非线性有限元非线性有限元第第8 8章章 单元技术单元技术 计算固体力学计算固体力学第第8 8章章 单元技术单元技术 1 1引言引言2 2单元性能单元性能3 3单元性质和分片试验单元性质和分片试验4 4Q4Q4和体积自锁和体积自锁5 5多场弱形式和单元多场弱形式和单元6 6多场四边形剪切自锁多场四边形剪切自锁7 7一点积分单元沙漏一点积分单元沙漏面对问题，如何选择单元？面对问题，如何选择单元？各种单元有什么特点？各种单元有什么特点？如何应用？如何应用？1 引言引言 发发展展单单元元技技术术是是使使单单元元具具有有更更好好的的性性能能，如如大大规规模模计计算算和和不不可可压缩材料。压缩材料。 当当应应用用于于不不可可压压缩缩材材料料的的计计算算时时，低低阶阶单单元元趋趋向向于于体体积积自自锁锁。在在体体积积自自锁锁中中，通通过过大大的的因因数数不不能能预预测测位位移移：相相对对于于其其它它合合理理的的网网格，一个过小量级的位移导致不寻常的结果。格，一个过小量级的位移导致不寻常的结果。 尽尽管管在在线线性性应应力力分分析析中中很很少少是是不不可可压压缩缩材材料料，而而在在非非线线性性中中，许许多多材材料料行行为为是是接接近近于于不不可可压压缩缩的的性性质质。例例如如：橡橡胶胶、肌肌肉肉细细胞胞是是不不可可压压缩缩的的；MisesMises弹弹- -塑塑性性材材料料的的塑塑性性行行为为是是不不可可压压缩缩的的，任任何何体体积自锁的单元均不能很好地计算积自锁的单元均不能很好地计算MisesMises材料材料。 在在非非线线性性有有限限元元中中，有有效效地地处处理理不不可可压压缩缩材材料料的的能能力力是是非非常常重重要要的的。然然而而，当当应应用用于于不不可可压压缩缩或或者者接接近近于于不不可可压压缩缩材材料料时时，大大多多数数单单元元具具有有一一定定的的弱弱点点。选选择择单单元元时时，掌掌握握这这些些弱弱点点以以及及对对它它们们的的补救措施是至关重要的。补救措施是至关重要的。1 引言引言 对对于于大大规规模模计计算算，应应用用不不完完全全积积分分以以加加快快单单元元计计算算。对对于于三三维维问问题题，将将不不完完全全与与完完全全积积分分比比较较，产产生生了了计计算算成成本本减减少少8 8阶阶的的效效果果。然然而而，不不完完全全积积分分需需要要单单元元的的稳稳定定性性。在在大大规规模模计计算算中中它它是是普普遍遍存存在在的的。从从理理论论上上它是有根据的并且能够结合多场的概念以获得高精度的单元。它是有根据的并且能够结合多场的概念以获得高精度的单元。 为了消除体积自锁，可以采用两种方法：为了消除体积自锁，可以采用两种方法：1 1 多场单元多场单元，这里压力或者应力和应变场都可以作为非独立的变量。，这里压力或者应力和应变场都可以作为非独立的变量。2 2 减缩积分程序减缩积分程序，这里弱形式的某些项是采用不完全积分。，这里弱形式的某些项是采用不完全积分。 多多场场单单元元是是基基于于多多场场弱弱形形式式或或者者变变分分原原理理；即即混混合合单单元元和和杂杂交交单单元元。除除了了位位移移，还还要要考考虑虑变变量量诸诸如如应应力力或或应应变变作作为为非非独独立立变变量量，并并且且是是位位移移的的独独立立插插值值，所所设设计计的的应应变变或或者者应应力力场场能能够够避避免免体体积积自自锁锁。附附加加的的变变量量事事实实上上是是LagrangeLagrange乘乘子子，它它们们能能够够约约束束诸诸如如不不可可压压缩缩，以以便便于于更更有有效效地地解决问题。解决问题。 1 引言引言 许许多多关关于于混混合合法法的的文文章章似似乎乎给给予予这这样样的的印印象象，对对于于单单一一场场单单元元，混混合合单单元元是是具具有有先先天天优优势势的的，但但是是，对对于于这这一一说说法法尚尚无无令令人人信信服服的的证证据据。而而可可参参考考的的证证据据是是在在没没有有约约束束的的情情况况下下，混混合合单单元元的的收收敛敛速速度度绝绝不不可可能能超超过过相相应应的的单单一一场场单单元元的的收收敛敛速速度度。因因此此，应应用用混混合合单单元元能能够够实实现现的的唯唯一一目目标标是是避避免免自自锁锁，并并改改善善所所选选择择某某种类型问题的行为，诸如梁弯曲。种类型问题的行为，诸如梁弯曲。 在在某某些些情情况况下下，对对于于梁梁弯弯曲曲或或者者其其它它特特殊殊问问题题，需需要要设设计计应应变变或或者者应应力力场场取取得得更更好好的的精精度度。混混合合单单元元可可以以改改善善单单元元的的能能力力，仅仅适适用用于于约约束束介介质质或或者者特特殊殊类类型型的的问问题题。当当没没有有约约束束时时，混混合合法法不能改善一个单元的一般性能。不能改善一个单元的一般性能。1 引言引言 本本章章首首先先描描述述了了在在模模拟拟连连续续体体中中广广泛泛应应用用的的许许多多单单元元的的特特性性，仅仅限限于于那那些些基基于于二二阶阶或或者者低低于于二二阶阶的的多多项项式式表表示示的的单单元元，因因为为在在非非线性分析中目前很少应用高阶单元。线性分析中目前很少应用高阶单元。 定定义义了了若若干干术术语语，诸诸如如一一致致性性、多多项项式式完完备备性性和和再再造造条条件件。对对于于在在线线性性问问题题中中的的各各种种单单元元，给给出出了了收收敛敛率率。对对于于非非线线性性问问题题，基基于结果的光滑性以检验这些结果的内涵。于结果的光滑性以检验这些结果的内涵。 忽略了升阶谱单元和忽略了升阶谱单元和P P单元，它们在非线性分析中极少应用。单元，它们在非线性分析中极少应用。 P P单单元元（PolynomialPolynomial），增增加加单单元元基基底底函函数数的的阶阶次次，改改善善计计算算精度，如多项式插值函数。精度，如多项式插值函数。 升升阶阶谱谱单单元元，属属于于P P单单元元，由由常常规规的的位位移移协协调调元元逐逐渐渐增增加加附附加加自由度，以不违反位移连续条件的逐次升幂多项式为基底函数。自由度，以不违反位移连续条件的逐次升幂多项式为基底函数。1 引言引言 分片试验（分片试验（patch testpatch test） 对对于于一一个个单单元元理理论论的的可可靠靠性性和和它它的的程程序序的的正正确确性性，重重要要的的是是试试验验。分分片片试试验验可可以以用用于于检检验验单单元元是是否否收收敛敛、是是否否避避免免了了自自锁锁和和是是否否稳定。有各种形式的分片试验，可以应用于静态和显式问题。稳定。有各种形式的分片试验，可以应用于静态和显式问题。 将展示单元的正确的秩和亏损的秩的概念。将展示单元的正确的秩和亏损的秩的概念。 为为了了说说明明单单元元技技术术，以以4 4节节点点等等参参四四边边形形单单元元（Q4Q4）为为例例。对对于于没没有有任任何何修修正正的的可可压压缩缩材材料料，这这种种单单元元是是收收敛敛的的。但但是是，对对于于不不可压缩和接近不可压缩的材料，这种单元自锁。可压缩和接近不可压缩的材料，这种单元自锁。1 引言引言 将将描描述述某某些些主主要要的的多多场场弱弱形形式式和和他他们们在在单单元元发发展展中中的的应应用用。第第一一个个多多场场变变分分原原理理是是Hellinger-ReissnerHellinger-Reissner的的应应力力和和位位移移的的二二场场变变分分原原理理，因因为为它它不不容容易易应应用用于于由由应应变变控控制制的的本本构构方方程程中中，所以没有考虑它。所以没有考虑它。 在在各各种种形形式式的的应应力力、应应变变度度量量和和位位移移三三场场弱弱形形式式上上，它它们们与与Hu-WashizuHu-Washizu变变分分原原理理有有关关，在在弱弱形形式式中中，应应力力、应应变变度度量量和和位位移移是是依依赖赖于于变变量量的的，即即未未知知场场，将将给给出出完完全全的的LagrangianLagrangian形形式和变分原理的扩展。式和变分原理的扩展。2 单元性能单元性能 在在二二维维问问题题中中，最最经经常常应应用用的的低低阶阶单单元元是是 3 3节节点点三三角角形形和和4 4节节点点四四边形。边形。 在在三三维维单单元元中中，是是 4 4节节点点四四面面体体和和8 8节节点点六六面体单元。面体单元。 三三角角形形和和四四面面体体单单元元的的位位移移场场是是线线性性的的，位位移移场场和和速速度度场场的的梯梯度度是是常常数数。四四边边形形和和六六面面体体单单元元的的位位移移场场分分别别是是双双线线性性和和三三线线性性的的，并并且且应应变变是是常常数数和和线线性性项项的的组组合合；应应变变不不是是完完全全线线性性的的。所所有有这这些些单单元元都都可可以以精精确确地地复复制制一一个个线线性性位位移移场场和和一一个个常常数数应应变变场。因此，它们满足标准分片试验。场。因此，它们满足标准分片试验。2 单元性能单元性能 最最简简单单的的二二维维单单元元是是3 3节节点点三三角角形形，在在三三维维中中是是4 4节节点点四四面面体体。他他们们是是单单纯纯单单元元，单单纯纯指指在在n n维维中中是是一一组组n+1n+1个个节节点点。对对于于不可压缩材料，这两种单元表现很差。不可压缩材料，这两种单元表现很差。 在在平平面面应应变变问问题题中中，三三角角形形单单元元表表现现为为严严重重的的自自锁锁。注注意意：体体积积自自锁锁不不发发生生在在平平面面应应力力问问题题中中，对对于于平平面面应应力力，可可以以改改变变单元的厚度以适应不可压缩材料。单元的厚度以适应不可压缩材料。 对于不可压缩和接近于不可压缩材料，四面体单元自锁。对于不可压缩和接近于不可压缩材料，四面体单元自锁。 对于完全不可压缩或接近不可压缩的材料，对于完全不可压缩或接近不可压缩的材料，运动是等体积的运动是等体积的 0J = 1式式中中K K是是体体积积模模量量， 是是剪剪切切模模量量。在在任任意意的的等等体体积积运运动动中中，单单元元的的整整个个体体积积将将保保持持常常数数。然然而而，在在整整个个单单元元中中的的运运动动必必须须是是等等体体积积的的。否否则则，当当K K是是一一个个非非常常大大的的数数时时（一一个个接接近近于于不不可可压压缩缩材材料料），任何非零体积应变将吸收所有的能量。任何非零体积应变将吸收所有的能量。 内内部部节节点点力力的的完完全全积积分分可可能能引引起起单单元元的的自自锁锁，即即出出现现很很小小的的位位移移而而且且不不收收敛敛或或收收敛敛得得非非常常慢慢。考考虑虑一一个个线线性性材材料料，如如果果分分解解线线性弹性应变能为静水和偏量部分，可以写为性弹性应变能为静水和偏量部分，可以写为2 单元性能单元性能 为为了了克克服服这这个个困困难难，最最容容易易的的方方法法是是使使用用局局部部减减缩缩积积分分。在在局局部部减减缩缩积积分分中中，压压力力为为不不完完全全积积分分，而而应应力力矩矩阵阵的的其其余余部部分分为为完完全全积分。为此，将应力张量分解为静水部分和偏斜部分积分。为此，将应力张量分解为静水部分和偏斜部分 体体积积自自锁锁源源于于单单元元没没有有能能力力准准确确地地表表示示一一个个等等体体积积运运动动。为为了了消消除除自自锁锁，必必须须设设计计应应变变场场，这这样样在在假假设设的的应应变变场场中中整整个个单单元元的的膨膨胀为零，运动是等体积的。胀为零，运动是等体积的。 2 单元性能单元性能 局局部部减减缩缩积积分分包包含含在在偏偏斜斜功功率率上上的的完完全全积积分分和和在在膨膨胀胀功功率率上上的的减缩积分减缩积分。对于一个。对于一个4 4节点四边形单元内力的局部减缩积分表达式为节点四边形单元内力的局部减缩积分表达式为2 单元性能单元性能 通通过过对对单单元元采采用用特特殊殊的的排排列列，可可以以避避免免单单纯纯单单元元的的体体积积自自锁锁。例例如如，三三角角形形的的交交叉叉对对角角排排列列消消除除了了自自锁锁，如如图图(a)(a)所所示示。但但是是，这这种种网网格格类类似似于于划划分分四四边边形形的的网网格格，失失去去了了三三角角形形网网格格划划分分的的优优越越性性。进进一一步步说说，当当中中心心节节点点没没有有恰恰好好位位于于对对角角线线的的交交叉叉点点上上，如如图图(b)(b)所所示示，交交叉叉对对角角网网格格自自锁锁。在在大大位位移移问问题题中中，如如此此构构形形总总是是在在发发展展。另另外外，交交叉叉对对角角网网格格不不满满足足LBBLBB稳稳定定性性条条件件（约约束束体体积积自自锁锁，可能带来压力不稳定），压力振动是可能发生的。可能带来压力不稳定），压力振动是可能发生的。 在在其其它它状状态态下下，单单纯纯单单元元也也显显示示出出刚刚性性行行为为，如如梁梁弯弯曲曲。刚刚性性行行为为是是收收敛敛的的，对对于于粗粗糙糙的的网网格格表表现出很差的精度。现出很差的精度。 尽尽管管刚刚性性行行为为不不像像自自锁锁那那么么有有害害，还还是是不不受受欢欢迎迎的的，它它的的出出现现意意味味着着必必须须采采用用非非常常细细划划的的网网格格才才能获得合理的精度能获得合理的精度。2 单元性能单元性能 2 单元性能单元性能 线线性性单单元元CPS4CPS4和和C3D8C3D8的的挠挠度度值值远远远远低低于于理理论论值值，其其结结果果不不可可用用。粗粗糙糙的的网网格格使使结结果果精精度度降降低低。即即使使8 82424的的网网格格，精精度度只只有有5656。线性完全积分单元在厚度方向采用单元多少差别不大。线性完全积分单元在厚度方向采用单元多少差别不大。其原因是其原因是剪力自锁剪力自锁，剪力自锁使单元弯曲时太硬。，剪力自锁使单元弯曲时太硬。 纯纯 弯弯 曲曲 时时 ， 2222=0=0 , 1212=0=0，而而这这里里1212不不为为零零，引引起起伪伪剪剪应应力力的的原原因因是是线线性性单单元元的的边边不不能能弯弯曲曲，应应变变能能引引起起剪剪切切变变形形，而而不不是弯曲变形。是弯曲变形。 二二次次单单元元没没有有剪剪切切自自锁问题，其边界会弯曲。锁问题，其边界会弯曲。2 单元性能单元性能 4 4节节点点四四边边形形和和8 8节节点点六六面面体体分分别别比比3 3节节点点三三角角形形和和四四面面体体更更为为精精确确。当当完完全全积积分分时时，对对于于四四边边形形为为2 2 2 2积积分分，六六面面体体为为2 2 2 2 2 2积积分分。对对于于不不可可压压缩缩材材料料，这这些些单单元元也也发发生生自自锁锁，在在梁梁弯弯曲曲中中它它们们趋趋向向于于刚性行为。刚性行为。 在在这这些些单单元元中中，通通过过减减缩缩积积分分可可以以避避免免体体积积自自锁锁，即即每每个个方方向向少少用用一一个个积积分分点点，或或者者采采用用选选择择减减缩缩积积分分，在在体体积积项项上上采采用用一一点点积积分，在偏量项上采用完全积分。分，在偏量项上采用完全积分。 2 单元性能单元性能 当当应应用用4 4节节点点四四边边形形和和8 8节节点点六六面面体体单单元元模模拟拟弯弯曲曲构构件件时时，在在厚厚度度方方向向至至少少应应采采用用4 4个个单单元元。当当只只有有1 1个个线线性性减减缩缩积积分分单单元元时时，所所有有的的积积分分点点都都位位于于中中性性轴轴上上，从从而而该该模模型型不不能能承承受受弯弯曲曲载荷载荷( (见表中的见表中的* *号项号项) )。2 单元性能单元性能 4 4节节点点四四边边形形和和8 8节节点点六六面面体体单单元元的的不不完完全全积积分分、选选择择减减缩缩积积分分和和多多场场形形式式都都被被一一个个主主要要的的缺缺陷陷困困扰扰着着：在在压压力力场场下下，它它们们表表现现出出空空间间的的不不稳稳定定性性LBBLBB条条件件。压压力力常常常常是是振振荡荡的的，在在压压力力下下的的振振荡荡图图形形是是已已知知的的棋棋盘盘模模式式。棋棋盘盘模模式式有有时时是是无无害害的的：如如MisesMises弹弹塑塑性性定定律律控控制制的的材材料料，其其应应变变率率是是独独立立于于压压力力的的，若若发发生生弹弹性性应应变变的的误误差差，压力振荡几乎是无害的。压力振荡几乎是无害的。尽管如此，它仍然是不受欢迎的。尽管如此，它仍然是不受欢迎的。 通通过过过过滤滤或或者者借借助助粘粘性性，可可以以避避免免棋棋盘盘模模式式。使使用用者者必必须须意意识识到到这这些些单单元元出出现现棋棋盘盘模模式式的的可可能能性性。对对于于基基于于多多场场变变分分原原理理的的绝绝大大多数单元，在应力中发生振荡是可能的。多数单元，在应力中发生振荡是可能的。压力场的稳定性性质与LBBLBB条件有关，L L代表Ladezhvanskaya(1968)。这个条件对于假设应力和应变场强制了严格的约束。关于这一理论可以在Bathe(1996)中读到。2 单元性能单元性能 四四边边形形最最快快的的计计算算形形式式是是不不完完全全积积分分，一一点点积积分分单单元元：它它通通常常比比选选择择减减缩缩积积分分四四边边形形单单元元的的速速度度快快3 3到到4 4倍倍。在三维中，速度提高在三维中，速度提高6 68 8个数量级。个数量级。 一一点点积积分分单单元元也也遭遭受受压压力力振振荡荡，另另外外在在位位移移场场中中出出现现不不稳稳定定性性。这这些些不不稳稳定定性性有有各各种种名名称称：沙沙漏漏、梯梯形形、运运动动模模式式、伪伪零零能能量量模模式式和和铁铁丝丝网网等等。这这些些模模式式可可以以十十分分有有效效地地得得到到控控制制，收收敛敛率率没没有有降降低低，所所以以，对对于于许许多多大型计算，带有沙漏控制的一点积分是非常有效的。大型计算，带有沙漏控制的一点积分是非常有效的。沙漏模式沙漏模式 例例如如受受弯弯矩矩M M的的减减缩缩积积分分线线性性单单元元的的变变形形，单单元元中中虚虚线线的的长长度度没没有有改改变变，它它们们之之间间的的夹夹角角也也没没有有改改变变，这这意意味味着着在在单单元元单单个个积积分分点点上上的的所所有有应应力力分分量量均均为为零零。由由于于单单元元变变形形没没有有产产生生应应变变能能，这这种种弯弯曲曲的的变变形形模模式式是是一一个个零零能能量量模模式式。由由于于单单元元在在此此模模式式下下没没有有刚刚度度，所所以以单单元元不不能能抵抵抗抗这这种种形形式式的的变变形形。在在粗粗糙糙的的网网格格中中，这种零能量模式会在网格中扩展，从而产生无意义的结果。这种零能量模式会在网格中扩展，从而产生无意义的结果。2 单元性能单元性能 线性的减缩积分单元由于存在来自本身的所谓线性的减缩积分单元由于存在来自本身的所谓沙漏沙漏(hourglassing)数值问题而过于柔软。数值问题而过于柔软。 沙漏模式沙漏模式 2 单元性能单元性能 在在ABAQUSABAQUS中中，对对减减缩缩积积分分单单元元引引入入少少量量的的人人工工“沙沙漏漏刚刚度度”以以限限制制沙沙漏漏模模式式的的扩扩展展。当当模模型型中中应应用用更更多多的的单单元元时时，这这种种“刚刚度度”限限制制沙沙漏漏模模式式是是更更有有效效的的。这这说说明明只只要要采采用用合合理理的的精精细细网网格格，线线性性减减缩缩积积分分单单元元会会给给出出可可接接受受的的结结果果，所所产产生生的的误误差差是是在在一一个个可接受的范围内。可接受的范围内。 当当应应用用这这类类单单元元模模拟拟弯弯曲曲构构件件时时，在在厚厚度度方方向向至至少少应应采采用用4 4个个单单元元。当当只只有有1 1个个线线性性减减缩缩积积分分单单元元时时，所所有有的的积积分分点点都都位位于于中性轴上，从而该模型不能承受弯曲载荷中性轴上，从而该模型不能承受弯曲载荷( (见表见表4-24-2中的中的* *号项号项) )。 线线性性减减缩缩积积分分单单元元对对变变形形的的要要求求不不严严格格，因因此此可可在在变变形形较较大大的任何模拟中采用划分较细的此类单元。的任何模拟中采用划分较细的此类单元。2 单元性能单元性能 在在大大变变形形问问题题中中，当当边边界界中中间间的的节节点点有有明明显显地地移移动动时时，这这些些单单元元的的性性能能退退化化；高高阶阶单单元元令令人人苦苦恼恼的的缺缺陷陷是是扭扭曲曲，它它们们的的收收敛敛率率明明显地下降，当过度扭曲时，计算程序常常中止。显地下降，当过度扭曲时，计算程序常常中止。 对对于于不不可可压压缩缩材材料料，6 6节节点点三三角角形形不不满满足足LBBLBB条条件件。在在一一个个线线性性压压力力场场作作用用下下，由由多多场场变变分分原原理理建建立立的的9 9节节点点四四边边形形单单元元满满足足LBBLBB条条件件，并并且且不不发发生生自自锁锁。到到目目前前为为止止，对对于于不不可可压压缩缩材材料料，这这是是唯唯一一没有缺陷行为的单元没有缺陷行为的单元。 应应用用LagrangianLagrangian网网格格，高高阶阶单单元元不不能能很很好好地地适适用用于于动动态态或或者者大大变变形形问问题题。难难以以建建立立很很好好的的对对角角质质量量矩矩阵阵。在在大大变变形形问问题题中中，这这些些单单元元经经常常失失效效，并并且且比比低低阶阶单单元元更更迅迅速速地地破破坏坏精精度度，因因为为JacobianJacobian行列式在积分点上可以很容易地成为负值。行列式在积分点上可以很容易地成为负值。是否可以这样质疑有限元：是否可以这样质疑有限元： 两两端端固固定定边边界界条条件件，是是否否可可以以应应用用单单一一线线性性梁梁单单元元建建立立模模型型，如如果果不不能能，即即为为“有限元的尴尬有限元的尴尬”？2 单元性能单元性能 3 单元性质和分片试验单元性质和分片试验 对于检验单元公式的可靠性以及它们的完备性和稳定性，分片试验是极为有用的。 标准分片试验是检验位移场多项式的完备性，即单元再造一个指定阶数多项式的能力。另外，试验检查编程和程序。有时候单元是正确的，但是失败于分片试验，其原因是编程的错误。 在标准分片试验中，采用的单元必须是歪斜的，因为矩形单元可以满足分片试验，而任意的四边形单元不一定满足。绝对不能施加体积力，材料性质必须是均匀的线弹性。 3 单元性质和分片试验单元性质和分片试验 标准分片试验的意义在于它证明了再造条件。当一个精确解是在有限元近似的子空间中，有限元解答必须对应于精确解。公式(8.3.1)是线弹性问题的精确解，证明如下：由于应变是常数，并且材料性质均匀，则应力是常数。由于没有体力，平衡方程是精确满足的。由于线弹性解答是唯一的，所以(8.3.1)是精确解。(8.3.1)二维二维一般意义一般意义4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元Q4单元的各种性质，在当前构形和母单元之间的运动映射为单元的各种性质，在当前构形和母单元之间的运动映射为四个等参形状函数的行矩四个等参形状函数的行矩阵 xi，i = 1到到2，是节点坐标的列矩阵，是节点坐标的列矩阵 4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元位移和速度位移和速度 变形率场变形率场 单元单元Jacobian行列式行列式 单元单元Jacobian行列式在母单元原点处的值行列式在母单元原点处的值 4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元在母单元坐标系的原点，在母单元坐标系的原点，B矩阵可以表示为矩阵可以表示为 对于不可压缩或者接近于不可压缩的材料，当完全积分时，Q4在平面应变中发生自锁。 4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元 对于不可压缩材料的运动必须是等体积的，即对于不可压缩材料的运动必须是等体积的，即 J=1 以率形式以率形式 它是等价于它是等价于 对于对于Q4，给出体积自锁的两种解释。首先是不可压缩材料，给出体积自锁的两种解释。首先是不可压缩材料，然后扩展到接近于不可压缩材料。然后扩展到接近于不可压缩材料。 矩形单元的网格，两边固定；仅显示了部分网格矩形单元的网格，两边固定；仅显示了部分网格4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元考考虑单元元1，仅可能非零的可能非零的节点速度是在点速度是在3点点是任意是任意值 单元元 1 的所有其它的所有其它节点速度必点速度必须为零以零以满足足边界条件。界条件。对于一个任意的运于一个任意的运动，其膨，其膨胀率率为节点点3的速度的速度给出出，所以，膨所以，膨胀率的常数率的常数项是非零的，除非是非零的，除非因此，因此，一个等体一个等体积运运动需要需要膨胀率为零膨胀率为零，即，即4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元当当 其中其中 只有沿着直只有沿着直线上式才上式才为零！零！ 尽尽管管单单元元的的运运动动是是一一个个常常数数体体积积运运动动，除除了了在在该该直直线线上上，膨膨胀胀率率是是处处处处非非零零。为为了了满满足足在在整整个个单单元元中中的的等等体体积积运运动动， 必必须须为为零零，并且节点并且节点3 3不能移动。不能移动。 如如果果节节点点3 3不不能能移移动动，在在单单元元2 2的的左左侧侧，则则由由节节点点2 2和和3 3提提供供了了刚刚性性边边界界，并并且且对对于于单单元元2 2，重重复复这这些些讨讨论论可可以以证证明明节节点点6 6是是不不能能移移动动的的。这这一一讨讨论论则则可可以以对对网网格格中中的的所所有有单单元元重重复复，以以证证明明所所有有节节点点的的速度必须为零。即速度必须为零。即有限元模型自锁有限元模型自锁。这一讨论也适用于歪斜单元。这一讨论也适用于歪斜单元。 4 Q4和体积自锁和体积自锁Q4-4节点四边形单元节点四边形单元另一种另一种检验的方法是考的方法是考虑单元的双元的双线性速度性速度场 膨膨胀率率给出出为通通过在整个在整个单元域上元域上积分膨分膨胀率，率，计算一个算一个单元面元面积的的变化化线性分量性分量 双双线性性项积分分为零，其零，其导数正交于常数数正交于常数场证明明对于任意的等体于任意的等体积速度速度场，保持保持单元面元面积为常数的运常数的运动的膨的膨胀率率则是是 是必要的是必要的 设上式上式结果果为零，以反映等体零，以反映等体积运运动，4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元尽管所有尽管所有单元的元的变形是保持体形是保持体积不不变，这一膨一膨胀率在率在单元中的任何区域元中的任何区域都是非零的，除非沿着曲都是非零的，除非沿着曲线 这样，单元元不不能能再再造造一一个个等等体体积运运动。注注意意上上式式也也证明明了了引引起起困困难的的一一部部分分运运动是沙漏模式，因是沙漏模式，因为它保持了体它保持了体积，但是在，但是在单元内的膨元内的膨胀率是非零的。率是非零的。 这些讨论扩展到接近于不可压缩的材料中，为了简单，考虑一个线性材料。这些讨论扩展到接近于不可压缩的材料中，为了简单，考虑一个线性材料。如果分解线性弹性应变能为静水部分和偏量部分，为如果分解线性弹性应变能为静水部分和偏量部分，为 式式中中K是是体体积积模模量量， 是是剪剪切切模模量量。在在任任意意的的等等体体积积运运动动中中，单单元元的的整整个个体体积积将将保保持持常常数数。然然而而，在在整整个个单单元元中中的的运运动动必必须须是是等等体体积积的的。否否则则，当当K是是一一个个非非常常大大的的数数时时（一一个个接接近近于于不不可可压压缩缩材材料料），任任何何非非零零体体积积应应变变将将吸吸收收所有的能量。所有的能量。4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元 因因此此，体体积积自自锁锁源源于于单单元元没没有有能能力力准准确确地地表表示示一一个个等等体体积积运运动动。为为了了消消除除自自锁锁，必必须须设设计计应应变变场场，这这样样在在假假设设的的应应变变场场中中单单元的膨胀率为零。元的膨胀率为零。 为为了了避避免免自自锁锁，对对于于任任意意保保持持单单元元体体积积的的速速度度场场，在在整整个个单单元元的的应应变变场场必必须须是是等等体体积积的的。特特别别是是对对于于四四边边形形单单元元，因因为为这这一一运动是等体积的，对于沙漏模式，在整个单元中膨胀必须为零。运动是等体积的，对于沙漏模式，在整个单元中膨胀必须为零。 在平面应力单元中没有体积自锁问题。在平面应力单元中没有体积自锁问题。4 Q4和体积自锁和体积自锁应用杂交单元应用杂交单元5 5 多场弱形式和单元多场弱形式和单元 Hu-WashizuHu-Washizu 弱弱形形式式：最最通通用用的的多多场场弱弱形形式式是是H-WH-W变变分分原原理理。这这一一变变分分原原理理是是在在两两场场原原理理的的ReissnerReissner发发展展之之后后建建立立起起来来的的，Hellinger-ReissnerHellinger-Reissner两两场场原原理理是是指指位位移移和和应应力力是是未未知知的的两两个个场场。在在非非线线性性分分析析中中很很少少应应用用两两场场原原理理，因因为为它它与与应应变变控控制制的的本本构构模型是不相容的。模型是不相容的。 关关于于三三场场原原理理的的一一个个有有趣趣的的轶轶事事出出现现在在Eric Eric ReissnerReissner完完成成二二场场原原理理的的工工作作后后，WashizuWashizu拜拜访访了了他他，WashizuWashizu告告诉诉他他有有关关对对三三场场理理论论的的发发展展。ReissnerReissner叙叙述述这这个个故故事事时时说说：“我我首首先先反反对对，因因为为只只有有应应力力和和位位移移可可以以在在问问题题的的边边界界条条件件中中出出现现，除除了了定定义义应应变变- -位位移移关关系系之之外外的的方方式式，任任何何考考虑虑应应变变- -位位移移关关系系都都是是不不自自然然的的。然然而而不不久久之之后后，我我就就被被三三场场原原理理说说服服了了，我我个个人人认认为为，由由WashizuWashizu和和HuHu分分别别独独立立提提出出的的三三场场原原理理是是一一个个我我所所希希望望的的有有价价值的进展。值的进展。”胡海昌胡海昌-鹫津久一郎原理鹫津久一郎原理H-W三场原理包括三场原理包括速度，应变率和应力速度，应变率和应力。5 5 多场弱形式和单元多场弱形式和单元H-W三场原理弱形式。类似三场原理弱形式。类似UL形式。形式。动量方程动量方程外力边界条件外力边界条件在在 上上本构条件本构条件应变度量应变度量内部连续条件内部连续条件在在 上上通通过过Hu-Washizu原原理理建建立立的的有有限限元元方方程程涉涉及及三三个个张张量量场场的的近近似似。标量场的结果数目是非常之大标量场的结果数目是非常之大 。三维。三维6、6、3，二维，二维3、3、2。6 6 多场四边形多场四边形 自自锁锁的的单单元元是是没没有有用用处处的的，通通过过假假设设应应变变的的方方法法建建立立多多场场四四边边形。设计速度形。设计速度- -应变场以避免体积自锁和在弯曲中的剪切自锁。应变场以避免体积自锁和在弯曲中的剪切自锁。假假设与速度与速度-应变场相相联系的速度系的速度场是是上角标上角标c表示速度表示速度-应变场的常数部分。应变场的常数部分。 对对于于不不可可压压缩缩材材料料，具具有有2 2 2 2积积分分点点的的Q4Q4自自锁锁。自自锁锁是是由由于于膨膨胀胀场场与与沙沙漏漏模模式式相相联联系系。从从公公式式看看出出沙沙漏漏模模式式导导致致了了扩扩展展速速度度应应变变的非常数部分。的非常数部分。 在在构构造造一一个个速速度度应应变变插插值值时时，它它对对于于不不可可压压缩缩材材料料将将不不发发生生自自锁，有两种办法。锁，有两种办法。假设速度应变避免体积自锁假设速度应变避免体积自锁6 6 多场四边形多场四边形第一种方法第一种方法导致了假致了假设速度速度应变为第二种方法中，假第二种方法中，假设速度速度应变场给出出为假设速度应变避免体积自锁假设速度应变避免体积自锁1 可以省略前两行的非常数项；可以省略前两行的非常数项；2 可以修正前两行，以使在沙漏模式中不发生体积速度应变可以修正前两行，以使在沙漏模式中不发生体积速度应变 在在构构造造一一个个速速度度应应变变插插值值时时，它它对对于于不不可可压压缩缩材材料料将将不不发发生生自锁，有两种办法：自锁，有两种办法：6 6 多场四边形多场四边形剪切自锁和它的消除剪切自锁和它的消除 寄寄生生剪剪切切的的影影响响多多少少与与寄寄生生体体积积应应变变是是有有区区别别的的。当当发发生生体体积积自自锁锁时时，结结果果因因完完全全不不能能收收敛敛而而失失败败；发发生生伪伪剪剪切切，结结果果收收敛敛，但但收收敛敛的的非非常常缓缓慢慢。因因此此术术语语超超剪剪切切刚刚度度可可能能是是更更准准确确的。常常应用的术语是剪切自锁，的。常常应用的术语是剪切自锁，剪力自锁使单元弯曲时太硬。剪力自锁使单元弯曲时太硬。 纯纯弯弯曲曲时时， 22=0 , 12=0，而而这这里里12不不为为零零，引引起起伪伪剪剪应应力力的的原原因因是是线线性性单单元元的的边边不不能能弯弯曲曲，应应变变能能引引起起剪剪切切变变形形，而而不不是是弯弯曲曲变变形。形。6 6 多场四边形多场四边形剪切自锁和它的消除剪切自锁和它的消除 在在纯弯曲中力矩是常数，所以合成剪切弯曲中力矩是常数，所以合成剪切 通通过平衡，平衡，弯矩的导数为弯矩的导数为剪力剪力，然而在弯曲时，所有的单元，然而在弯曲时，所有的单元以以x-方向的沙漏模式变形，剪切是非零的。方向的沙漏模式变形，剪切是非零的。 6 6 多场四边形多场四边形剪切自锁和它的消除剪切自锁和它的消除 为了消除剪切自了消除剪切自锁，由于沙漏模式引起的剪切速度，由于沙漏模式引起的剪切速度应变部分必部分必须消失。消失。这可以通可以通过令令公式公式中的中的 来来实现。一个更一般形式是：一个更一般形式是：假假设与速度与速度-应变场相相联系的速度系的速度场是是 通过消除与沙漏模式有关的剪切应变，这样在弯曲中的寄生剪通过消除与沙漏模式有关的剪切应变，这样在弯曲中的寄生剪切为零。切为零。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 任任何何不不是是刚刚体体运运动动的的运运动动，并并导导致致在在单单元元中中没没有有应应变变是是一一个个伪奇异模式。伪奇异模式。 检验一点积分单元。当检验一点积分单元。当Q4Q4单元应用一点积分时，单元应用一点积分时，单元是秩不单元是秩不足的足的。对于大规模的计算，因为一点积分单元的速度和精度，它。对于大规模的计算，因为一点积分单元的速度和精度，它是受欢迎的。然而，一点积分单元要求稳定性。是受欢迎的。然而，一点积分单元要求稳定性。由公式给出的内部节点力，其积分点对应于在参考平面内坐标系的原点由公式给出的内部节点力，其积分点对应于在参考平面内坐标系的原点 在在积分点上的假分点上的假设变形率形率给出出为对于这些模式，在积分点上速度应变为零，应力亦为零。对于这些模式，在积分点上速度应变为零，应力亦为零。 7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 沙漏：通过沙子至上而下地流动，作为测量时间的一种工具。沙漏：通过沙子至上而下地流动，作为测量时间的一种工具。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 下下图图中中展展示示一一种种网网格格的的沙沙漏漏模模式式。在在竖竖向向的的一一对对单单元元像像一一个个沙沙漏漏，基基于于这这个个原原因因，这这一一伪伪奇奇异异模模式式常常常常称称为为是是沙沙漏漏模模式式或或者沙漏。者沙漏。 图图中中的的伪伪模模式式是是称称为为x-x-沙沙漏漏，因因为为它它的的运运动动仅仅能沿着能沿着x-x-方向。方向。 上上图图中中展展示示了了矩矩形形单单元元的的伪伪模模式式；这这两两种种模模式式是是在在左左边边分分别别单单独独表示，两种模式作用的变形在右边表示。表示，两种模式作用的变形在右边表示。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 4节点四边形平面单元，有节点四边形平面单元，有8个自由度，数值积分单元刚度矩阵为个自由度，数值积分单元刚度矩阵为 Ke=BTCB刚度矩阵中合适的秩是刚度矩阵中合适的秩是5，刚体位移，刚体位移3个，个，8530。完完全全积积分分： 4个个Gauss点点， B矩矩阵阵中中的的行行数数为为12，至至多多5个个是是线线性性独独立的，可以确定立的，可以确定B中的秩中的秩5，满足，满足8530，没有伪变形模式。，没有伪变形模式。一一点点积积分分： 1个个Gauss点点， B矩矩阵阵中中的的行行数数为为3，刚刚度度矩矩阵阵中中3个个秩秩，刚刚体体位位移移3个个，8332，缺缺少少2个个秩秩，有有两两个个沙沙漏漏模模式式，x-向向和和y-向。向。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 沙沙漏漏模模式式是是可可以以传传播播的的，如如图图所所示示。这这意意味味着着，每每一一个个单单元元都都可可以以进进入入沙沙漏漏模模式式，在在任任何何单单元元中中没没有有任任何何应应变变。这这种种模模式式不不吸吸收收任何能量，并且它像传染性疾病一样扩散。任何能量，并且它像传染性疾病一样扩散。 当当模模式式受受到到边边界界条条件件约约束束时时，至至少少在在几几个个没没有有应应变变的的单单元元内内是是不不可可能能发发展展沙沙漏漏模模式式的的。然然而而，整整体体沙沙漏漏模模式式的的刚刚度度仍仍然然是是非非常常小小的，并且相关的频率是非常低的（比真实的最低频率还要低得多）。的，并且相关的频率是非常低的（比真实的最低频率还要低得多）。 沙沙漏漏模模式式是是空空间间不不稳稳定定的的，像像在在第第7 7章章中中描描述述的的对对流流- -扩扩散散不不稳稳定一样。定一样。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 沙漏首先出现在流体动力学的有限差分中，通过将导数转换到等沙漏首先出现在流体动力学的有限差分中，通过将导数转换到等值线上进行积分计算；这一过程默认地假设导数是常数。这导致有限值线上进行积分计算；这一过程默认地假设导数是常数。这导致有限差分方程是等价于一点积分的四边形有限单元。差分方程是等价于一点积分的四边形有限单元。 由由于于秩秩不不足足，离离散散模模型型的的这这种种奇奇异异性性发发生生在在许许多多其其它它设设置置中中，所所以以包包含含了了各各种种命命名名。例例如如，它它们们经经常常地地发发生生在在混混合合或或者者杂杂交交单单元元中中，它它们们在在这这里里被被称称为为是是零零能能量量模模式式或或者者伪伪零零能能量量模模式式。沙沙漏漏模模式式是是零零能能量量模模式式，因因为为在在这这些些模模式式中中，在在积积分分点点上上应应变变为为零零。因因此此，它们在离散模型中不做功。它们在离散模型中不做功。 对对于于偏偏微微分分方方程程的的有有限限元元离离散散，伪伪奇奇异异模模式式似似乎乎是是最最准准确确的的命命名名。例例如如，命命名名运运动动模模式式和和零零能能量量模模式式是是不不适适合合于于LaplaceLaplace方方程程。在在单单元元中中明明显显表表现现出出伪伪奇奇异异模模式式，如如在在Q4Q4单单元元中中的的沙沙漏漏模模型型，应应用用这这一命名。一命名。伪奇异模式是单元刚度秩缺乏的具体体现伪奇异模式是单元刚度秩缺乏的具体体现。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 在在结结构构分分析析中中，当当冗冗余余度度不不充充分分时时，发发生生伪伪奇奇异异模模式式（几几何何可可变变体体系系），即即结结构构杆杆件件或或者者支支撑撑的的数数量量是是不不足足以以阻阻止止部部分分结结构构的的刚刚体体运运动动。这这些些模模式式常常常常发发生生在在三三维维桁桁架架模模型型中中。称称其其为为运运动动模模式式，并并且且因因为为在在结结构构和和有有限限元元之之间间的的密密切切关关系系，它它的的名名字字也也采采用用了了伪伪奇奇异异模模式式，其其它它名名字字是是梯梯形形、铁铁丝丝网网和和网网格格不不稳定性。稳定性。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 在在瞬瞬态态问问题题中中，一一个个沙沙漏漏模模式式的的演演化化如如图图所所示示。在在这这个个问问题题中中，梁梁被被支支撑撑在在单单一一节节点点上上，从从而而方方便便了了沙沙漏漏模模式式的的出出现现。如如果果将将梁梁左左端端的的所所有有节节点点固固定定，模模拟拟夹夹持持支支座座，沙沙漏漏模模式式将将不不会会出出现现。然然而而，对对于于大大型型网网格格和和非非线线性性材材料料，它它们们可可能能会会重重新新出出现现。尽尽管管秩秩缺缺乏乏的的单单元元可可能能有有时时表表现现是是稳稳定定的的，但但是是在在没没有有一一个个适适当当的的稳稳定性时，决不能应用它们。定性时，决不能应用它们。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏任何假设应变的四边形单元的线性刚度矩阵是任何假设应变的四边形单元的线性刚度矩阵是 一点积分刚度一点积分刚度 是秩是秩2的稳定刚度的稳定刚度 适当增加稳定刚度矩适当增加稳定刚度矩阵阵( (秩秩) )阻阻止沙漏模式止沙漏模式 有多点积分的假设应变的方法阻止沙漏。有多点积分的假设应变的方法阻止沙漏。也可以应用刚度和粘性沙漏控制的组合，保证物理稳定性。也可以应用刚度和粘性沙漏控制的组合，保证物理稳定性。 7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏扰扰动动沙沙漏漏稳稳定定 在在扰扰动动沙沙漏漏控控制制中中，为为了了修修复复单单元元正正确确的的秩秩，对对于于离离散散系系统统补补充充一一个个小小的的修修正正。在在不不干干扰扰等等参参单单元元线线性性完完备备性性的的前前提提下下，增增加加秩秩是是很很重重要要的的。一一种种方方法法是是通通过过正正交交于于其其它它三三行行的的两两行行，增增广广一一点点积积分分单单元元的的 B B 矩矩阵阵。正正交交性性保保证证了了增增加加的的行行与与前前三三行行是是线线性性独独立立的的，并并且且修修正正项项不不影影响响线线性性区区的的反反应应，所所以以B B矩阵没有失去线性完备性。矩阵没有失去线性完备性。有有多多点点积积分分的的假假设设应应变变 一一点点积积分分一一般般是是有有利利于于提提高高计计算算速速度度；对对于于不不光光滑滑的的应应力力场场，有有时时候候多多点点积积分分是是必必要要的的。例例如如弹弹性性梁梁的的问问题题，在在梁梁的的深深度度方方向向上上仅仅用用一一个个单单元元就就可可以以得得到到非非常常精精确确的的解解答答。然然而而，对对于于弹弹- -塑塑性性梁梁，为为了了得得到到一一个个精精确确的的解解答答，在在深深度度方方向向需需要要4 4到到1010个个单单元元，因因为为在在深深度度方方向向上上应应力力是是不不光光滑滑的的。通通过过细细划划网网格格或或者者在在每每一一个个单单元元中中增增加加积积分分点点，可可以以增增加加积积分分点点的的数数量量，后者的优点是在不减小稳定时间步长的同时增加了精度。后者的优点是在不减小稳定时间步长的同时增加了精度。结论结论2 2最最容容易易的的方方法法是是使使用用局局部部减减缩缩积积分分。在在局局部部减减缩缩积积分分中中，压压力力为为不完全积分，而应力矩阵的其余部分为完全积分。不完全积分，而应力矩阵的其余部分为完全积分。3 3应应用用杂杂交交单单元元，增增加加确确定定应应力力的的附附加加自自由由度度（不不仅仅是是位位移移或或速速度度的运动自由度）。的运动自由度）。 体体积积自自锁锁源源于于单单元元没没有有能能力力准准确确地地表表示示一一个个等等体体积积运运动动。为为消消除自锁，除自锁，1 1 必必须须设设计计应应变变场场，在在假假设设的的应应变变场场中中单单元元的的膨膨胀胀为为零零：对对于于任任意保持单元体积的速度场，其应变场必须是等体积的。意保持单元体积的速度场，其应变场必须是等体积的。 引引起起伪伪剪剪应应力力的的原原因因是是线线性性单单元元边边界界不不能能弯弯曲曲，应应变变能能引引起起剪剪切切变变形形，而而不不是是弯弯曲曲变变形形。通通过过消消除除与与沙沙漏漏模模式式有有关关的的剪剪切切应应变变，消除在弯曲中的剪切自锁消除在弯曲中的剪切自锁 任任何何不不是是刚刚体体运运动动的的运运动动，并并导导致致在在单单元元中中没没有有应应变变是是伪伪奇奇异异模模式式。消消除除沙沙漏漏模模式式，补补充充刚刚度度矩矩阵阵的的秩秩，按按比比例例施施加加内内力力，增增加加粘性，增加积分点粘性，增加积分点 Part3钢Part2橡胶 RsPart1钢Rr b过盈面过盈面Part1Part3部分解析解与部分解析解与FEA解径向应力的比较解径向应力的比较 Part3部分解析解与部分解析解与FEA解环向应力的比较解环向应力的比较 超弹性材料过盈配合的解析解和有限元解超弹性材料过盈配合的解析解和有限元解平面应变模型平面应变模型1 引言引言平面应力问题不发生体积自锁平面应力问题不发生体积自锁过盈量过盈量1.9mm ，应力非常大，应力非常大，原因是平面应变模型原因是平面应变模型1 引言引言橡胶和钢环的解析解与橡胶和钢环的解析解与FEA解的径向应力比较解的径向应力比较 超弹性材料过盈配合的解析解和有限元解超弹性材料过盈配合的解析解和有限元解广义平面应变平面应力问题广义平面应变平面应力问题不发生体积自锁不发生体积自锁平面应变模型平面应变模型发生体积自锁发生体积自锁