(ej)的虚部的虚部(包括包括j)。下面我们利用下面我们利用FT的对称性，分析实因果序列的对称性，分析实因果序列h(n)的对称的对称性，并推导其偶函数性，并推导其偶函数he(n)和奇函数和奇函数ho(n)与与h(n)之间的关系。之间的关系。因为因为h(n)是实序列，其是实序列，其FT只有共轭对称部分只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。共轭反对称部分为零。8/30/202427因此因此实序列的实序列的FT是共轭对称函数是共轭对称函数, 其实部是偶函数，虚其实部是偶函数，虚部是奇函数部是奇函数，用公式表示为，用公式表示为显然，显然， 其模的平方其模的平方是偶函数，相位函数是偶函数，相位函数是奇函数，这和实模拟信号的是奇函数，这和实模拟信号的FT有同样的结论。有同样的结论。8/30/202428按照（按照（2.2.17）和（）和（2.2.18）式得到：）式得到：8/30/202429因为因为h(n)是实因果序列，按照上面两式，是实因果序列，按照上面两式，he(n)和和ho(n)可用下式表示：可用下式表示： （2.2.26） （2.2.27） 8/30/202430按照上面两式，实因果序列按照上面两式，实因果序列h(n)可以分别用可以分别用he(n)和和ho(n)表示为表示为 （2.2.28） （2.2.29） 式中式中 （2.2.30） 8/30/202431因为因为h(n)是实序列，上面公式中是实序列，上面公式中he(n)是偶函数，是偶函数，ho(n)是奇函数。按照（是奇函数。按照（2.2.28）式，实因果序列完全由）式，实因果序列完全由其偶序列恢复，但按照（其偶序列恢复，但按照（2.2.27）式，）式，ho(n)中缺少中缺少n=0点点h(n)的信息。因此由的信息。因此由ho(n)恢复恢复h(n)时，要补充一点时，要补充一点h(h)(n)信息。信息。 8/30/202432【例例2.2.3】x(n)=anu(n), 0a1。求其偶函数求其偶函数xe(n)和奇函数和奇函数xo(n)。解解x(n)=xe(n)+xo(n)按（按（2.2.26）式，得到：）式，得到：8/30/202433按（按（2.2.27）式，得到：）式，得到： x(n) 、xe(n)和和xo(n)波形如图波形如图2.2.3所示。所示。 8/30/202434图2.2.3例2.2.3图8/30/202435 5 时域卷积定理时域卷积定理设 y(n)=x(n)*h(n)则 Y(ej)=X(ej)H（ej） （2.2.31）证明证明8/30/202436令k=nm，则8/30/202437该定理说明，两序列卷积的该定理说明，两序列卷积的FT服从相乘的关系。服从相乘的关系。对于线性时不变系统，输出的对于线性时不变系统，输出的FT等于输入信号的等于输入信号的FT乘乘以单位脉冲响应的以单位脉冲响应的FT。因此，在求系统的输出信号时，因此，在求系统的输出信号时，可以在时域用卷积公式（可以在时域用卷积公式（1.3.7）计算，也可以在频域按）计算，也可以在频域按照（照（2.2.31）式，求出输出的）式，求出输出的FT，再作逆再作逆FT，求出输出求出输出信号信号y(n)。8/30/2024386 频域卷积定理频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n) 则(2.2.32) 证明证明 (2.2.33) 8/30/202439交换积分与求和的次序，得到：交换积分与求和的次序，得到：(2.2.34) 该定理表明，在时域两序列相乘，转移到频域时该定理表明，在时域两序列相乘，转移到频域时服从卷积关系。服从卷积关系。 8/30/2024407 帕斯维尔（帕斯维尔（Parseval）定理定理（2.2.35） 8/30/202441证明证明 8/30/202442帕斯维尔定理表明了信号时域的能量与频域的能帕斯维尔定理表明了信号时域的能量与频域的能量关系。量关系。表表2.2.1综合了综合了FT的性质，这些性质在分析问题和的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。实际应用中是很重要的。 8/30/202443表表2.2.1序列傅里叶变换的性质定理序列傅里叶变换的性质定理 8/30/2024442.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式变换表示式因为周期序列不满足（因为周期序列不满足（2.2.2）式绝对可和的条件，因）式绝对可和的条件，因此它的此它的FT并不存在并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数里叶级数，引入奇异函数()，其，其FT可以用公式表示出来。可以用公式表示出来。8/30/2024452.3.1周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数设是以设是以N为周期的周期序列，可以展成离散傅里为周期的周期序列，可以展成离散傅里叶级数。如下叶级数。如下:(2.3.1)为求系数为求系数ak，将上式两边乘以将上式两边乘以，并对并对n在一个在一个周期周期N中求和，即中求和，即8/30/202446式中(2.3.2) 8/30/202447(2.3.2)式的证明作为练习请读者自己证明。因此式的证明作为练习请读者自己证明。因此(2.3.3)式中，式中，k和和n均取整数。因为均取整数。因为，l取整数取整数,即是周期为即是周期为N的周期函数，所以，系数的周期函数，所以，系数ak也是周期序列，满足也是周期序列，满足ak=ak+lN。8/30/202448令令 , 并将并将(2.3.3)式代入，式代入， 得到得到: (2.3.4)式中，式中， 也是以也是以N为周期的周期序列为周期的周期序列, 称为称为 的的离散傅里叶级数系数，用离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。表示。8/30/202449用用 (2.3.5) 将（将（2.3.4）式和（）式和（2.3.5）式重写如下：）式重写如下： (2.3.6) (2.3.7) 代替代替(2.3.1)式中的式中的ak,得到得到8/30/202450（2.3.6）式和（）式和（2.3.7）式称为一对）式称为一对DFS。（。（2.3.5）式表明式表明将周期序列分解成将周期序列分解成N次谐波，第次谐波，第k个谐波频率为个谐波频率为k=(2/N)k, k=0, 1, 2, , N1, 幅度为幅度为。基波分量的频率是基波分量的频率是2/N，幅度是幅度是。一个周期一个周期序列可以用其序列可以用其DFS系数表示它的频谱分布规律。系数表示它的频谱分布规律。【例例2.3.1】设设x(n)=R4(n)，将，将x(n)以以N=8为周期进行周为周期进行周期延拓，得到如图期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列所示的周期序列，周期周期为为8，求，求DFS。解按照（解按照（2.3.6）式）式, 有有8/30/202451其幅度特性如图其幅度特性如图2.3.1(b)所示。所示。 8/30/202452图2.3.1例2.3.1图 8/30/2024532.3.2周期序列的傅里叶变换表示式周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，在模拟系统中，其傅里叶变换其傅里叶变换是在是在=0处的单位冲激函数，强度是处的单位冲激函数，强度是2，即即（2.3.8） 对于时域离散信号，对于时域离散信号，2/0为有理数，为有理数，暂时暂时假定假定其其FT的形式与（的形式与（2.3.8）式一样，即是在）式一样，即是在0处的单位冲激函数，其强度为处的单位冲激函数，其强度为2。但由于但由于n取整数，取整数，下式成立：下式成立： 8/30/202454r取整数取整数因此因此 的的FT为为 (2.3.9)(2.3.9)式表示复指数序列的式表示复指数序列的FT是在是在0+2r处的单位冲激处的单位冲激函数，强度为函数，强度为2，如图如图2.3.2所示。但这种假定如果成立，所示。但这种假定如果成立，则要求按照（则要求按照（2.2.4）式的逆变换必须存在，且唯一等于）式的逆变换必须存在，且唯一等于 ，下面进行验证。按照逆变换定义，（下面进行验证。按照逆变换定义，（2.2.4）式）式右边右边8/30/202455观察图观察图2.3.2，在，在区间，只包括一个单位冲激函数区间，只包括一个单位冲激函数(0)，等式右边为等式右边为，因此得到下式：因此得到下式：证明了（证明了（2.3.9）式确实是的）式确实是的FT，前面的暂时假定前面的暂时假定是正确的。是正确的。8/30/202456图2.3.2的FT 8/30/202457对于一般周期序列对于一般周期序列，按（按（2.3.6）式展成）式展成DFS，第第k次谐波为次谐波为，类似于复指数序列的类似于复指数序列的FT，其，其FT为为因此的因此的FT如下式：如下式：8/30/202458式中，式中，k=0, 1, 2, , N1。如果让如果让k在在区间变化，上区间变化，上式可简化成式可简化成（2.3.10）式中式中(2.3.10)式就是周期性序列的傅里叶变换表示式。需要说明式就是周期性序列的傅里叶变换表示式。需要说明的是，上面公式中的的是，上面公式中的()表示单位冲激函数，而表示单位冲激函数，而(n)表示单表示单位脉冲序列，由于括弧中的自变量不同位脉冲序列，由于括弧中的自变量不同, 因而不会引起混淆。因而不会引起混淆。表表2.3.2中综合了一些基本序列的中综合了一些基本序列的FT。8/30/202459表表2.3.2基本序列的傅里叶变换基本序列的傅里叶变换 8/30/202460表中表中u(n)序列的傅里叶变换推导如下：序列的傅里叶变换推导如下：令令(2.3.11)(2.3.12)对对(2.3.12)式进行式进行FT，得到得到: 不含有直流分量时不含有直流分量时8/30/202461对对(2.3.11)式进行式进行FT，得到：得到：【例例2.3.2】求例求例2.3.1中周期序列的中周期序列的FT。解将例解将例2.3.1中得到的代入（中得到的代入（2.3.10）式中，得）式中，得到：到：其幅频特性如图其幅频特性如图2.3.3所示。所示。直流分量直流分量交流分量交流分量8/30/202462图2.3.3例2.3.2图8/30/202463对比图对比图2.3.1，对于同一个周期信号，其对于同一个周期信号，其DFS和和FT分分别取模的形状是一样的别取模的形状是一样的，不同的是不同的是FT用单位冲激函数表用单位冲激函数表示（用带箭头的竖线表示）示（用带箭头的竖线表示）。因此周期序列的频谱分布用。因此周期序列的频谱分布用其其DFS或者或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。数的画法。【例例2.3.3】令为有理数，求令为有理数，求其其FT。解将用欧拉公式展开：解将用欧拉公式展开：按照（按照（2.3.9）式，其）式，其FT推导如下：推导如下：8/30/202464 （2.3.13） (2.3.13)式表明，式表明，cos0n的的FT是在是在=0处的单位冲激处的单位冲激函数，强度为函数，强度为，且以且以2为周期进行延拓，如图为周期进行延拓，如图2.3.4所示。所示。 8/30/202465 图2.3.4cos0n的FT 8/30/2024662.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系傅里叶变换之间的关系时域离散信号与模拟信号是两种不同的信号，傅里叶时域离散信号与模拟信号是两种不同的信号，傅里叶变换也不同，如果时域离散信号是由某模拟信号采样得来，变换也不同，如果时域离散信号是由某模拟信号采样得来，那么时域离散信号的傅里叶变换和该模拟信号的傅里叶变那么时域离散信号的傅里叶变换和该模拟信号的傅里叶变换之间有一定的关系。下面推导这一关系式。换之间有一定的关系。下面推导这一关系式。公式公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了由采样得到的时域表示了由采样得到的时域离散信号和模拟信号的关系，而理想采样信号和模离散信号和模拟信号的关系，而理想采样信号和模拟信号的关系用（拟信号的关系用（1.5.2）式表示，重写如下）式表示，重写如下:8/30/202467对上式进行傅里叶变换对上式进行傅里叶变换, 得到得到:8/30/202468令令=T，且，且x(n)=xa(nT)，得到：得到： （2.4.1） 或者写成：或者写成： （2.4.2）式中式中(2.4.2)式也可以表示成式也可以表示成（2.4.3） 8/30/202469（2.4.1）、（）、（2.4.2）和（）和（2.4.3）式均表示时域离散信号的）式均表示时域离散信号的傅里叶变换和模拟信号傅里叶变换之间的关系。由这些关傅里叶变换和模拟信号傅里叶变换之间的关系。由这些关系式可以得出两点结论。一点结论是系式可以得出两点结论。一点结论是时域离散信号的频谱时域离散信号的频谱也是模拟信号的频谱周期性延拓，周期为也是模拟信号的频谱周期性延拓，周期为，因此由模拟信号进行采样得到时域离散信号时，同样要满因此由模拟信号进行采样得到时域离散信号时，同样要满足前面推导出的采样定理，足前面推导出的采样定理，采样频率必须大于等于模拟信采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的号最高频率的2倍以上，否则也会差生频域混叠现象，频率倍以上，否则也会差生频域混叠现象，频率混叠在混叠在s/2附近最严重，在数字域则是在附近最严重，在数字域则是在附近最严重。附近最严重。8/30/202470另一点结论是计算另一点结论是计算模拟信号的模拟信号的FT可以用计算相应的时可以用计算相应的时域离散信号的域离散信号的FT得到得到，方法是，方法是: 首先按照采样定理，以首先按照采样定理，以模拟信号最高频率的两倍以上频率对模拟信号进行采样模拟信号最高频率的两倍以上频率对模拟信号进行采样得到时域离散信号，得到时域离散信号，再通过计算机对该时域离散信号进再通过计算机对该时域离散信号进行行FT，得到它的频谱函数，再乘以采样间隔得到它的频谱函数，再乘以采样间隔T便得到模便得到模拟信号的拟信号的FT，注意关系式注意关系式=T。8/30/202471按照数字频率和模拟频率之间的关系，在一些文按照数字频率和模拟频率之间的关系，在一些文献中经常使用归一化频率献中经常使用归一化频率f=f/Fs或或=/s, =/2, 因为因为f、和和都是无量纲量，刻度是一样的，将都是无量纲量，刻度是一样的，将f、f、的定标值对应关系用图的定标值对应关系用图2.4.1表示。表示。图图2.4.1表明，模拟折叠频率表明，模拟折叠频率Fs/2对应数字频率对应数字频率；如果采样定理满足，则要求模拟最高频率如果采样定理满足，则要求模拟最高频率fc不能超过不能超过Fs/2；如果不满足采样定理，则会在如果不满足采样定理，则会在=附近，或者附近，或者f=Fs/2附近引起频率混叠。以上几个频率之间的定标附近引起频率混叠。以上几个频率之间的定标关系很重要，尤其在模拟信号数字处理中，经常需要关系很重要，尤其在模拟信号数字处理中，经常需要了解它们的对应关系。了解它们的对应关系。8/30/202472图图2.4.1模拟频率与数字频率之间的定标关系模拟频率与数字频率之间的定标关系8/30/2024732.5序列的序列的Z变换变换在模拟信号系统中，用傅里叶变换进行频域分析，在模拟信号系统中，用傅里叶变换进行频域分析，拉普拉斯变换可作为傅里叶变换的推广，对信号进行复拉普拉斯变换可作为傅里叶变换的推广，对信号进行复频域分析。在时域离散信号和系统中，用序列的傅里叶频域分析。在时域离散信号和系统中，用序列的傅里叶变换进行频域分析，变换进行频域分析，Z变换则是其推广，用以对序列进变换则是其推广，用以对序列进行复频域分析。因此行复频域分析。因此Z变换在数字信号处理中同样起着很变换在数字信号处理中同样起着很重要的作用。重要的作用。8/30/2024742.5.1Z变换的定义变换的定义序列序列x(n)的的Z变换定义为变换定义为 （2.5.1）式中式中z是一个复变量，它所在的复平面称为是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意平面。注意在定义中，对在定义中，对n求和是在求和是在、之间求和，可以称为之间求和，可以称为双边双边Z变换。还有一种称为单边变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式：变换的定义，如下式： （2.5.2）defdef8/30/202475这种单边这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种用两种Z变换定义计算的结果是一样的。本书中如不另外说明，变换定义计算的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边均用双边Z变换对信号进行分析和变换。变换对信号进行分析和变换。（2.5.1）式）式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即级数绝对可和，即 （2.5.3）使（使（2.5.3）式成立，）式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛变量取值的域称为收敛域。一般收敛域为环状域，即域为环状域，即8/30/202476令令z=rej，代入上式得到代入上式得到RxrRx，收敛域是分别以收敛域是分别以Rx和和Rx为收敛半径的两个圆形成的环状域为收敛半径的两个圆形成的环状域(如图如图 2.5.1 中所示的斜线部分中所示的斜线部分)。 当然，当然，Rx可以小到零，可以小到零，Rx可以可以大到无穷大。收敛域的示意图如图大到无穷大。收敛域的示意图如图2.5.1所示。所示。8/30/202477图2.5.1变换的收敛域8/30/202478常用的常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：表示：分子多项式分子多项式P(z)的根是的根是X(z)的零点，分母多项式的零点，分母多项式Q(z)的的根是根是X(z)的极点。在极点处的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里叶变换定义（对比序列的傅里叶变换定义（2.2.1）式，很容易）式，很容易得到傅里叶变换和得到傅里叶变换和Z变换（变换（ZT）之间的关系，用下式之间的关系，用下式表示：表示：8/30/202479（2.5.4） 式中式中, z=ej表示在表示在z平面上平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。的圆，该圆称为单位圆。（2.5.4）式表明单位圆上的）式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的如果已知序列的Z变换，就可用（变换，就可用（2.5.4）式很方便地求出）式很方便地求出序列的傅里叶变换，条件是收敛域中包含单位圆。序列的傅里叶变换，条件是收敛域中包含单位圆。【例例2.5.1】x(n)=u(n), 求其求其Z变换。变换。解解8/30/202480X(z)存在的条件是存在的条件是|z1|1, 因此因此X(z)表达式表明，极点是表达式表明，极点是z=1，单位圆上的单位圆上的Z变换不存在，变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆，因此其傅里叶变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆，因此其傅里叶变换不存在，更不能用（更不能用（2.5.4）式求傅里叶变换。该序列的傅里叶变）式求傅里叶变换。该序列的傅里叶变换不存在，但如果引进奇异函数换不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换则其傅里叶变换则可以表示出来（见表可以表示出来（见表2.3.2）。该例同时说明一个序列的）。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，但在一定收敛域内傅里叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变换是可以存变换是可以存在的。在的。8/30/2024812.5.2序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收变换收敛域，了解序列特性与收敛域的一般关系，对使用敛域的一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。变换是很有帮助的。1 有限长序列有限长序列如序列如序列x(n)满足下式：满足下式：即序列即序列x(n)从从n1到到n2的序列值不全为零，此范围之外序列的序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为变换为其它其它8/30/202482设设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除为有界序列，由于是有限项求和，除0与与两两点是否收敛与点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个取值情况有关外，整个z平面均收平面均收敛。如果敛。如果n10，则收则收敛域不包括敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：点。具体有限长序列的收敛域表示如下：n10, n20时，时，0|z|n10时，时，0|z|0时，时，0|z|8/30/202483【例例2.5.2】求求x(n)=RN(n)的的Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。解解 这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。但但由结果的分母可以看出，似乎由结果的分母可以看出，似乎z=1是是X(z)的极点，但同时的极点，但同时分子多项式在分子多项式在z=1时也有一个零点，极、零点对消，时也有一个零点，极、零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求在单位圆上仍存在，求RN(n)的傅里叶变换，可将的傅里叶变换，可将z=ej代入代入X(z)得到，其结果和例题得到，其结果和例题2.2.1中的结果（中的结果（2.2.5）式）式是相同的。是相同的。8/30/2024842 右序列右序列右序列是指在右序列是指在nn1时，序列值不全为零，而在时，序列值不全为零，而在nn1时，序列值全为零的序列。时，序列值全为零的序列。 右序列的右序列的Z变换表示为变换表示为第一项为有限长序列，设第一项为有限长序列，设n11，其收敛域为其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为第二项为因果序列，其收敛域为Rx|z|，Rx是第二是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx|z|。如果是因果序列，收敛域为如果是因果序列，收敛域为Rx|z|。 8/30/202485【例例2.5.3】求求x(n)=anu(n)的的Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。解解 在收敛域中必须满足在收敛域中必须满足|az1|a|。8/30/2024863 左序列左序列左序列是指在左序列是指在nn2时，序列值不全为零，而在时，序列值不全为零，而在nn2时，序列值全为零的序列。左序列的时，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为变换表示为如果如果n20, z=0点收敛，点收敛，z=点不收敛，其收敛域是在点不收敛，其收敛域是在某一圆（半径为某一圆（半径为Rx+）的圆内，收敛域为的圆内，收敛域为0|z|Rx+。如果如果n20，则收敛域为则收敛域为0|z|Rx，则其收敛域为则其收敛域为Rx|z|Rx+，是一个环状域；如是一个环状域；如果果Rx+Rx，两个收敛域没有交集，两个收敛域没有交集，X(z)则没有收敛域，则没有收敛域，因此因此X(z)不存在。不存在。8/30/202489【例例2.5.5】x(n)=a|n|, a为实数，求为实数，求x(n)的的Z变换及变换及其收敛域。其收敛域。解解第一部分收敛域为第一部分收敛域为|az|1，得，得|z|a|1; 第二部分收敛域为第二部分收敛域为|az1|a|。如果如果|a|1, 两部分的公共收敛域为两部分的公共收敛域为|a|z|a|1, 其其Z变换如下式变换如下式:如果如果|a|1，则无公共收敛域，因此则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当不存在。当0aa；又例如又例如在例在例2.5.4中，其极点为中，其极点为z=a，但，但x(n)是一个左序列，收敛域是一个左序列，收敛域一定在某个圆内，即一定在某个圆内，即|z|a|。 8/30/2024922.5.3逆逆Z变换变换已知序列的已知序列的Z变换变换X(z)及其收敛域，求原序列及其收敛域，求原序列x(n)的过程称为求逆的过程称为求逆Z变换。计算逆变换。计算逆Z变换的方法有变换的方法有留数法、部分分式展开法和幂级数法（长除法）。下留数法、部分分式展开法和幂级数法（长除法）。下面仅介绍留数法和部分分式展开法，重点放在留数法。面仅介绍留数法和部分分式展开法，重点放在留数法。8/30/202493式中式中, c是是X(z)收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合曲收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合曲线，如图线，如图2.5.3所示。求逆所示。求逆Z变换时，直接计算围线积分变换时，直接计算围线积分是比较麻烦的，用留数定理求则很容易。为了表示简单，是比较麻烦的，用留数定理求则很容易。为了表示简单，用用F(z)表示被积函数：表示被积函数：F(z)=X(z)zn1。 1 用留数定理求逆用留数定理求逆Z变换变换序列的序列的Z变换及其逆变换及其逆Z变换表示如下：变换表示如下：（2.5.5） 8/30/202494图2.5.3围线积分路径 8/30/202495如果如果F(z)在围线在围线c内的极点用内的极点用zk表示，则根据留数定理表示，则根据留数定理有有（2.5.6） 式中式中, ResF(z), zk表示被积函数表示被积函数F(z)在极点在极点z=zk的留的留数，逆数，逆Z变换是围线变换是围线c内所有的极点留数之和。内所有的极点留数之和。如果如果zk是单阶极点，则根据留数定理有是单阶极点，则根据留数定理有（2.5.7）8/30/202496如果如果zk是是N阶极点，则根据留数定理有阶极点，则根据留数定理有（2.5.8）（2.5.8）式表明，对于式表明，对于N阶极点，需要求阶极点，需要求N1次导次导数，这是比较麻烦的。如果数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而内有多阶极点，而c外没有多外没有多阶极点，则可以根据留数辅助定理改求阶极点，则可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留外的所有极点留数之和，使问题简单化。数之和，使问题简单化。8/30/202497如果如果F(z)在在z平面上有平面上有N个极点，在收敛域内的封个极点，在收敛域内的封闭曲线闭曲线c将将z平面上的极点分成两部分：一部分平面上的极点分成两部分：一部分c是内是内极点，设有极点，设有N1个极点，用个极点，用z1k表示；另一部分是表示；另一部分是c外极外极点，有点，有N2个，用个，用z2k表示。表示。N=N1+N2。根据留数辅助定根据留数辅助定理，下式成立：理，下式成立：（2.5.9） 8/30/202498注意：（注意：（2.5.9）式成立的条件是）式成立的条件是F(z)的分母阶次应的分母阶次应比分子阶次高二阶以上。设比分子阶次高二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z), P(z)和和Q(z)分分别是别是M与与N阶多项式。（阶多项式。（2.5.9）式成立的条件是）式成立的条件是NMn+12因此要求因此要求na, 求其求其逆逆Z变换变换x(n)。解解为了用留数定理求解，先找出为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点。显然，的极点。显然，F(z)的极点与的极点与n的取值有关。的取值有关。8/30/2024100极点有两个：极点有两个：z=a；当；当n0时，其中时，其中z=0的极点和的极点和n的取值有关。的取值有关。n0时，时，z=0不是极点；不是极点；n0时，时，z=0是一是一个个n阶极点。因此，分成阶极点。因此，分成n0和和n0两种情况求两种情况求x(n)。n0时，时，F(z)在在c内只有内只有1个极点：个极点：z1=a；n0时，时，F(z)在在c内有内有2个极点：个极点：z1=a, a2=0（n阶）；阶）；所以，应当分段计算所以，应当分段计算x(n)。n0 时，时，8/30/2024101n0时，时，z=0是是n阶极点，不易求留数。阶极点，不易求留数。 采用留数辅助定理采用留数辅助定理求解，先检查（求解，先检查（2.5.10）式是否满足。）式是否满足。 该例题中该例题中N=M=1，NM=0, 所以所以n0时，时， 满足（满足（2.5.10）式，可以采用留）式，可以采用留数辅助定理求解，改求圆外极点留数，但对于数辅助定理求解，改求圆外极点留数，但对于F(z)，该例该例题中圆外没有极点（见图题中圆外没有极点（见图2.5.4），故），故na，根据前面分析根据前面分析的序列特性对收敛域的影响知道，的序列特性对收敛域的影响知道，x(n)一定是因果序列，一定是因果序列，这样这样n0部分一定为零，无需再求。本例如此求解是为了部分一定为零，无需再求。本例如此求解是为了证明留数辅助定理法的正确性。证明留数辅助定理法的正确性。 8/30/2024102图2.5.4例2.5.6中n|a1|，对应的对应的x(n)是因果序列；是因果序列；（2） |z|a|，对应的对应的x(n)是左序列；是左序列；（3） |a|z|a1|:这种情况的原序列是因果的右序列，无须求这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n0时的时的x(n)。当。当n0时，时，F(z)在在c内有两个极点：内有两个极点：z=a和和z=a1，因此因此8/30/2024106最后表示成：最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。 8/30/2024107（2） 收敛域为收敛域为|z|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况。实情况。实际上，当际上，当n0时，围线积分时，围线积分c内没有极点，因此内没有极点，因此x(n)=0。n0时，时，c内只有一个极点内只有一个极点z=0，且是且是n阶极点，改求阶极点，改求c外外极点留数之和。极点留数之和。n0时时, 8/30/2024108最后将最后将x(n)表示成封闭式：表示成封闭式：x(n)=(anan)u(n1)（3） 收敛域为收敛域为|a|z|a1|:这种情况对应的这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数是双边序列。根据被积函数F(z)，按，按n0和和n0两种情况分别求两种情况分别求x(n)。n0时，时，c内只有内只有1个极点：个极点：z=a, x(n)=ResF(z), a=an8/30/2024109n0时时，c内内极极点点有有2个个，其其中中z=0是是n阶阶极极点点，改改求求c外极点留数，外极点留数，c外极点只有外极点只有z=a1， 因此因此x(n)=ResF(z), a1=an最后将最后将x(n)表示为表示为即即x(n)=a|n|8/30/20241102 部分分式展开法部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常也用部分分式展对于大多数单阶极点的序列，常常也用部分分式展开法求逆开法求逆Z变换。变换。设设x(n)的的Z变换变换X(z)是有理函数，分母多项式是是有理函数，分母多项式是N阶，阶，分子多项式是分子多项式是M阶，将阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表（参考表式之和，通过查表（参考表2.5.1）求得各部分的逆变换，）求得各部分的逆变换，再相加便得到原序列再相加便得到原序列x(n)。设。设X(z)只有只有N个一阶极点，可个一阶极点，可展成下式展成下式:（2.5.11） （2.5.12） 8/30/2024111观察上式，观察上式，X(z)/z在在z=0的极点留数就是系数的极点留数就是系数A0，在极点在极点z=zm的留数就是系数的留数就是系数Am。（2.5.13） （2.5.14）求出求出Am系数系数(m=0, 1, 2, , N)后，查表后，查表2.5.1可求得可求得x(n)序列。序列。8/30/2024112【例例2.5.8】已知已知, 2|z|3，求逆求逆Z变换。变换。解解 8/30/2024113因为收敛域为因为收敛域为2|z|2。第二部分极点是第二部分极点是z=-3，收敛域应取收敛域应取|z|3。查表查表2.5.1，得到：，得到：x(n)=2nu(n)+(3)nu(n1)注意注意:在进行部分分式展开时，也用到求留数问在进行部分分式展开时，也用到求留数问题；求各部分分式对应的原序列时，还要确定它的收敛题；求各部分分式对应的原序列时，还要确定它的收敛域在哪里，因此一般情况下不如直接用留数法求方便。域在哪里，因此一般情况下不如直接用留数法求方便。一些常见的序列的一些常见的序列的Z变换可参考表变换可参考表2.5.1。 8/30/2024114表表2.5.1常见序列的常见序列的Z变换变换 8/30/20241152.5.4Z变换的性质和定理变换的性质和定理下面介绍下面介绍Z变换重要的性质和定理。变换重要的性质和定理。1 线性性质线性性质设设m(n)=ax(n)+by(n)a, b为常数为常数 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Ry|z|Ry+则则 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z)Rm|z|RxRy+Ry时，则时，则M(z)不存在。不存在。8/30/20241172 序列的移位性质序列的移位性质设X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则 （2.5.16）8/30/20241183 序列乘以指数序列的性质序列乘以指数序列的性质设设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ y(n)=anx(n)a为常数为常数则则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a1z)|a|Rx|z|a|Rx+ 因为因为Rx|a1z|Rx+，得到得到|a|Rx|z|a|Rx+。证明证明（2.5.17）8/30/20241194 序列乘以序列乘以n的的ZT设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则 （2.5.18）证明证明8/30/2024120因此因此 8/30/20241215 复共轭序列的复共轭序列的ZT性质性质设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+ （2.5.19）证明证明8/30/20241226 初值定理初值定理设设x(n)是因果序列，是因果序列，X(z)=ZTx(n)， 则则（2.5.20）证明证明 因此因此8/30/20241237 终值定理终值定理若若x(n)是因果序列，其是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个变换的极点，除可以有一个一阶极点在一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则上，其它极点均在单位圆内，则（2.5.21）证明证明因为因为x(n)是因果序列，是因果序列，x(n)=0, n0, 所以所以8/30/2024124因为因为(z1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限：取极限：8/30/2024125终值定理也可用终值定理也可用X(z)在在z=1点的留数表示，因为点的留数表示，因为因此因此 x()=ResX(z), 1（2.5.22）如果在单位圆上如果在单位圆上X(z)无极点，则无极点，则x()=0。8/30/20241268 时域卷积定理时域卷积定理 设w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Rx|z|Ry+1则W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(z)Rw|z|Rw+（2.5.23）Rw+=minRx+, Ry+Rw=maxRx, Ry8/30/2024127证明证明W(z) 的收敛域就是的收敛域就是X(z)和和Y(z)的公共收敛域。的公共收敛域。8/30/2024128【例例2.5.9】已知网络的单位脉冲响应已知网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n)，|a|1, 网络输入序列网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列求网络的输出序列y(n)。解解y(n)=h(n)*x(n)求求y(n)可用两种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是可用两种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是Z变换法。变换法。（1） 8/30/2024129（2） 8/30/2024130由收敛域判定由收敛域判定 y(n)=0n0n0时，时，将将y(n)表示为表示为8/30/20241319 复卷积定理复卷积定理如果ZTx(n)=X(z)Rx|z|Rx+ ZTy(n)=Y(z)Ry|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)则（2.5.24） W(z)的收敛域为RxRy|z|Rx+Ry+(2.5.25)8/30/2024132（2.5.24）式中）式中平面上，被积函数的收敛域为平面上，被积函数的收敛域为（2.5.26）证明证明 8/30/2024133由由X(z)的收敛域和的收敛域和Y(z)的收敛域得到：的收敛域得到：因此因此 8/30/2024134【例例2.5.10】已知已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|, 0|a|1若若w(n)=x(n)y(n)，求，求W(z)=ZTw(n)。 解解 8/30/2024135W(z)的收敛域为的收敛域为|a|z|；被积函数被积函数平面上的收敛域为平面上的收敛域为max(|a|, 0)|min(|a1|, |z|)，平面上极点：平面上极点：a、a1和和z，c内极点：内极点：z=a。 令令8/30/202413610 帕斯维尔（帕斯维尔（Parseval）定理定理设X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+RxRy1那么（2.5.27） 8/30/2024137平面上，平面上，c所在的收敛域为所在的收敛域为利用复卷积定理可以证明上面的重要的帕斯维尔定理。利用复卷积定理可以证明上面的重要的帕斯维尔定理。证明令证明令w(n)=x(n)y*(n)按照（按照（2.5.24）式得到：）式得到：8/30/2024138按照（按照（2.5.25）式，）式，RxRy|z|Rx+Ry+; 按照假设，按照假设，z=1在收敛域中，将在收敛域中，将z=1代入代入W(z)中，则有中，则有8/30/2024139因此因此 如果如果x(n)和和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令式中令=ej，得到得到:令令x(n)=y(n)，得到：得到：8/30/2024140（2.5.28） 上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕斯维尔定上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕斯维尔定理（理（2.2.34）式是相同的。（）式是相同的。（2.5.28）式还可以表示成下式：）式还可以表示成下式：（2.5.29） 注意：上式中注意：上式中X(z)收敛域包含单位圆，当收敛域包含单位圆，当x(n)为实序为实序列时，列时，X(ej)=X*(ej)。 8/30/20241412.5.5利用利用Z变换解差分方程变换解差分方程在第在第1章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。解过程简单。设设N阶线性常数差分方程为阶线性常数差分方程为（2.5.30） 8/30/20241421 求稳态解求稳态解如果输入序列如果输入序列x(n)是在是在n=0以前以前时加上的，时加上的，n时刻时刻的的y(n)是稳态解，对（是稳态解，对（2.5.30）式求）式求Z变换，得到：变换，得到：（2.5.31） 8/30/2024143式中式中 （2.5.32） 8/30/20241442 求暂态解求暂态解对于对于N阶差分方程，求暂态解必须已知阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条个初始条件。设件。设x(n)是因果序列，即是因果序列，即x(n)=0, nmax(|a|, |b|), 因此因此式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。8/30/20241502.6利用利用Z变换分析信号和系统的频响特性变换分析信号和系统的频响特性2.6.1频率响应函数与系统函数频率响应函数与系统函数设系统初始状态为零，系统对输入为单位脉冲序列设系统初始状态为零，系统对输入为单位脉冲序列(n)的响应输出称为系统的单位脉冲响应的响应输出称为系统的单位脉冲响应h(n)。对。对h(n)进进行傅里叶变换行傅里叶变换, 得到：得到：一般称一般称H(ej)为系统的频率响应函数，或称系统的传输函数，为系统的频率响应函数，或称系统的传输函数，它表征系统的频率响应特性。它表征系统的频率响应特性。|H(ej)| 称为幅频特性函数，称为幅频特性函数，()称为相频特性函数。称为相频特性函数。（2.6.1）8/30/2024151将将h(n)进行进行Z变换，得到变换，得到H(z)，一般称一般称H(z)为系统的为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程阶差分方程（1.4.2）式，进行）式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式变换，得到系统函数的一般表示式 （2.6.2）如果如果H(z)的收敛域包含单位圆的收敛域包含单位圆|z|=1，则，则H(ej)与与H(z)之间的关系如下：之间的关系如下：(2.6.3) 8/30/2024152H(ej)表示系统对特征序列表示系统对特征序列ejn的响应特性的响应特性, 这也是这也是H(ej)的物理意义所在，下面具体阐述。的物理意义所在，下面具体阐述。若系统输入信号若系统输入信号X(n)=ejn, 则系统输出信号为则系统输出信号为即即8/30/2024153上式说明，单频复指数信号上式说明，单频复指数信号ejn通过频率响应函数为通过频率响应函数为H(ej)的系统后，输出仍为单频复指数序列，其幅度放大的系统后，输出仍为单频复指数序列，其幅度放大|H(ej)|倍，相移为倍，相移为()。为了加深读者对为了加深读者对H(ej)物理意义的理解，下面以大家物理意义的理解，下面以大家熟悉的正弦信号为例进行讨论。当系统输入信号熟悉的正弦信号为例进行讨论。当系统输入信号x(n)=cos(n)时，求系统的输出信号时，求系统的输出信号y(n):因为因为8/30/2024154所以，利用上面的结论可得到所以，利用上面的结论可得到:设设h(n)为实序列，则为实序列，则H*(ej)=H(ej), |H(ej)|=|H(ej)|, ()=(), 故故8/30/2024155由此可见，线性时不变系统对单频正弦信号由此可见，线性时不变系统对单频正弦信号cos(n)的响应为同频正弦信号，其幅度放大的响应为同频正弦信号，其幅度放大|H(ej）|倍，相移增倍，相移增加加()，这就是其名称这就是其名称“频率响应函数频率响应函数”、“幅频响应幅频响应”和和“相频响应相频响应”的物理含义。如果系统输入为一般的序列的物理含义。如果系统输入为一般的序列x(n)，则，则H(ej)对对x(n)的不同的频率成分进行加权处理。的不同的频率成分进行加权处理。对感兴趣的频段，取对感兴趣的频段，取|H（ej)|=1，其他频段其他频段|H(ej)|=0, 则则Y(ej)=X(ej)H（ej), 就实现了对输入信号的滤波处就实现了对输入信号的滤波处理。理。8/30/2024156因果（可实现）系统其单位脉冲响应因果（可实现）系统其单位脉冲响应h(n)一定是因果一定是因果序列序列 ，那么其系统函数，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含的收敛域一定包含点，即点，即点不是极点，极点分布在某个圆内，收敛域在某个圆外。点不是极点，极点分布在某个圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求系统稳定要求 , 这里是这里是 存在的条件存在的条件,对照对照Z变换与傅里叶变换的关系可知，系统变换与傅里叶变换的关系可知，系统稳定的条件是稳定的条件是H(z)的收敛域包含单位圆。如果系统因果且的收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为点和单位圆，那么收敛域可表示为r|z|0r12.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性8/30/2024157这样这样H(z)的极点集中在单位圆的内部。具体系统的因果的极点集中在单位圆的内部。具体系统的因果性和稳定性可由系统函数性和稳定性可由系统函数H(z)的极点分布和收敛域确定。的极点分布和收敛域确定。下面通过例题说明。下面通过例题说明。如果系统函数分母多项式阶数较高（如如果系统函数分母多项式阶数较高（如3阶以上），阶以上），用手工计算极点分布并判定系统是否稳定，不是一件简用手工计算极点分布并判定系统是否稳定，不是一件简单的事情。用单的事情。用MATLAB函数判定则很简单，判定函数程函数判定则很简单，判定函数程序如下序如下:8/30/2024158function stab(A)%stab: 系统稳定性判定函数，系统稳定性判定函数，A是是 H(z)的分母多项式系的分母多项式系数向量数向量disp(系统极点为：系统极点为：)P=roots(A)%求求H(z)的极点，并显示的极点，并显示disp(系统极点模的最大值为：系统极点模的最大值为：)M=max(abs(P)%求所有极点模的最大值，并显示求所有极点模的最大值，并显示if M1 disp(系统稳定系统稳定), else, disp(系统不稳定系统不稳定), end8/30/2024159请注意，这里要求请注意，这里要求H(z)是正幂有理分式。给是正幂有理分式。给H(z)的分母的分母多项式系数向量多项式系数向量A赋值，调用该函数，求出并显示系统极点，赋值，调用该函数，求出并显示系统极点，极点模的最大值极点模的最大值M，判断判断M值，如果值，如果M1, 则显示则显示“系统稳定系统稳定”，否则显示，否则显示“系统不稳定系统不稳定”。如果。如果H(z)的分母多项式系数的分母多项式系数A=22.980.172.3418 1.5147，则调用该函数输出如下则调用该函数输出如下: P=0.90000.7000+0.6000i0.70000.6000i0.9900系统极点模的最大值为：系统极点模的最大值为：M=0.9900系统稳定。系统稳定。8/30/2024160【例例2.6.1】已知，已知，分析其因果性和稳定性。分析其因果性和稳定性。解解H(z)的极点为的极点为z=a, z=a1，如图如图2.5.5所示。所示。（1） 收敛域为收敛域为a1|z|: 对应的系统是因果系统，但对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应应h(n)=(anan)u(n)（参考例参考例2.5.7），这是一个因果序列，），这是一个因果序列，但不收敛。但不收敛。（2） 收敛域为收敛域为0|z|a: 对应的系统是非因果且不稳定对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应系统。其单位脉冲响应h(n)=(anan)u(n1)（参考例参考例2.5.7），这是一个非因果且不收敛的序列。），这是一个非因果且不收敛的序列。8/30/2024161图图2.6.1例例2.6.1图示图示 8/30/2024162（3） 收敛域为收敛域为a|z|a1: 对应一个非因果系统，但对应一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。所示。下面分析如同例下面分析如同例2.6.1这样的系统的可实现性。这样的系统的可实现性。H(z)的三种收敛域中，前两种系统不稳定，不能选用；的三种收敛域中，前两种系统不稳定，不能选用；最后一种收敛域，系统稳定但非因果，还是不能具体实现。最后一种收敛域，系统稳定但非因果，还是不能具体实现。因此严格地讲，这样的系统是无法具体实现的。因此严格地讲，这样的系统是无法具体实现的。8/30/2024163但是我们利用数字系统或者说计算机的存储性质，可但是我们利用数字系统或者说计算机的存储性质，可以近似实现第三种情况。方法是将图以近似实现第三种情况。方法是将图2.6.1(a)从从N到到N截截取一段，再向右移，形成如图取一段，再向右移，形成如图2.6.1(b)所示的所示的h(n)序列，序列，将将h(n)作为具体实现的系统单位脉冲响应。作为具体实现的系统单位脉冲响应。N愈大，愈大，h(n)表示的系统愈接近表示的系统愈接近h(n)系统。具体实现时，预先将系统。具体实现时，预先将h(n)存存储起来，备运算时应用。这种非因果但稳定的系统的近似储起来，备运算时应用。这种非因果但稳定的系统的近似实现性，是数字信号处理技术比模拟信息处理技术优越的实现性，是数字信号处理技术比模拟信息处理技术优越的地方。地方。说明：对一个实际的物理实现系统，其说明：对一个实际的物理实现系统，其H(z)的收敛域的收敛域是唯一的是唯一的 。8/30/20241642.6.3利用系统的极零点分布分析系统的利用系统的极零点分布分析系统的频率响应特性频率响应特性将将(2.6.2)式因式分解，得到：式因式分解，得到：式中，式中，A=b0/a0, cr是是H(z)的零点，的零点，dr是其极点。是其极点。A参数影参数影响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点和极点dr的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。点分布对系统频率特性的影响。（2.6.4）8/30/2024165将将(2.6.4)式分子、分母同乘以式分子、分母同乘以zN+M，得到：得到：（2.6.5） 设系统稳定，将设系统稳定，将z=ej代入上式，得到频率响应函数代入上式，得到频率响应函数（2.6.6） 8/30/2024166在在z平面上，平面上，ejcr用一根由零点用一根由零点cr指向单位圆上指向单位圆上ej点点B的向量表示，同样，的向量表示，同样，ejdr用由极点指向用由极点指向ej点点B的向量的向量表示，如图表示，如图2.6.2所示，即所示，即和和分别称为零点向量和极点向量，将它们用极坐标表示：分别称为零点向量和极点向量，将它们用极坐标表示：将将和和表示式代入表示式代入(2.6.7)式，得到：式，得到：8/30/2024167（2.6.7） （2.6.8） (2.6.9)8/30/2024168系统的频响特性由系统的频响特性由(2.6.8)式和式和(2.6.9)式确定。当频率式确定。当频率从从0变化到变化到2时，这些向量的终点时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋沿单位圆逆时针旋转一周，按照转一周，按照(2.6.8)式和式和(2.6.9)式，分别估算出系统式，分别估算出系统的幅频特性和相频特性。例如图的幅频特性和相频特性。例如图2.6.2表示了具有一个零表示了具有一个零点和两个极点的频率特性。点和两个极点的频率特性。8/30/2024169图2.6.2频响的几何表示法8/30/2024170按照按照(2.6.8)式，知道零极点的分布后，可以很容易式，知道零极点的分布后，可以很容易地确定零极点位置对系统特性的影响。当地确定零极点位置对系统特性的影响。当B点转到极点附点转到极点附近时，极点相量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，近时，极点相量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点相量长度愈短，峰值愈高愈且极点愈靠近单位圆，极点相量长度愈短，峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为，系统不稳，系统不稳定。对于零点，情况相反，当定。对于零点，情况相反，当B点转到零点附近时，零点点转到零点附近时，零点相量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位相量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位圆，谷值愈接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。圆，谷值愈接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。总结以上结论：极点位置主要影响频响的峰值位置及尖总结以上结论：极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。8/30/2024171这种通过零极点位置分布分析系统频响的几何方这种通过零极点位置分布分析系统频响的几何方法为我们提供了一个直观的概念，对于分析和设计系法为我们提供了一个直观的概念，对于分析和设计系统是十分有用的。基于这种概念，可以用零极点累试统是十分有用的。基于这种概念，可以用零极点累试法设计简单滤波器。法设计简单滤波器。下面介绍用下面介绍用MATLAB计算零、极点及频率响应计算零、极点及频率响应曲线。首先介绍曲线。首先介绍MATLAB工具箱中两个函数工具箱中两个函数zplane和和freqz的功能和调用格式。的功能和调用格式。zplane绘制绘制H(z)的零、极点图。的零、极点图。8/30/2024172zplane(z, p)绘制出列向量绘制出列向量z中的零点（以符号中的零点（以符号“”表示）和列向量表示）和列向量p中的极点（以符号中的极点（以符号“”表示）表示），同时画出参考单位圆，并在多阶零点和极点的右上角，同时画出参考单位圆，并在多阶零点和极点的右上角标出其阶数。如果标出其阶数。如果z和和p为矩阵，则为矩阵，则zplane以不同的颜色以不同的颜色分别绘出分别绘出z和和p各列中的零点和极点。各列中的零点和极点。zplane(B, A)绘制出系统函数绘制出系统函数H(z)的零极点图。其的零极点图。其中中B和和A为系统函数为系统函数H(z) = B(z)/A(z)的分子和分母多项的分子和分母多项式系数向量。假设系统函数式系数向量。假设系统函数H(z)用下式表示用下式表示:8/30/2024173则则B=B(1)B(2)B(3)B(M+1)，A=A(1)A(2)A(3)A(N+1)freqz计算数字滤波器计算数字滤波器H(z)的频率响应。的频率响应。H=freqz(B, A, w)计算由向量计算由向量w指定的数字频率点上指定的数字频率点上数字滤波器数字滤波器H(z)的频率响应的频率响应H(ejw)，结果存于结果存于H向量中。向量中。B和和A仍为仍为H(z)的分子和分母多项式系数向量（同上）。的分子和分母多项式系数向量（同上）。H, w= freqz(B, A, M)计算出计算出M个频率点上的频率个频率点上的频率响应，存放在响应，存放在H向量中，向量中，M个频率存放在向量个频率存放在向量w中。中。freqz函函数自动将这数自动将这M个频率点均匀设置在频率范围个频率点均匀设置在频率范围0, 上。上。 8/30/2024174H, w = freqz(B, A, M, whole)自动将自动将M个个频率点均匀设置在频率范围频率点均匀设置在频率范围0, 2上。上。当然，还可以由频率响应向量当然，还可以由频率响应向量H得到各采样频点上得到各采样频点上的幅频响应函数和相频响应函数；再调用的幅频响应函数和相频响应函数；再调用plot绘制其曲线绘制其曲线图。图。|H(ej)|=abs(H)()=angle(H)式中，式中，abs函数函数的功能是对复数求模，对实数求绝对值；的功能是对复数求模，对实数求绝对值；angle函数函数的功能是求复数的相角。的功能是求复数的相角。 8/30/2024175freqz(B, A)自动选取自动选取512个频率点计算。不带输个频率点计算。不带输出向量的出向量的freqz函数将自动绘出固定格式的幅频响应和函数将自动绘出固定格式的幅频响应和相频响应曲线。所谓固定格式相频响应曲线。所谓固定格式, 是指频率范围为是指频率范围为0, ，频率和相位是线性坐标，幅频响应为对数坐标。频率和相位是线性坐标，幅频响应为对数坐标。其他几种调用格式可用命令其他几种调用格式可用命令help查阅。查阅。8/30/2024176【例例2.6.2】已知已知H(z)=z1，分析其频率特性。分析其频率特性。解由解由H(z)=z1，可知极点为可知极点为z=0，幅频特性幅频特性|H(ej)|=1, 相频特性相频特性()=，频响特性如图频响特性如图 2.6.3所示。所示。用几何方法也容易确定，当用几何方法也容易确定，当=0转到转到=2时，极点向量的时，极点向量的长度始终为长度始终为1。由该例可以得到结论：处于原点处的零点或。由该例可以得到结论：处于原点处的零点或极点，由于零点向量长度或者极点向量长度始终为极点，由于零点向量长度或者极点向量长度始终为1，因此，因此原点处的零极点不影响系统的幅频响应特性原点处的零极点不影响系统的幅频响应特性, 但对相频特但对相频特性有贡献。性有贡献。8/30/2024177图2.6.3H(z)=z1的频响特性 8/30/2024178 【例例2.6.3】设一阶系统的差分方程为设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n1)+x(n) 用几何法分析其幅度特性。用几何法分析其幅度特性。解由系统差分方程得到系统函数为解由系统差分方程得到系统函数为式中，式中，0b1。系统极点系统极点z=b，零点零点z=0，当，当B点从点从=0逆逆时针旋转时，在时针旋转时，在=0点，由于极点向量长度最短，形成点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在波峰；在=点形成波谷；点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。处零点不影响幅频响应。极零点分布及幅度特性如图极零点分布及幅度特性如图2.6.4所示。所示。8/30/2024179图2.6.4例2.6.3插图8/30/2024180【例例2.6.4】已知已知H(z)=1zN，试定性画出系统试定性画出系统的幅频特性。的幅频特性。解解H(z)的极点为的极点为z=0，这是一个这是一个N阶极点，它不影响系统阶极点，它不影响系统的幅频响应。零点有的幅频响应。零点有N个，由分子多项式的根决定个，由分子多项式的根决定即即8/30/2024181N个零点等间隔分布在单位圆上，设个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分极零点分布如图布如图2.6.5所示。当所示。当从从0变化到变化到2时，每遇到一个零时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：值。幅度谷值点频率为：k=(2/N)k, k=0, 1, 2, N1。一般将具有如图一般将具有如图2.6.5所示的幅调用所示的幅调用zplane和和freqz求解本例的程序求解本例的程序ep264.m如下如下:8/30/2024182 ep264.m: 例例2.6.4求解程序求解程序 B = 1 0 0 0 0 0 0 0 1; A=1; 设置系统函数系数向量设置系统函数系数向量B和和A subplot(2, 2, 1); zplane(B, A); 绘制零极点图绘制零极点图 H, w=freqz(B, A); 计算频率响应计算频率响应 subplot(2, 2, 2); plot(w/pi, abs(H):绘制幅频响应曲线绘制幅频响应曲线 xlabel(omegapi); ylabel(|H(ejomega)|); axis(0, 1, 0, 2.5) subplot(2, 2, 4); plot(w/pi, angle(H); 绘制相频响应曲线绘制相频响应曲线 xlabel(omegapi); ylabel(phi(omega); 8/30/2024183运行上面的程序，绘制出运行上面的程序，绘制出8阶梳状滤波器的零极点阶梳状滤波器的零极点图和幅频特性、相频特性如图图和幅频特性、相频特性如图2.6.5所示。所示。8/30/2024184图图2.6.5梳状滤波器的极零点分布及幅频、相频特性梳状滤波器的极零点分布及幅频、相频特性8/30/20241852.6.4几种特殊系统的系统函数及其特点几种特殊系统的系统函数及其特点这一节介绍几种特殊的系统，即全通滤波器、梳状全通滤波器、梳状滤波器、最小相位系统滤波器、最小相位系统等。1. 全通滤波器全通滤波器如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1，即（2.6.10） 8/30/2024186则则该滤波器称为全通滤波器该滤波器称为全通滤波器(或称全通系统、全通网络或称全通系统、全通网络)。全通滤波器的频率响应函数可表示成。全通滤波器的频率响应函数可表示成（2.6.11） （2.6.11）式表明信号通过全通滤波器后，幅度谱保）式表明信号通过全通滤波器后，幅度谱保持不变，仅相位谱随持不变，仅相位谱随()改变，起改变，起纯相位滤波作用纯相位滤波作用。8/30/2024187全通滤波器的系统函数一般形式如下式：全通滤波器的系统函数一般形式如下式： （2.6.12） 8/30/2024188或者写成二阶滤波器级联形式：或者写成二阶滤波器级联形式：（2.6.13） 上面两式中的系数均为实数上面两式中的系数均为实数。容易看出，。容易看出，全通滤波器全通滤波器系统函数系统函数H(z)的构成特点是其分子、分母多项式的系的构成特点是其分子、分母多项式的系数相同，但排列顺序相反数相同，但排列顺序相反。下面证明（下面证明（2.6.12）式表示）式表示的滤波器具有全通幅频特性。的滤波器具有全通幅频特性。8/30/2024189（2.6.14） 式中，。 由于系数ak是实数，因此 8/30/2024190图2.6.6全通滤波器一组零极点示意 8/30/2024191这就证明了（这就证明了（2.6.12）式表示的）式表示的H(z)具有全通滤波特性。具有全通滤波特性。 下面分析全通滤波器的零点和极点的分布规律。设下面分析全通滤波器的零点和极点的分布规律。设zk为为H(z)的零点，按照（的零点，按照（2.6.4）式，）式，必然是必然是H(z)的极点，的极点， 记为记为， 则则pkzk=1，全通滤波器的极点和零点全通滤波器的极点和零点互为倒数关系。如果再考虑到互为倒数关系。如果再考虑到D(z)和和D(z1)的系数为实数，的系数为实数，其极点、零点均以共轭对出现，其极点、零点均以共轭对出现， 这样，复数零点、复数这样，复数零点、复数极点必然以四个一组出现。例如，极点必然以四个一组出现。例如，zk是是H(z)的零点，则必的零点，则必有零点有零点、极点极点、。、。对实数零极点，对实数零极点，则以两个一组出现，则以两个一组出现， 且零点与极点互为倒数关系。零且零点与极点互为倒数关系。零极点位置示意图如图极点位置示意图如图 2.6.6所示。所示。8/30/2024192观察图观察图2.6.6，如果将零点，如果将零点zk和极点组成一对，和极点组成一对，将零点与极点将零点与极点pk组成一对，那么全通滤波器的极点组成一对，那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现，即如果为全通滤与零点便以共轭倒易关系出现，即如果为全通滤波器的零点，则必然是全通滤波器的极点。因此，波器的零点，则必然是全通滤波器的极点。因此，全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：（2.6.15） 8/30/2024193显然，（显然，（2.6.15）式中极点和零点互为共轭倒易关系。）式中极点和零点互为共轭倒易关系。其全通特性的证明留作习题。应当注意，为了保证分其全通特性的证明留作习题。应当注意，为了保证分子、分母多项式系数是实数，极点、零点分别以共轭子、分母多项式系数是实数，极点、零点分别以共轭对形式出现，当对形式出现，当N=1时，零点、极点均为实数。时，零点、极点均为实数。全通滤波器是一种纯相位滤波器，经常用于相位全通滤波器是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡。如果要求设计一个线性相位滤波器，可以设计均衡。如果要求设计一个线性相位滤波器，可以设计一个具有线性相位的一个具有线性相位的FIR滤波器，也可以先设计一个满滤波器，也可以先设计一个满足幅频特性要求的足幅频特性要求的IIR滤波器，再级联一个全通滤波器滤波器，再级联一个全通滤波器进行相位校正，使总的相位特性是线性的。进行相位校正，使总的相位特性是线性的。 8/30/20241942. 梳状滤波器梳状滤波器 在前一节例在前一节例2.6.4中，曾提到具有如图中，曾提到具有如图2.6.5所示的幅度特性所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器，显然，梳状滤波器起名于它的幅的滤波器称为梳状滤波器，显然，梳状滤波器起名于它的幅度特性形状。下面介绍一般梳状滤波器的构成方法。度特性形状。下面介绍一般梳状滤波器的构成方法。 设滤波器的系统函数为设滤波器的系统函数为H(z)，我们知道，如果其频率响应我们知道，如果其频率响应函数函数H(ej)以以2为周期。将为周期。将H(z)的变量的变量z用用zN代替，得到代替，得到H(zN)，则相应的频率响应函数则相应的频率响应函数H(ejN)是以是以2/N为周期的，在区间为周期的，在区间0, 2上有上有N个相同频率特性周期。利用这种性质，可以构个相同频率特性周期。利用这种性质，可以构成各种梳状滤波器。成各种梳状滤波器。8/30/2024195例如，例如，, 零点为零点为1，极点为，极点为a，所以所以H(z)表示一个高通滤波器。以表示一个高通滤波器。以zN代替代替H(z)的的z，得得到：到：当当N=8时，零点为时，零点为；极点为极点为。H(zN) 零极点分布和幅频零极点分布和幅频响应特性绘制程序为响应特性绘制程序为fig267.m，其中其中a=0.2部分程序如下：部分程序如下：8/30/2024196% 图图2.6.7绘制程序：绘制程序：fig267.ma=0.2; B=1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1; A=1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -a; subplot(2, 2, 1); zplane(B, A); title(a)零极点分布零极点分布(a=0.2, N=8)Hk, w=freqz(B, A, 1024); %计算频响特性计算频响特性(a=0.2，N=8)subplot(2, 2, 2); plot(w/pi, abs(Hk)/max(abs(Hk); xlabel(omega/pi); axis(0, 1, 0, 1.5); title(b)幅频特性幅频特性(a=0.2, N=8)a=0.9; B=1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1; A=1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -a; 以下程序与以下程序与a=0.2时相同时相同(省略省略)。8/30/2024197运行本书程序集程序运行本书程序集程序fig267.m，绘制出当绘制出当N=8, a=0.2和和a=0.9时，时，H(zN)的零极点分布和幅频响应特性的零极点分布和幅频响应特性曲线如图曲线如图2.6.7所示。所示。 8/30/2024198图图2.6.7梳状滤波器的零极点分布和幅频响应特性梳状滤波器的零极点分布和幅频响应特性8/30/2024199梳状滤波器可滤除输入信号中梳状滤波器可滤除输入信号中的频率分量。这种的频率分量。这种滤波器可用于消除信号中的电网谐波干扰滤波器可用于消除信号中的电网谐波干扰。由图由图2.6.7可见，可见，a取值越接近取值越接近1，幅频特性越平坦。将图，幅频特性越平坦。将图2.6.7和图和图2.6.5比较，形状很相似，不同的是每一个梳状周期的比较，形状很相似，不同的是每一个梳状周期的形状不同。显然形状不同。显然, 图图2.6.5对应的系统函数是由对应的系统函数是由(1z1)中变量中变量z用用zN代替后得到的，用于消除电网谐波干扰时，特性不如代替后得到的，用于消除电网谐波干扰时，特性不如 的滤波性能好。但图的滤波性能好。但图2.6.5对应的对应的梳状滤波器适梳状滤波器适用于分离两路频谱等间隔交错分布的信号用于分离两路频谱等间隔交错分布的信号，例如，彩色电视接，例如，彩色电视接收机中用于进行亮色分离和色分离等。收机中用于进行亮色分离和色分离等。8/30/20242003. 最小相位系统最小相位系统一个因果稳定的时域离散线性非移变系统一个因果稳定的时域离散线性非移变系统H(z)，其其所有极点必须在单位圆内，但其零点可在所有极点必须在单位圆内，但其零点可在z平面上任意平面上任意位置，只要频响特性满足要求即可。位置，只要频响特性满足要求即可。如果因果稳定系统如果因果稳定系统H(z)的所有零点都在单位圆内，则称之为的所有零点都在单位圆内，则称之为“最小相位系最小相位系统统”，记为，记为Hmin(z)；反之，反之，如果所有零点都在单位圆如果所有零点都在单位圆外，则称之为外，则称之为“最大相位系统最大相位系统”，记为，记为Hmax(z)；若单若单位圆内、外都有零点，则称之为位圆内、外都有零点，则称之为“混合相位系统混合相位系统”。8/30/2024201最小相位系统在工程理论中较为重要。下面给出最最小相位系统在工程理论中较为重要。下面给出最小相位系统的几个重要特点。小相位系统的几个重要特点。（1） 任何一个非最小相位系统的系统函数任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均均可由一个最小相位系统可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统和一个全通系统Hap(z)级级联而成联而成，即，即H(z)=Hmin(z)Hap(z)（2.6.16）证明假设因果稳定系统证明假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位仅有一个零点在单位圆外，令该零点为圆外，令该零点为z=1/z0, |z0|1，则，则H(z)可表示为可表示为8/30/2024202（2.6.17） 因为因为H1(z)为最小相位，所以为最小相位，所以也是最小相也是最小相位，又因为为全通系统，故位，又因为为全通系统，故H(z)=Hmin(z)Hap(z)。显然，显然，|H(ej)|=|Hmin(ej)|。8/30/2024203该特点说明了在滤波器优化中很有用的结论：该特点说明了在滤波器优化中很有用的结论：将将系统位于单位圆外的零（或极）点系统位于单位圆外的零（或极）点zk用代替时，不用代替时，不会影响系统的幅频响应特性。会影响系统的幅频响应特性。这一点在滤波器优化设这一点在滤波器优化设计中已用到。在那里，将单位圆外的极点用其镜像代计中已用到。在那里，将单位圆外的极点用其镜像代替，以确保滤波器因果稳定。该结论为我们提供了一替，以确保滤波器因果稳定。该结论为我们提供了一种用非最小相位系统构造幅频特性相同的最小相位系种用非最小相位系统构造幅频特性相同的最小相位系统的方法：将非最小相位系统统的方法：将非最小相位系统H(z)位于单位圆外的零点位于单位圆外的零点z0k用代替（用代替（k=1, 2, , m0; m0为单位圆外零点为单位圆外零点数目），即得最小相位系统数目），即得最小相位系统Hmin(z), 且且Hmin(z)与与H(z)的幅频响应特性相同。的幅频响应特性相同。8/30/2024204（2） 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟（负的相位值）最小。最小相位系统的相位延迟（负的相位值）最小。由由(2.6.16)式可知，任何一个非最小相位系统式可知，任何一个非最小相位系统H(z)的相的相位函数，是一个与位函数，是一个与H(z)的幅频特性相同的最小相位系统的幅频特性相同的最小相位系统Hmin(z)的相位函数加上一个全通系统的相位函数加上一个全通系统Hap(z)的相位函数。可的相位函数。可以证明以证明全通系统全通系统Hap(z)的相位函数是非正的的相位函数是非正的1，因此任意，因此任意系统比最小相位系统多了一个负相位，这样使最小相位系统系统比最小相位系统多了一个负相位，这样使最小相位系统具有最小相位延迟的性质，或者从时域说，最小相位系统的具有最小相位延迟的性质，或者从时域说，最小相位系统的时域响应波形延迟和能量延迟均最小。时域响应波形延迟和能量延迟均最小。8/30/2024205（3） 最小相位系统保证其逆系统存在最小相位系统保证其逆系统存在。 给定一给定一个因果稳定系统个因果稳定系统H(z)=B(z)/A(z)，定义其逆系统为定义其逆系统为当且仅当当且仅当H(z)为最小相位系统时，为最小相位系统时，HINV(z)才是因果稳才是因果稳定的（物理可实现的）。定的（物理可实现的）。逆滤波在信号检测及解卷积中有重要应用。例如，逆滤波在信号检测及解卷积中有重要应用。例如，信号检测中的信道均衡器实质上就是设计信道的近似信号检测中的信道均衡器实质上就是设计信道的近似逆滤波器。逆滤波器。8/30/2024206本章作业本章作业1512288/30/2024207