24 24 探究探究四四点点共圆共圆的条的条件件阜阳开发区一初阜阳开发区一初 王丽王丽 问题问题1：我市生态园需要经过我市生态园需要经过A A、B B、C C三个旅游三个旅游景点建一个圆形快车道，如图，假如我们把景点建一个圆形快车道，如图，假如我们把A A、B B、C C三个旅游景点抽象成点，你能设计出这个圆形轨三个旅游景点抽象成点，你能设计出这个圆形轨道吗？道吗？创设情境创设情境A. B.C.A. B. 问题问题2：如果要经过如果要经过A A、B B、C C、D D三个旅游景点三个旅游景点建一个圆形快车道，你能设计出这个圆形车道吗建一个圆形快车道，你能设计出这个圆形车道吗？思思 考考C.D.（小组（小组1 1）平行四边形的四个顶点是否在同一个圆）平行四边形的四个顶点是否在同一个圆上？上？（小组（小组2 2）矩形的四个顶点是否在同一个圆上？）矩形的四个顶点是否在同一个圆上？（小组（小组3 3）等腰梯形的四个顶点是否在同一个圆上）等腰梯形的四个顶点是否在同一个圆上？（小组（小组4 4）有公共斜边的两个直角三角形的四个顶）有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点是否在同一个圆上？点是否在同一个圆上？ 探探 究究 观观 察察 测测 量量 利用刻度尺量出线段的长度，或者是用量角利用刻度尺量出线段的长度，或者是用量角器量出四个内角看看你有什么发现？器量出四个内角看看你有什么发现？对角互补的四边形的四个顶点共圆对角互补的四边形的四个顶点共圆 ：经过对角互补的四边形的四个顶点能：经过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆。作一个圆。证明猜想证明猜想 获得结论获得结论证明：（反证法）过证明：（反证法）过A、B、C三点做三点做 O，假，假设设D不在不在 O上则点上则点D在圆内或圆外。在圆内或圆外。若若D在圆外，设在圆外，设CD与与 O交于交于D，连接，连接A D根据圆内接四边形的性质得：根据圆内接四边形的性质得：B+C DA=180又又B+D=180，C DA=D。这与三角形外角的性质相矛盾，故这与三角形外角的性质相矛盾，故D不可能不可能在圆外。在圆外。类似的可以证明类似的可以证明D不可能在圆内。不可能在圆内。D在在 O上，即上，即A、B、C、D四点共圆。四点共圆。已知：在四边形已知：在四边形ABCD中，中，B+D=180求证：四边形求证：四边形ABCD内接于一个圆（即内接于一个圆（即A、B、C、D四点共圆）四点共圆）结论结论猜想猜想A. B. 问题问题2：如果要经过如果要经过A A、B B、C C、D D三个旅游景点三个旅游景点建一个圆形快车道，你能设计出这个圆形车道吗建一个圆形快车道，你能设计出这个圆形车道吗？解决问题解决问题C.D.例例1、发现四点共圆、发现四点共圆 讲解例题讲解例题图图1、PA、PB与与 O相相切于切于A、B两点两点图图2、 O中，点中，点C是弧是弧AB的中点，过的中点，过C分别作分别作CD垂直垂直OA，CE垂直垂直OB,垂足分别为垂足分别为D、E图图3、DCE是四边形是四边形ABCD的一个外角，的一个外角，DCE=A例例2、如图、如图,在四边形在四边形ABCD中中,ABC=ADC=90（1）A、B、C、D四点能否在同一个一个圆上？四点能否在同一个一个圆上？（2）当）当ABD=70，则，则CAD是多少度？是多少度？ 讲解例题讲解例题例例3：（八年级教材习题改编）：（八年级教材习题改编）如图，四边形如图，四边形ABCD是一个正方形，点是一个正方形，点E、F分别在分别在边边AD、CD上，且上，且AE=DF，连接，连接BE、AF（1）图中哪四个点在同一个圆上？）图中哪四个点在同一个圆上？（2）连接）连接CG、BF.求证：求证：FBC=FGC 讲解例题讲解例题 知识梳理知识梳理 一个结论一个结论经过对角互补的四边形的四个顶点经过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆。能作一个圆。 几几种思种思路路 1、从圆的定义出发，证明各点都、从圆的定义出发，证明各点都与某一定点的距离相等。与某一定点的距离相等。2、如果证明四点共圆，可以先任、如果证明四点共圆，可以先任选三点做一个圆，再证明另一个点选三点做一个圆，再证明另一个点也在这个圆上。也在这个圆上。3、若能证明四边形对角互补，或、若能证明四边形对角互补，或证明其中一个外角等于其邻补角的证明其中一个外角等于其邻补角的内对角，即可证明这四点共圆。内对角，即可证明这四点共圆。 作作 业业