第十二章 概率与统计12.1 随机事件及其概率高考数学高考数学 (浙江专用)考点随机事件及其概率考点随机事件及其概率1.(2017山东理,8,5分)从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到 的 2 张 卡 片 上 的 数 奇 偶 性 不 同 的 概 率 是()A.B.C.D.五年高考答案答案C本题主要考查古典概型.由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n=98=72,抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的基本事件个数m= =40,所以所求概率P=.故选C.方法技巧方法技巧古典概型中基本事件个数的探求方法:枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举;树状图法:适用于对较为复杂的问题中的基本事件的探求,注意对有序问题的基本事件的探求;排列、组合法:在求一些较为复杂的基本事件时,可利用排列、组合知识求出基本事件个数.2.(2014课标,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都 有 同 学 参 加 公 益 活 动 的 概 率 为()A.B.C.D.答案答案D由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况,而4位同学都选周六有1种情况,4位同学都选周日有1种情况,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P=,故选D.3.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.答案答案解析解析记两只黄球为黄A与黄B,从而所有的摸球结果为:白、红,红、黄A,红、黄B,白、黄A,白、黄B,黄A、黄B,共6种情况,其中颜色不同的有5种情况,则所求概率P=.4.(2017课标全国文,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解析解析本题考查概率的计算.(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6450-4450=900;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(450-300)-4450=300;若最高气温低于20,则Y=6200+2(450-200)-4450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.5.(2016浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(2),5分)设袋中共有8个球,其中3个白球、5个红球.从袋中随机取出3个球,求至少有1个白球的概率.解析解析从袋中取出3个球,总的取法有=56种,其中都是红球的取法有=10种.因此,从袋中取出3个球至少有1个白球的概率是1-=.6.(2016课标全国,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析解析(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A) = 0 . 2 + 0 . 2 + 0 . 1 + 0 . 0 5 = 0 . 5 5 .(3分)(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=.因此所求概率为.(7分)(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为EX=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)评析评析本题考查了随机事件的概率,同时考查了学生的应用意识及数据处理能力,属中档题.1.(2017浙江名校协作体联考,15)一个口袋里装有大小相同的6个小球,其中红色、黄色、绿色的球各2个,现从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球同颜色的概率是.若取到红球得1分,取到黄球得2分,取到绿球得3分,记变量为取出的三个小球得分之和,则的期望为.三年模拟一、选择题A组 20152017年高考模拟基础题组答案答案;6解析解析先取出两个同色小球有种取法,再从剩余的4个小球中取一个,有4种取法,所以从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球同颜色的取法共有12种.而6个小球中取3个共有=20种取法,所以其中恰有2个小球同颜色的概率是=.变量可取的值分别是4,5,6,7,8,可知P(=4)=,P(=5)=,P(=6)=,P(=7)=,P(=8)=,因此E=4+5+6+7+8=6.2.(2015浙江名校(诸暨中学)交流卷自选模块(一),04(2)已知盒中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色不同的概率等于.答案答案解析解析设两球颜色相同的概率为P1.因为P1=,所以两球颜色不同的概率为1-P1=.3.(2016“江南十校”信息优化卷,“计数原理与概率”模块,2)有红、蓝两个质地均匀的正方体骰子,红色骰子有两个面数字是8,四个面数字是2,蓝色骰子有三个面数字是7,三个面数字是1,甲、乙两人分别取红色和蓝色骰子随机投掷一次,所得点数较大者获胜,求甲获胜的概率.二、解答题解析解析甲获胜只有两种可能:当甲掷点数为8时,概率为;当甲掷点数为2,乙掷点数为1时,概率为=.故甲获胜的概率为+=.4.(2016浙江高考调研模拟卷二,“计数原理与概率”模块,2)春节期间,某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中任选出3种商品进行促销活动,求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率.解析解析设选出的3种商品中没有家电的概率为P1,则P1=,所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为1-P1=.5.(2015浙江镇海中学模拟测试,17)甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,其中甲袋装有4个红球、2个白球,乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机摸取2个球,每个球被摸到的可能性相同,且从甲袋中摸球与从乙袋中摸球相互独立.求:(1)摸到的4个球中恰有一个红球的概率;(2)摸到的4个球中至少有两个白球的概率.解析解析(1)记从甲袋中摸到1个红球和1个白球的事件为A1,摸到2个白球的事件为A2,从乙袋中摸到1个红球和1个白球的事件为B1,摸到2个白球的事件为B2,摸到的4个球中恰有一个红球的事件为C.则C=A1B2+A2B1.P(A1)=,P(A2)=,P(B1)=,P(B2)=.而事件A1与B2,事件A2与B1均相互独立,P(A1B2)=P(A1)P(B2)=,P(A2B1)=P(A2)P(B1)=.事件A1B2与A2B1是互斥事件,P(C)=P(A1B2+A2B1)=P(A1B2)+P(A2B1)=.故摸到的4个球中恰有一个红球的概率为.(2)记摸到的4个球中至少有两个白球的事件为A,因为乙袋中只有1个红球,故摸到的4个球中至少有两个白球的对立事件是摸到的4个球为1个白球和3个红球.设从甲袋中摸到2个红球的事件为D,从乙袋中摸到1个红球和1个白球的事件为E,则=DE.P(D)=,P(E)=,且事件D与E是相互独立的,P()=P(DE)=P(D)P(E)=,P(A)=1-P()=.故摸到的4个球中至少有两个白球的概率为.1.(2017浙江镇海中学模拟卷二,11)甲、乙两人进行围棋比赛,比赛采用5局3胜制(即先胜3局者获 胜 ) . 其 中 甲 、 乙 两 队 在 每 场 比 赛 中 获 胜 的 概 率 分 别 为和,记需要比赛的场次为,则比赛3局结束的概率是;E=.一、选择题B组 20152017年高考模拟综合题组答案答案;解析解析显然可取的值为3,4,5,且P(=3)=+=,P(=4)=+=,P(=5)=,所以E=3+4+5=.2.(2015浙江调研模拟试卷自选模块六(金华一中),04)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球有1个,标号为1的小球有1个,标号为2的小球有n个.已知从袋子中随机取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值;(2)从袋子中不放回地随机取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a+b=2”,求事件A发生的概率.二、解答题解析解析(1)由题意可知=,解得n=2.(5分)(2)不放回地随机取2个小球的所有基本事件有:(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12个,事件A包含的基本事件为(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4个.故事件A发生的概率为P(A)=.(10分)