1 大学物理学 刚体力学刚体刚体 一种理想模型一种理想模型. 刚体内任意两质元间距离刚体内任意两质元间距离, 在运动过程中保持不变在运动过程中保持不变. 由由无无数数个个连连续续分分布布的的质质点点组组成成的的质质点点系系,每每个个质质点点称称为刚体的一个质量元为刚体的一个质量元. 每个质点都服从质点力学规律每个质点都服从质点力学规律. 刚刚体体的的运运动动平平动动和和转转动动. 任任何何复复杂杂的的运运动动为为两两者的叠加者的叠加. 一刚体运动的基本形式一刚体运动的基本形式一刚体运动的基本形式一刚体运动的基本形式2 大学物理学 刚体力学刚体的平动刚体的平动刚刚体体上上任任一一给给定定直直线线(或或任任意意二二质质点点间间的的连连线线)在在运运动动中中空空间间方方向向始始终终不不变变而而保持平行保持平行.刚体的转动刚体的转动转动转动 刚体内各质元绕同一直线做圆周运动刚体内各质元绕同一直线做圆周运动.转轴转轴定定轴轴转转动动 整整个个转转轴轴相相对对参参考系静止考系静止.定定点点转转动动 转转轴轴上上只只有有一一点点相相对对参参考考系系静静止止, 转转动动方方向向不不断断变动变动.3 大学物理学 刚体力学 描述刚体转动的物理量描述刚体转动的物理量描述刚体转动的物理量描述刚体转动的物理量刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点:转动平面转动平面: 定轴转动刚体上各质点的运动面定轴转动刚体上各质点的运动面.1.转动平面垂直于转轴转动平面垂直于转轴.2.转转动动平平面面上上各各点点均均做做圆圆周周运运动动, 角角量量相相同同, 线量不同线量不同.3.定定轴轴转转动动刚刚体体上上各各点点的的角角速速度度矢矢量量 的的方向均沿轴线。方向均沿轴线。角位移角位移:角坐标角坐标:角速度角速度:方向右旋方向右旋角加速度角加速度:4 大学物理学 刚体力学线速度与角速度之间的关系线速度与角速度之间的关系: 和和 是是矢矢量量, 在在定定轴轴转转动动中中由由于于轴轴的的方方位位不不变变, 故故用用正正负负表表示示其其方向方向. 定轴转动中的基本关系式定轴转动中的基本关系式:5 大学物理学 刚体力学二定轴转动定律二定轴转动定律二定轴转动定律二定轴转动定律 力对轴的力矩力对轴的力矩力对轴的力矩力对轴的力矩力的大小？力的大小？力的作用点？力的作用点？ 表表征征力力对对物物体体转转动动作作用用, 称为称为力矩力矩.6 大学物理学 刚体力学 力力 对参考点对参考点O的力矩的力矩:大小大小: 力力矩矩方方向向由由右右手手螺螺旋旋关关系系确确定定,垂直于垂直于 和和 确定的平面确定的平面.力力 对轴的力矩对轴的力矩:力力 对轴对轴OA的力矩的力矩:只有只有 能改变刚体的转动状态能改变刚体的转动状态.7 大学物理学 刚体力学 刚体绕定轴的转动定律刚体绕定轴的转动定律刚体绕定轴的转动定律刚体绕定轴的转动定律 miz把刚体看作一个质点系把刚体看作一个质点系合外力矩合外力矩:合内力合内力:加速度：加速度：8 大学物理学 刚体力学其中其中:转动定律转动定律: 刚刚体体在在作作定定轴轴转转动动时时, 刚刚体体的的角角加加速速度度与与它它所所受受到的合外力矩成正比到的合外力矩成正比, 与刚体的转动惯量成反比与刚体的转动惯量成反比.转动惯量转动惯量:单位单位: kg m29 大学物理学 刚体力学转动定律转动定律转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义: 反映刚体转动惯性的量度反映刚体转动惯性的量度.转动惯量的定义式转动惯量的定义式:1.刚体的总质量刚体的总质量 (同分布同分布M m , JM Jm).2.刚体质量分布刚体质量分布 (同同m, J中空中空J实实).3.转轴的位置转轴的位置.影响影响 J 的因素的因素:探索演示实验探索演示实验: : 等质量四筒比滚仪等质量四筒比滚仪. .10 大学物理学 刚体力学例例1:求一质量为求一质量为m,长为长为 l 的均匀细棒的转动惯量的均匀细棒的转动惯量. (1) 转轴通过棒的中心并与棒垂直转轴通过棒的中心并与棒垂直. (2) 轴通过棒的一端并与棒垂直轴通过棒的一端并与棒垂直.解解:dm对转轴的转动惯量为对转轴的转动惯量为:在棒上取质量元在棒上取质量元,长为长为dx, 离轴离轴 O 为为 x .棒的线密度为棒的线密度为:(1) 解为解为:(2) 解为解为:(原点原点O在棒的左端点在棒的左端点)11 大学物理学 刚体力学例例2: 一一质质量量为为m, 半半径径为为R的的均均匀匀圆圆盘盘, 求求通通过过盘盘中中心心并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量.解：解：ordrR12 大学物理学 刚体力学垂直于杆的轴通过杆的中心垂直于杆的轴通过杆的端点垂直于杆的轴通过杆的1/4处 匀匀质质直直杆杆对对垂垂直直于于杆杆的的转转轴轴的的转转动动惯惯量量13 大学物理学 刚体力学常见形状转动惯量常见形状转动惯量14 大学物理学 刚体力学mR RJ Jz z平行轴定理平行轴定理 若若刚刚体体对对过过质质心心的的轴轴的的转转动动惯惯量量为为Jc, 则则刚刚体体对对与与该轴相距为该轴相距为 d 的平行轴的平行轴 z 的转动惯量的转动惯量Jz是是:J Jc c15 大学物理学 刚体力学挂挂钟钟摆摆锤锤的的转转动动惯惯量量 (杆杆长长为为l, 质质量量为为m1, 摆锤半径为摆锤半径为R, 质量为质量为m2) : 挂挂在在光光滑滑钉钉子子上上的的匀匀质质圆圆环环摆摆动动的的转转动动惯惯量量(圆圆环环质质量量为为m, 半半径径为为R):16 大学物理学 刚体力学例例3: 如如图图,一一个个质质量量为为m的的物物体体与与绕绕在在定定滑滑轮轮上上的的绳绳子子相相联联, 绳绳子子质质量量可可以以忽忽略略, 它它与与定定滑滑轮轮之之间间无无滑滑动动. 假假设设定定滑滑轮轮的的质质量量为为m0 ,半半径径为为R, 其其转转动动惯惯量量为为m0R2/2, 滑滑轮轮轴轴光光滑滑. 试试求求该该物体由静止开始下落的过程中物体由静止开始下落的过程中, 下落速度与时间的关系下落速度与时间的关系.解解: 由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律:对对m:(1)对对m0:(2)(3)联立联立(1),(2),(3)解得解得:恒恒矢矢量量,与与时间无关时间无关.由初始条件由初始条件 ,得得17 大学物理学 刚体力学例例4: 一一半半径径为为R, 质质量量为为m的的均均匀匀圆圆盘盘平平放放在在粗粗糙糙的的水水平平面面上上. 若若它它的的初初始始角角速速度度为为 0, 绕绕中中心心O旋旋转转, 问问经经过过多多长长时时间间圆盘才停止圆盘才停止.(设摩擦系数为设摩擦系数为 )oR Rd dr rr r解：解：18 大学物理学 刚体力学例例5: 一一质质量量为为m, 长长为为l的的均均质质细细杆杆, 转转轴轴在在O点点, 距距A端端l/3. 今今使使棒棒从从静静止止开开始始由由水水平平位位置置绕绕O点点转转动动,求求: (1)水水平平位位置置的角速度和角加速度的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度垂直位置时的角速度和角加速度.解解: 平行轴定理平行轴定理(1)(1)转动惯量转动惯量:OBAC质心质心19 大学物理学 刚体力学例例5: 一一质质量量为为m, 长长为为l的的均均质质细细杆杆, 转转轴轴在在O点点, 距距A端端l/3. 今今使使棒棒从从静静止止开开始始由由水水平平位位置置绕绕O点点转转动动,求求: (1)水水平平位位置置的角速度和角加速度的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度垂直位置时的角速度和角加速度.解解: (2)OBAC质心质心20 大学物理学 刚体力学三刚体定轴转动的机械能和力矩的功三刚体定轴转动的机械能和力矩的功三刚体定轴转动的机械能和力矩的功三刚体定轴转动的机械能和力矩的功 刚体转动动能刚体转动动能刚体转动动能刚体转动动能动能动能:刚体的总动能刚体的总动能: miz 刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能等于质量集中于质心的重力势能刚体的重力势能等于质量集中于质心的重力势能.21 大学物理学 刚体力学 力矩的功和功率力矩的功和功率力矩的功和功率力矩的功和功率力矩力矩:力矩的功力矩的功:合力矩的功合力矩的功:力矩功率力矩功率:22 大学物理学 刚体力学 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理若若刚体机械能守恒刚体机械能守恒按选定的系统按选定的系统, 确定机械能是否守恒确定机械能是否守恒.23 大学物理学 刚体力学例例6: 一一质质量量为为M, 半半径径R的的圆圆盘盘, 盘盘上上绕绕由由细细绳绳, 一一端端挂挂有有质质量量为为m的的物物体体. 问问物物体体由由静静止止下下落落高高度度h时时, 其其速速度为多大？度为多大？mgTMm解解1:解得：解得：由动能定理由动能定理:24 大学物理学 刚体力学将地球、圆盘、物体作为一个系统将地球、圆盘、物体作为一个系统.解解2:机械能守恒机械能守恒mgTMm解得：解得：25 大学物理学 刚体力学例例7: 已已知知: 如如图图滑滑块块质质量量为为m, 滑滑轮轮半半径径为为R, 转转动动惯惯量量为为J,弹弹簧簧劲劲度度系系数数为为k, 斜斜面面角角度度为为 . 不不计计摩摩擦擦. 当当弹弹簧簧无无形形变变时时将滑块由静止释放将滑块由静止释放. 求求(1)滑块滑块下滑下滑x时的加速度时的加速度; (2) 下滑的最大距离下滑的最大距离.解解: (能能量量微微分分法法) 以以A,B,C,地地球球,斜斜面面为为系统系统, 机械能守恒机械能守恒. 对对t求导求导:可得可得:A下滑下滑x时时:沿斜面建立坐标沿斜面建立坐标, 以以A的初始的初始位置为位置为原点原点. (1) 设原点为势能零点设原点为势能零点.Ox Rmk26 大学物理学 刚体力学得得Ox Rmk例例7: 已已知知: 如如图图滑滑块块质质量量为为m, 滑滑轮轮半半径径为为R, 转转动动惯惯量量为为J,弹弹簧簧劲劲度度系系数数为为k, 斜斜面面角角度度为为 . 不不计计摩摩擦擦. 当当弹弹簧簧无无形形变变时时将滑块由静止释放将滑块由静止释放. 求求(1)滑块滑块下滑下滑x时的加速度时的加速度; (2) 下滑的最大距离下滑的最大距离.解解: (2) 设滑块由静止释放沿斜面设滑块由静止释放沿斜面下滑的最大距离为下滑的最大距离为S, 则以则以A,B,C为系统为系统, 其机械能守恒其机械能守恒.原点为势能零点原点为势能零点.27 大学物理学 刚体力学四角动量定理及角动量守恒定律四角动量定理及角动量守恒定律四角动量定理及角动量守恒定律四角动量定理及角动量守恒定律设设: t 时刻质点的位矢时刻质点的位矢质点的动量质点的动量 运运动动质质点点相相对对于于参参考考原原点点O的角动量定义为的角动量定义为:单位单位: Kg m2s-1 质点的角动量质点的角动量质点的角动量质点的角动量角动量大小：角动量大小：角动量大小：角动量大小：角动量的方向：角动量的方向：角动量的方向：角动量的方向： 矢经矢经 和动量和动量 的矢积方向的矢积方向28 大学物理学 刚体力学如果质点绕参考点如果质点绕参考点O作圆周运动作圆周运动角动量与所取的惯性系有关角动量与所取的惯性系有关.角动量与参考点角动量与参考点O的位置有关的位置有关. 注意注意:zO 质点对定轴的角动量质点对定轴的角动量质点对定轴的角动量质点对定轴的角动量质质点点对对定定轴轴的的转转动动惯惯量量29 大学物理学 刚体力学由转动定律由转动定律:称为称为dt 时间内刚体所受合外力矩的时间内刚体所受合外力矩的冲量矩冲量矩.角动量定理微分式角动量定理微分式: 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理刚体的角动量定理：刚体的角动量定理： 刚刚体体在在t1t2时时间间内内所所受受合合外外力力矩矩的的冲冲量量矩矩等等于于该该段时间内刚体角动量的增量段时间内刚体角动量的增量.30 大学物理学 刚体力学角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律: : 刚刚体体所所受受合合外外力力矩矩为为零零, 则刚体的角动量保持不变则刚体的角动量保持不变. 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律探索演示实验探索演示实验: : 角动量演示仪角动量演示仪31 大学物理学 刚体力学 物体系的角动量守恒：物体系的角动量守恒：物体系的角动量守恒：物体系的角动量守恒： 对对有有几几个个物物体体或或质质点点构构成成的的系系统统, 若若整整个个系系统统所所受受对对同同一一转转轴轴的的合合外外力力矩矩为为零零, 则则整整个个物物体体系系对对该该转转轴轴的总角动量守恒的总角动量守恒.32 大学物理学 刚体力学例例8: 一一质质量量为为M, 半半径径为为R的的转转台台, 可可绕绕中中心心轴轴转转动动. 设设质质量量为为m的的人人站站在在台台的的边边缘缘上上. 初初始始时时人人、台台都都静静止止. 若若人人相相对对于于台台沿沿边边缘缘奔奔跑跑一一周周, 问问: 相相对对于于地地面面而而言言, 人人和和台台各各转转过过了了多少角度多少角度?解解: 人人和和盘盘组组成成系系统统.人人走走动动时时系系统统对对轴的合外力矩为轴的合外力矩为0,因此系统角动量守恒因此系统角动量守恒.33 大学物理学 刚体力学例例8: 一一质质量量为为M, 半半径径为为R的的转转台台, 可可绕绕中中心心轴轴转转动动. 设设质质量量为为m的的人人站站在在台台的的边边缘缘上上. 初初始始时时人人、台台都都静静止止. 若若人人相相对对于于台台沿沿边边缘缘奔奔跑跑一一周周, 问问: 相相对对于于地地面面而而言言, 人人和和台台各各转转过过了了多少角度多少角度?34 大学物理学 刚体力学例例9: 一一半半径径为为R, 质质量量为为M的的实实心心橡橡胶胶轮轮以以角角速速度度 0绕绕轴轴转转动动, 另另一一半半径径为为r, 质质量量为为m的的小小橡橡胶胶轮轮静静止止. 现现使使小小轮轮与与大大轮接触轮接触. 问问: 两个轮子最后的角速度为多少两个轮子最后的角速度为多少?FFMRmr解解: 由角动量定理由角动量定理:35 大学物理学 刚体力学例例10: 已知已知m = 20g, M = 980g, v0=400m/s, 绳不可伸长绳不可伸长.求求m射入射入M 后共同的后共同的 v =?分析哪些物理量守恒分析哪些物理量守恒. m、M系系统统水水平平方方向向Fx =0, 所所以以水水平平方向动量守恒方向动量守恒. 而而竖竖直直方方向向绳绳子子的的冲冲力力不不能能忽忽略略, 动动量不守恒量不守恒.OmM解解: m、M系统系统, 对对O轴角动量守恒轴角动量守恒(外力矩和为零外力矩和为零), 有有绳换为棒绳换为棒, 情况如何情况如何?36 大学物理学 刚体力学5 5 5 5 旋进旋进旋进旋进( ( ( (进动进动进动进动) ) ) )旋进现象演示旋进现象演示37 大学物理学 刚体力学设陀螺质量为设陀螺质量为m, 以角速度以角速度 自转自转c mg重力对固定点重力对固定点O的力矩的力矩:方向沿方向沿c点切向点切向绕自身轴转动的角动量绕自身轴转动的角动量:由角动量定理的微分式由角动量定理的微分式:O 进动原理进动原理进动原理进动原理38 大学物理学 刚体力学 d 旋进角速度旋进角速度:说说明明: 旋旋进进现现象象是是自自旋旋的的物物体体在在外外力力距距作作用用下下, 沿沿外外力力矩矩方方向向不不断断改改变变其其自自旋旋角角动动量方向的结果量方向的结果.设陀螺质量为设陀螺质量为m, 以角速度以角速度 自转自转重力对固定点重力对固定点O的力矩的力矩:方向沿方向沿c点切向点切向绕自身轴转动的角动量绕自身轴转动的角动量: 进动原理进动原理进动原理进动原理由角动量定理的微分式由角动量定理的微分式:39 大学物理学 刚体力学进动原理影视图解进动原理影视图解40