第7课一元二次方程 1定义：定义： 只含有只含有 ，并且未知数的最高次数是，并且未知数的最高次数是 ，这样，这样的整式方程叫做一元二次方程通常可写成如下的一般形式：的整式方程叫做一元二次方程通常可写成如下的一般形式： ，其中，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项2解法：解法： ； ； ； 要点梳理要点梳理一个未知数一个未知数2ax2bxc0(a、b、c是已知数，是已知数，a0)直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法配方法配方法公式法公式法3公式：公式： 一元二次方程一元二次方程ax2bxc0的求根公式：的求根公式：4简单的高次方程、二次根式方程的概念、解法：简单的高次方程、二次根式方程的概念、解法： (1)高次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数大高次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数大于于2的整式方程的整式方程 (2)无理方程：根号内含有未知数的方程无理方程：根号内含有未知数的方程 (3)解高次方程的思想是解高次方程的思想是“降次降次”，即把高次方程通过因式分，即把高次方程通过因式分解、换元等方法转化为一元一次方程或一元二次方程解、换元等方法转化为一元一次方程或一元二次方程 (4)解无理方程的思想是通过方程左右两边平方、换元等方法解无理方程的思想是通过方程左右两边平方、换元等方法去根号转化为整式方程，要注意验根，舍去增根去根号转化为整式方程，要注意验根，舍去增根x (b24ac0)5二元二次方程组的概念及解法：二元二次方程组的概念及解法： (1)二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫方程所组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组做二元二次方程组 (2)解二元二次方程组的思想是解二元二次方程组的思想是“消元消元”，即把多元通过加，即把多元通过加减、代入、换元等方法转化为一元方程来解，或减、代入、换元等方法转化为一元方程来解，或“降次降次”利利用因式分解转化为二元一次方程组或一元一次方程来解用因式分解转化为二元一次方程组或一元一次方程来解1正确理解并掌握一元二次方程的概念正确理解并掌握一元二次方程的概念 识别一元二次方程必须抓住三个条件：识别一元二次方程必须抓住三个条件： (1)整式方程；整式方程；(2)含有一个未知数；含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.满足上述三个条件的方程才是一元二次方程，不满足其中任何满足上述三个条件的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，即三个条件缺一不可一个条件的方程都不是一元二次方程，即三个条件缺一不可 在确定方程各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指在确定方程各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明各项系数时不要漏掉前面的符号一元二次方程的一般形式不明各项系数时不要漏掉前面的符号一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上把二次项系数化为正整数是唯一的，但习惯上把二次项系数化为正整数 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2正确使用各种方法解一元二次方程正确使用各种方法解一元二次方程 一元二次方程的解法有四种，在解方程时，要注意灵活选择一元二次方程的解法有四种，在解方程时，要注意灵活选择直接开平方法、因式分解法只适用于特殊形式的方程；而公式法直接开平方法、因式分解法只适用于特殊形式的方程；而公式法则是最普遍的方法；配方法用的不多，一般根据方程的特征灵活则是最普遍的方法；配方法用的不多，一般根据方程的特征灵活运用运用 解一元二次方程要根据方程的特点，选择合适的方法解题，但解一元二次方程要根据方程的特点，选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法一般顺序为：直接开平方法因式分解法因式分解法公式法，一般没有特公式法，一般没有特别要求的不用配方法别要求的不用配方法 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义；用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义；因式分解法解方程的依据是：若因式分解法解方程的依据是：若ab0，则，则a0，或，或b0，方程的，方程的右边一定要化为右边一定要化为0，才能用因式分解法求解，才能用因式分解法求解 运用公式法之前一定要确认两点：其一，该方程是一元二运用公式法之前一定要确认两点：其一，该方程是一元二次方程，其二，方程的判别式非负，满足这两点即可使用求次方程，其二，方程的判别式非负，满足这两点即可使用求根公式根公式 配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系、讨论不等关系的常用方法，在配方段，又是研究相等关系、讨论不等关系的常用方法，在配方前，先将二次项系数前，先将二次项系数a提出来，使括号中的二次项系数化为提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式，然后通过配方分离出一个完全平方式1(2011嘉兴嘉兴)一元二次方程一元二次方程x(x1)0的解是的解是() Ax0 Bx1 Cx0或或x1 Dx0或或x1 解析：解析：x(x1)0，x0或或x10，即，即x0或或x1.基础自测基础自测C2(2011南充南充)方程方程(x1)(x2)x1的解是的解是() A2 B3 C1,2 D1,3 解析：解析：(x1)(x2)x1， (x1)(x2)(x1)0， (x1)(x3)0. x11，x23.D3(2011江西江西)已知已知x1是方程是方程x2bx20的一个根，则方的一个根，则方程的另一个根是程的另一个根是() A1 B2 C2 D1 解析：当解析：当x1时，时，1b20，b1. x2x20，x11，x22，另一个根是，另一个根是2.C4(2011大理大理)三角形的两边长分别是三角形的两边长分别是3和和6，第三边的长是方，第三边的长是方程程 x26x80的一个根，则这个三角形的周长是的一个根，则这个三角形的周长是() A9 B11 C13 D11或或13 解析：方程解析：方程x26x80的根为的根为x2或或4，而第三边，而第三边3x9， 故故x4，三角形周长为，三角形周长为36413.C5(2011武汉武汉)若若x1，x2是一元二次方程是一元二次方程x24x30的两个根，的两个根， 则则x1x2的值是的值是() A4 B3 C4 D3 解析：方程解析：方程x24x30，x11，x23， 所以所以x1x2(1)(3)3. (或根据根与系数的关系直接得出或根据根与系数的关系直接得出x1x2 3.) B题型一一元二次方程的解法题型一一元二次方程的解法【例例 1】 解下列方程：解下列方程： (1)3x2750 解：解：3x2750，x225，x5，x15，x25. (2)x(x5)24 解：解：x(x5)24，x25x240，x18，x23.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析(3)(y3)(13y)12y2解：解：(y3)(13y)12y2，y3y239y12y2， 5y28y20，y ， y1 ，y2 .(4)(3x5)25(3x5)40解：解：(3x5)25(3x5)40， (3x51)(3x54)0， (3x4)(3x1)0， 3x40或或3x10， x1 ，x2 .(5)(1997x)2(x1996)21解：解法一：解：解法一：(1997x)2(x1996)210， (1997x)2(x1997)(x1995)0， (x1997)(x1997)(x1995)0， 2(x1997)(x1996)0， x11997，x21996.解法二：因为解法二：因为(1997x)2(x1996)2 (1997x)(x1996)22(1997x)(x1996)， 所以原方程可化为：所以原方程可化为：12(1997x)(x1996)1， 2(1997x)(x1996)0， x11997，x21996.探究提高探究提高 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法但一般顺序为：直接开平方法因式分解法因式分解法公式法一般公式法一般没有特别要求的不用配方法没有特别要求的不用配方法知能迁移知能迁移1解方程：解方程：(1)(2x1)29(用直接开平方法用直接开平方法)；解：解：(2x1)29,2x13， x ，x12，x21.(2)x23x40(用配方法用配方法)；解：解：x23x40，x23x4， x23x 4 ，(x )2 ， x ，x ， x11，x24.(3)x22x80(用因式分解法用因式分解法)；解：解：x22x80，(x4)(x2)0， x40或或x20， x14，x22.(4)x(x1)2(x1)0.解：解：x(x1)2(x1)0，x2x2x20， x23x20，x . x1 ，x2 .题型二配方法题型二配方法【例例 2】 试说明：代数式试说明：代数式2x2x3的值不小于的值不小于 .解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，一分不丢！解：解：2x2x32(x2 x)3 2x2 x( )2( )23 2(x )2 3 2(x )2 32(x )2 . 不论不论x取何实数，取何实数，2(x )2 0， 2(x )2 . 即代数式即代数式2x2x3的值不小于的值不小于 .探究提高探究提高 配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法，在配方前，先又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法，在配方前，先将二次项系数将二次项系数2提出来，使括号中的二次项系数化为提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通，然后通过配方分离出一个完全平方式过配方分离出一个完全平方式知能迁移知能迁移2对于二次二项式对于二次二项式x210x36，小聪同学作出如下结，小聪同学作出如下结论：无论论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于取什么实数，它的值都不可能等于11，你是否同意他，你是否同意他的说法？说明你的理由的说法？说明你的理由 解：不同意小聪的说法解：不同意小聪的说法 理由如下：理由如下：x210x36x210x2511(x5)21111，当当x5时，时，x210x36有最小值有最小值11.题型三应用方程根的定义解题题型三应用方程根的定义解题【例例 3】(1)(2010绵阳绵阳)若实数若实数m是方程是方程x2 x10的一个根，则的一个根，则m4m4_. 解析：解析： xm, m2 m10， m21 m，m ， 两边平方，得两边平方，得m22 10，m2 8， 再平方，得再平方，得m42 64，m4 62， 即即m4m462. 62(2)已知已知a是方程是方程x22009x10的一个根，的一个根，试求试求a22008a 值值 解：解：xa，a22009a10， a22008aa1，a212009a， . 原式原式a1 2008.探究提高探究提高 1.利用方程根的概念，将方程的根代入原方程，再解关于利用方程根的概念，将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程，就可以求出待定系数的值待定系数的方程，就可以求出待定系数的值 2采用整体的思想方法，结合一元二次方程根的定义及分采用整体的思想方法，结合一元二次方程根的定义及分式加减运算的法则可得式加减运算的法则可得(2)中代数式的值中代数式的值知能迁移知能迁移3(1)已知方程已知方程x2kx60的一个根是的一个根是2，求它的，求它的另一个根及另一个根及k的值；的值； 解：解：x2，42k60，2k2，k1. x2x60，x12，x23. 方程的另一个根是方程的另一个根是3，k1.(2)已知关于已知关于x的二次方程的二次方程x2mxn0的一个解是的一个解是2，另一个解，另一个解是正数，且也是方程是正数，且也是方程(x4)2523x的解你能求出的解你能求出m和和n的的值吗？值吗？ 解：解：(x4)2523x，x25x360，x14，x29， x2mxn0的两根是的两根是2和和4， 即即 解得解得(3)(2010广州广州)已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2bx10(a0)有有两个相等的实数根，求两个相等的实数根，求 的值的值分析：分析：对于对于(3)，由于这个方程有两个相等的实数根，因此，由于这个方程有两个相等的实数根，因此b24a0，可得出，可得出a、b之间的关系，然后将之间的关系，然后将 化简化简后，用含后，用含b的代数式表示的代数式表示a，即可求出这个分式的值，即可求出这个分式的值解：解：ax2bx10(a0)有两个相等的实数根，有两个相等的实数根， b24ac0，即，即b24a0，b24a. . a0， 4.题型四与几何问题的综合题型四与几何问题的综合【例例 4】已知三角形两边长分别为已知三角形两边长分别为2和和4，第三边是方程，第三边是方程x24x 30的解，求这个三角形的周长的解，求这个三角形的周长 解：解方程解：解方程x24x30得得x11，x23. 又三角形的第三边又三角形的第三边a的范围是的范围是2a0时有两个不相等的实数根，时有两个不相等的实数根，0时有两个相等的实数根但在解题过程中，往往出现只时有两个相等的实数根但在解题过程中，往往出现只有一个根的现象，这就表明遗失了一个根有一个根的现象，这就表明遗失了一个根3规范解答，理解一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、规范解答，理解一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法的规范步骤，才能避免失根因式分解法、求根公式法的规范步骤，才能避免失根. 方法与技巧方法与技巧1.关于关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2bxc0(a0)，当，当b0时，方程有时，方程有两个不相等的实数根的条件是两个不相等的实数根的条件是“a、c异号异号”用因式分解法解用因式分解法解这个方程这个方程ax2c0时，只有当时，只有当a、c异号，二次式异号，二次式ax2c才是可才是可以分解的；用开平方法解这个方程以分解的；用开平方法解这个方程x2 ，只有当，只有当a、c异号时异号时，正数，正数 才有两个互为相反数的平方根因此一元二次方程才有两个互为相反数的平方根因此一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判别式根的判别式b24ac，在，在a、c异号时，异号时，b24ac0，方程一定有两个不相等的实数根，方程一定有两个不相等的实数根思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2. 关于关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2bxc0(a0) (1)当当b0，c0时，只考虑开平方法，时，只考虑开平方法，x2 ，x ， 其中其中a、c异号；异号； (2)当当c0，b0时，用因式分解法时，用因式分解法(提取公因式提取公因式x)，x10，x2 ； (3)当当b0，c0时，考虑因式分解时，考虑因式分解(十字分解十字分解)法，或利用公式法法，或利用公式法 在进行以上思考前，使在进行以上思考前，使a为正；把为正；把a、b、c都整理为整数；约去都整理为整数；约去a、 b、c的公因数的公因数3. 解好利用解好利用“根的判别式根的判别式”为工具的有关问题当给出了根为工具的有关问题当给出了根的情况的结论，求的情况的结论，求a、b、c中所含字母的取值或取值范围，中所含字母的取值或取值范围，先求出并化简根的判别式先求出并化简根的判别式的表达式，然后根据所给的结的表达式，然后根据所给的结论，以论，以0或或0或或0，再解所得的不等式或，再解所得的不等式或方程方程失误与防范失误与防范1. 对于最高次项系数含有参数的方程，这并不能断定该方程即为对于最高次项系数含有参数的方程，这并不能断定该方程即为一元二次方程，解题时要分一元一次方程和一元二次方程加以一元二次方程，解题时要分一元一次方程和一元二次方程加以讨论对于二次项系数含有参数的方程，题设已交代了是一元讨论对于二次项系数含有参数的方程，题设已交代了是一元二次方程，不能忽视二次项的系数应为非零实数，这是个隐含二次方程，不能忽视二次项的系数应为非零实数，这是个隐含条件，最易被忽视任何一个关于条件，最易被忽视任何一个关于x的一元二次方程中有一个隐的一元二次方程中有一个隐含条件：即二次项系数含条件：即二次项系数a0.2. 正确理解正确理解“方程有实根方程有实根”的含义方程有一个实数根或有两个的含义方程有一个实数根或有两个实数根：如有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根：如有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程在解题时，要特别注意实数根则原方程为一元二次方程在解题时，要特别注意“方方程有实数根程有实数根”、“有两个实数根有两个实数根”等关键文字，要挖掘出它们等关键文字，要挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱陷阱”3. 在运用直接开平方法求一元二次方程的解时，容易出现将平在运用直接开平方法求一元二次方程的解时，容易出现将平方根和算术平方根混淆的错误，使得在解题时出现失根的现方根和算术平方根混淆的错误，使得在解题时出现失根的现象例如将象例如将x290变形为变形为x29后，根据平方根的意义得到后，根据平方根的意义得到方程的根应该是方程的根应该是x3，而非，而非x3. 用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项的方式，将方程右边化为丢根，需通过移项的方式，将方程右边化为0.配方法是指通过配方，利用完全平方式，将一元二次方程左边化配方法是指通过配方，利用完全平方式，将一元二次方程左边化成一个含有未知数的整式的平方，方程右边就是一个非负数的形成一个含有未知数的整式的平方，方程右边就是一个非负数的形式，然后再用直接开平方法求解因此用配方法解方程必须注意式，然后再用直接开平方法求解因此用配方法解方程必须注意以下几点：一是要注意配方时必须在方程的左右两边同时加上一以下几点：一是要注意配方时必须在方程的左右两边同时加上一次项系数绝对值的一半的平方，二是要注意在配方时所配系数必次项系数绝对值的一半的平方，二是要注意在配方时所配系数必须是一次项系数的绝对值的一半的平方须是一次项系数的绝对值的一半的平方所有的一元二次方程都可以用公式法进行求解，所以一元二次方所有的一元二次方程都可以用公式法进行求解，所以一元二次方程有无实数根，就取决于根的判别式程有无实数根，就取决于根的判别式的值，即的值，即b24ac的大小的大小如果如果b24ac0，则方程有两个不相等的实数根；如果，则方程有两个不相等的实数根；如果b24ac0，则方程有两个相等的实数根；如果，则方程有两个相等的实数根；如果b24ac0，则方程无实，则方程无实数根数根完成考点跟踪训练 7