微分方程在离散为差分方程来求解，当步长微分方程在离散为差分方程来求解，当步长 时，时，存在着差分方程的解存在着差分方程的解 能否收敛到微分方程的准确解能否收敛到微分方程的准确解 的问题，这就是差分方法的的问题，这就是差分方法的收敛性问题收敛性问题。以及在差分方程的求。以及在差分方程的求解过程中，存在着各种计算误差，这些误差如舍入误差等引起解过程中，存在着各种计算误差，这些误差如舍入误差等引起的扰动，在误差传播过程中，可能会大量积累，以至于的扰动，在误差传播过程中，可能会大量积累，以至于“淹没淹没”了差分方程的真解，这就是差分方法的了差分方程的真解，这就是差分方法的稳定性问题稳定性问题。第五部分第五部分 收敛性和稳定性收敛性和稳定性例如例如 初值问题初值问题 的准确解为的准确解为欧拉格式Runge-KuattaAdams精确解上述结果合理吗？因而有必要研究算法的收敛性和稳定性。上述结果合理吗？因而有必要研究算法的收敛性和稳定性。如果用欧拉格式、如果用欧拉格式、Runge-Kutta和和Adams格式求解，取步长为格式求解，取步长为 得到得到 的近似解如下表所列的近似解如下表所列 一、收敛性一、收敛性一、收敛性一、收敛性1 1、定义、定义、定义、定义对于任意节点的对于任意节点的 ，如果数值解，如果数值解 当当 （同时（同时 ）时趋向于准确解）时趋向于准确解 ，则称该方法是，则称该方法是收敛的收敛的收敛的收敛的。2 2、欧拉格式的收敛性分析、欧拉格式的收敛性分析、欧拉格式的收敛性分析、欧拉格式的收敛性分析定理定理 如果初始条件是准确的，则欧拉格式是收敛的。如果初始条件是准确的，则欧拉格式是收敛的。3 3、收敛的意义、收敛的意义、收敛的意义、收敛的意义收敛性是保证一个算法有效性的重要特征。量化就是收敛性是保证一个算法有效性的重要特征。量化就是收敛速度（阶）或局部截断误差。收敛速度（阶）或局部截断误差。收敛速度（阶）或局部截断误差。收敛速度（阶）或局部截断误差。即：对即：对 ，如果，如果 ，有，有二、稳定性二、稳定性二、稳定性二、稳定性1 1、定义、定义、定义、定义对于存在正常数对于存在正常数 和对于每个和对于每个 存在一个正常数存在一个正常数 ，使得当，使得当初值和右端的扰动满足初值和右端的扰动满足时，原方程与扰动方程的解对一切时，原方程与扰动方程的解对一切 满足估计式满足估计式则称该格式是则称该格式是稳定的。稳定的。稳定的。稳定的。或者：或者：如果一种差分方法在节点值如果一种差分方法在节点值 上大小为上大小为 的扰动，在的扰动，在以后各节点值以后各节点值 上产生的偏差均不超过上产生的偏差均不超过 ，则称这，则称这种方法是种方法是稳定的。稳定的。稳定的。稳定的。2 2、条件稳定和绝对稳定、条件稳定和绝对稳定、条件稳定和绝对稳定、条件稳定和绝对稳定如果一个算法的稳定是在一定条件下才成立，则称这种稳定如果一个算法的稳定是在一定条件下才成立，则称这种稳定是是条件稳定条件稳定条件稳定条件稳定。譬如，步长的选取以保证格式收敛的稳定性。譬如，步长的选取以保证格式收敛的稳定性。如果一个算法的稳定是任何条件下都成立，则称这种稳定是如果一个算法的稳定是任何条件下都成立，则称这种稳定是绝对稳定。绝对稳定。绝对稳定。绝对稳定。3 3、稳定的意义、稳定的意义、稳定的意义、稳定的意义稳定性是判别一个算法稳定性是判别一个算法可用与否可用与否可用与否可用与否的重要条件，在此基础上构的重要条件，在此基础上构造快捷（造快捷（收敛速度快！收敛速度快！收敛速度快！收敛速度快！）的方法才是追求的目标。详细分析）的方法才是追求的目标。详细分析在此省略。在此省略。