第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析内容提要内容提要1.1.初始值、换路定律、时间常数等概念。初始值、换路定律、时间常数等概念。2.2.一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、一阶电路全响应的三要素法。应、一阶电路全响应的三要素法。3.3.一阶电路阶跃响应和冲激响应一阶电路阶跃响应和冲激响应 。4.4.简介二阶电路的零输入响应。简介二阶电路的零输入响应。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析一电路的过渡过程一电路的过渡过程 稳定状态（稳态）稳定状态（稳态）：电路中所有的响应或是恒定不变，或是按周期规电路中所有的响应或是恒定不变，或是按周期规律变化的这种工作状态称为电路的稳定状态。律变化的这种工作状态称为电路的稳定状态。 过渡过程（动态、暂态）过渡过程（动态、暂态）：电路由原来的稳态转变到另一个稳态，这种电路由原来的稳态转变到另一个稳态，这种转变一般说来不是即时完成的，需要一个过程，这个过程称为电路转变一般说来不是即时完成的，需要一个过程，这个过程称为电路的过渡过程。的过渡过程。任何系统的状态都有相对稳定和不稳定两种状态在电路中，任何系统的状态都有相对稳定和不稳定两种状态在电路中，稳定状态是指在给定条件下电路中电压、电流已达到稳定状态是指在给定条件下电路中电压、电流已达到稳定值稳定值。不稳不稳定定状态是指动态。例如：电容状态是指动态。例如：电容C 的充电过程。的充电过程。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析三分析暂态的方法三分析暂态的方法二产生暂态的原因二产生暂态的原因内因：电路为动态电路，即电路中内因：电路为动态电路，即电路中含储能元件含储能元件L，C ； 外因：电路外因：电路换路换路，即开关通断、电源变化、元件参数变化等。，即开关通断、电源变化、元件参数变化等。 暂态分析中的分析中的电路方程是以路方程是以电流、流、电压为变量的微分方程。量的微分方程。因此，暂态的分析有两种方法：因此，暂态的分析有两种方法： 经典法（时域分析）经典法（时域分析）：以时间作为变量，直接求解微分：以时间作为变量，直接求解微分方程的方法。方程的方法。 运算法（复频域分析）运算法（复频域分析）：采用积分变换求解微分方程的：采用积分变换求解微分方程的方法。例如通过拉普拉斯变换，将自变量转换为复频率变量。方法。例如通过拉普拉斯变换，将自变量转换为复频率变量。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析10.1 10.1 换路定律和初始条件的计算换路定律和初始条件的计算一一 换路定律换路定律 换路换路：电路中支路的接通、切断、短路或电路参数的突然改变及电路连接方式改变的电路中支路的接通、切断、短路或电路参数的突然改变及电路连接方式改变的统称。并认为换路是即时完成的。统称。并认为换路是即时完成的。 记：记： 表示换路时刻表示换路时刻 ( (计时起点计时起点) )； 表示换路前的终末瞬间；表示换路前的终末瞬间； 表示换路后的初始瞬间。表示换路后的初始瞬间。 能量只能连续变化而不能跃变能量只能连续变化而不能跃变 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析 原因是原因是：储能元件中能量的改变是需要时间的。即动态电路在换路后一般不能由：储能元件中能量的改变是需要时间的。即动态电路在换路后一般不能由原来的稳定状态立刻到达新的稳定状态原来的稳定状态立刻到达新的稳定状态 。一般不能跃变一般不能跃变电场能量为：电场能量为： 磁场能量为：磁场能量为： 换路定律换路定律 在在换换路路瞬瞬间间，当当电电容容元元件件的的电电流流为为有有限限值值时时，电电容容电电压压一一般般不不能能跃跃变变；当当电电感感元件的电压为有限值时，电感电流一般不能跃变。元件的电压为有限值时，电感电流一般不能跃变。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析换路定律的数学表达为：换路定律的数学表达为：二二 初始条件的计算初始条件的计算 初始值初始值：电路中的响应在换路后的最开始一瞬间（即：电路中的响应在换路后的最开始一瞬间（即 时）的值。初始值组成解电路时）的值。初始值组成解电路微分方程的微分方程的初始条件初始条件。 相关初始值相关初始值：用独立初始值及：用独立初始值及KCLKCL，KVLKVL和和欧姆定律来确定的欧姆定律来确定的其它初始值其它初始值。 独立初始值独立初始值： 和和 。由换路前决定。由换路前决定。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析电容元件用值为电容元件用值为 的电压源代替的电压源代替电感元件用值为电感元件用值为 的电流源代替的电流源代替 等效电路画法等效电路画法：例例：如图，直流电压源电压：如图，直流电压源电压 。电路原已达到稳态。在。电路原已达到稳态。在 时断时断开开关开开关S S。求。求 时的时的 、 、 、 、 、 。解解：换路前：换路前第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析根据换路定律得：根据换路定律得： ，可画可画 电路图。从而可计算其它相关初始值，即：电路图。从而可计算其它相关初始值，即：第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析10.2 10.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应一一 电路的零输入响应电路的零输入响应零输入响应：零输入响应：仅由储能元件初始储能所引起的响应。仅由储能元件初始储能所引起的响应。 在图示电流、电压的参考方向下，在图示电流、电压的参考方向下，由由KVL得换路后的电路方程得换路后的电路方程 将元件的电压电流关系将元件的电压电流关系代入方程得代入方程得 一阶电路：一阶电路：可用一阶微分方程描述的电路。可用一阶微分方程描述的电路。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析这是一阶常系数线性齐次常微分方程，它的通解为这是一阶常系数线性齐次常微分方程，它的通解为 特征方程为特征方程为特征根为特征根为 所以所以将初始条件将初始条件 ，代入得积分常数代入得积分常数第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析求求得得满满足足初初始始条条件件的的微微分分方方程程的的解解，即即电电容容的的零零输输入入响响应应电电压压、电流分别为电流分别为 换路后，电容电压和电流均按指数规律衰减到换路后，电容电压和电流均按指数规律衰减到0 0。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析 时间常数时间常数 在响应表达式中，令在响应表达式中，令 ，则有，则有 SISI单位单位： 称称 为电路的为电路的时间常数时间常数。 的大小反映了电路过渡过程的的大小反映了电路过渡过程的进展速度，它是反映过渡过程特征的一个重要的量。进展速度，它是反映过渡过程特征的一个重要的量。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析在时间坐标轴上次切距的长度等于时间常数在时间坐标轴上次切距的长度等于时间常数 时间常数就是按照指数规律衰减的量衰减到它的初始值的时间常数就是按照指数规律衰减的量衰减到它的初始值的36.8% 36.8% 时所需时间。时所需时间。 时间常数的意义时间常数的意义 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析将不同时刻的电容电压值列于下表将不同时刻的电容电压值列于下表 理论上理论上： ，放电要经历无限大时间结束。，放电要经历无限大时间结束。工程上工程上认为：经过认为：经过 时间过渡过程即告结束。时间过渡过程即告结束。 时间常数越大，时间常数越大，衰减越慢，衰减越慢，过渡过程持续的时间越长。过渡过程持续的时间越长。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为 说明：电容在放电过程中释放的能量的全部转换为电阻消耗的能量。说明：电容在放电过程中释放的能量的全部转换为电阻消耗的能量。例例：一组一组 的电容器从高压电路断开，断开时电容器电压的电容器从高压电路断开，断开时电容器电压 ，断开后，电容器经它本身的漏电阻放电。如电容器的漏电阻，断开后，电容器经它本身的漏电阻放电。如电容器的漏电阻 ，问断开后经过多长时间，电容器的电压衰减为，问断开后经过多长时间，电容器的电压衰减为 ？ 解解：电路为零输入响应，所以有电路为零输入响应，所以有 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析将将 代入，得代入，得 例例：图示电路中，换路前电路已处于稳态。在图示电路中，换路前电路已处于稳态。在 时将开关闭合，时将开关闭合，求求 时电压时电压 和电流和电流 、 及及 。 解解：第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析二二 电路的零输入响应电路的零输入响应将元件的电压电流关系将元件的电压电流关系代入方程得代入方程得 图示电路，原已处于稳态，图示电路，原已处于稳态， 时开关闭合。在图示电流、电压的参考方向下，时开关闭合。在图示电流、电压的参考方向下，由由KVL得换路后的电路方程得换路后的电路方程 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析这是一阶常系数线性齐次常微分方程，它的通解为这是一阶常系数线性齐次常微分方程，它的通解为 特征方程为特征方程为特征根为特征根为 所以所以将初始条件将初始条件 ，代入得积分常数代入得积分常数第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析求得满足初始条件的微分方程的解，即电感的零输入响应电压、电流分别为求得满足初始条件的微分方程的解，即电感的零输入响应电压、电流分别为 换路后，电感电压和电流均按指数规律衰减到换路后，电感电压和电流均按指数规律衰减到0 0。其曲线如图所示。其曲线如图所示。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析 时间常数时间常数 令令 ，则有，则有 SISI单位单位： 称称 为为 电路的电路的时间常数时间常数。同样。同样 的大小反映了电路过渡过程的进展速度。的大小反映了电路过渡过程的进展速度。时时间常数越大，过渡过程持续的时间越长。间常数越大，过渡过程持续的时间越长。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析 在过渡过程中，电感不断放出能量为电阻所消耗，最后，原在过渡过程中，电感不断放出能量为电阻所消耗，最后，原来储存在电感中的磁场能量全部被电阻吸收而转换成热能。来储存在电感中的磁场能量全部被电阻吸收而转换成热能。 例例： 图示图示电路中，一个继电器线圈的电路中，一个继电器线圈的 ， ，电源电，电源电压压 ， ，已知此继电器释放电流为，已知此继电器释放电流为 ，问开，问开关关S S闭合后，经过多少时间，继电器才能释放？闭合后，经过多少时间，继电器才能释放？ 解解： 时时将将 代入，得代入，得第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析10.3 10.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应一一 电路的零状态响应电路的零状态响应 直流电压源通过电阻对电容充电如直流电压源通过电阻对电容充电如图。在图示电流、电压的参考方向下，图。在图示电流、电压的参考方向下，由由KVLKVL得换路后的电路方程得换路后的电路方程 零状态响应：零状态响应：由外施激励所引起的响应。由外施激励所引起的响应。零状态：零状态：电路中所有储能元件的电路中所有储能元件的 、 都为都为 零的情况。零的情况。把元件约束关系把元件约束关系 、 代入，得代入，得第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析其解有两部分组成其解有两部分组成一阶常系数线性一阶常系数线性非齐次常微分方程非齐次常微分方程 方程的通解方程的通解第一部分为方程的特解第一部分为方程的特解将初始条件将初始条件 ，代入得积分常数代入得积分常数又称强制分量又称强制分量或稳态分量或稳态分量又称自由分量又称自由分量或瞬态分量或瞬态分量第二部分为对应齐次方程的通解第二部分为对应齐次方程的通解 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析最后得到响应的完全解为最后得到响应的完全解为响应过程响应过程：电容电压由零初始：电容电压由零初始值开始以指数形式趋近于它的值开始以指数形式趋近于它的最终值，即直流电压源电压最终值，即直流电压源电压U US S，而电流在换路后瞬间，跃变，而电流在换路后瞬间，跃变到最大值，然后以此初始值开到最大值，然后以此初始值开始按指数规律衰减到零。始按指数规律衰减到零。 电路接通直流电压源的过程也电路接通直流电压源的过程也即是电源通过电阻对电容充电即是电源通过电阻对电容充电的过程。在充电过程中，电源的过程。在充电过程中，电源供给的能量一部分转换成电场供给的能量一部分转换成电场能量储存在电容中，一部分被能量储存在电容中，一部分被电阻转换为热能消耗。电阻转换为热能消耗。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析充电效率充电效率 在充电过程中，电源提供的能量只有一半转换成电场在充电过程中，电源提供的能量只有一半转换成电场能量储存于电容中，另一半则为电阻所消耗，也就是说，能量储存于电容中，另一半则为电阻所消耗，也就是说，充电效率为有充电效率为有50%。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析例例：图示电路中，换路前电容为充电。于图示电路中，换路前电容为充电。于 时将开关闭合，求时将开关闭合，求 时电压时电压 。 解解：对换路后的电路求电容两端的戴维宁等效电路，如图。对换路后的电路求电容两端的戴维宁等效电路，如图。其中其中于是，得电路响应为于是，得电路响应为第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析二二 电路在直流激励下的零状态响应电路在直流激励下的零状态响应把元件约束关系把元件约束关系 、 代入，得代入，得 图中换路前电感无电流，图中换路前电感无电流， 时闭时闭合开关。在图示电流、电压的参考方向合开关。在图示电流、电压的参考方向下，由下，由KVLKVL得换路后的电路方程得换路后的电路方程 一阶常系数线性一阶常系数线性非齐次常微分方程非齐次常微分方程 其解仍由两部分组成其解仍由两部分组成第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析其中稳态分量其中稳态分量其瞬态分量形式为其瞬态分量形式为所以所以代入初始条件代入初始条件 ，得得 ，故，故并得并得第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析响应过程响应过程：电感电流由零初始：电感电流由零初始值开始以指数形式趋近于它的值开始以指数形式趋近于它的稳态值，而电压在换路后，电稳态值，而电压在换路后，电压达到最大值，并以此初始值压达到最大值，并以此初始值开始按指数规律衰减到零。到开始按指数规律衰减到零。到达该值后，电压和电流不再变达该值后，电压和电流不再变化，电感相当于短路，其电压化，电感相当于短路，其电压为零，达到新的稳态。此时，为零，达到新的稳态。此时，电感的磁场储能为电感的磁场储能为 。注意：直流激励下的注意：直流激励下的 及及 电路的零状态响应，若外加电路的零状态响应，若外加激励增加激励增加K K倍，则其零状态响应也增加倍，则其零状态响应也增加K K倍，即零状态响应倍，即零状态响应与外加激励成线性关系或称与外加激励成线性关系或称零状态线性零状态线性。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析解解：对换路后的电路求电感支路两端的戴维宁等效电路，如图。对换路后的电路求电感支路两端的戴维宁等效电路，如图。例例：图示电路中，已知图示电路中，已知 ，设，设开关在开关在 时接通，电感电流的初值为零，求电流时接通，电感电流的初值为零，求电流 和和 。 其中其中第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析于是，得电路响应为于是，得电路响应为及及第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析三三 电路在正弦激励下的零状态响应电路在正弦激励下的零状态响应 图中，图中， 时闭合开关，使电路与时闭合开关，使电路与正弦电压正弦电压 接通。电路接通。电路的初始状态为零。的初始状态为零。 为接入相位角（为接入相位角（合合闸角闸角）。）。换路后的电路方程为换路后的电路方程为其解仍由两部分组成其解仍由两部分组成其中稳态分量其中稳态分量 按正弦电流电路计算。按正弦电流电路计算。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析所以所以电路阻抗为电路阻抗为于是，稳态分量为于是，稳态分量为瞬态分量为瞬态分量为代入初始条件代入初始条件 ，得得 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析最后得响应为最后得响应为 方程的方程的稳态分量稳态分量与外加激励具有相同的形式，即按与与外加激励具有相同的形式，即按与外加激励同频率的正弦规律变化。而外加激励同频率的正弦规律变化。而暂态分量暂态分量仍按指数仍按指数规律衰减，随时间增长趋于零。规律衰减，随时间增长趋于零。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析两种特殊情况两种特殊情况： ，响应：响应： ，电路无过渡过程电路无过渡过程立即进入稳态立即进入稳态电流的暂态分量电流的暂态分量起始值最大，等起始值最大，等于稳态分量的最于稳态分量的最大值。大值。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析解解：合闸：合闸后的电路的阻抗为后的电路的阻抗为例例：有一电磁铁，其电路模型如图所示，已知：正弦工频电源电压有一电磁铁，其电路模型如图所示，已知：正弦工频电源电压 及及 ，若接通电源的瞬时电压初相角，若接通电源的瞬时电压初相角 ，求接通电源后电路电流求接通电源后电路电流 。 电路的时间常数为电路的时间常数为第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析稳态分量为稳态分量为合闸后瞬态分量为合闸后瞬态分量为电路零状态响应为电路零状态响应为第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析10.4 10.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应：全响应：当非零初始状态的电路受到外加激励作用时，电路的响应当非零初始状态的电路受到外加激励作用时，电路的响应。一一 电路的全响应电路的全响应 如图电路中，设如图电路中，设 ，电压，电压源电压为源电压为 ，换路后，换路后 的方程仍为的方程仍为其解仍为其解仍为第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析代入初始条件代入初始条件 ，得得故电容电压的全响应为故电容电压的全响应为及电流及电流 时的全响应曲线时的全响应曲线右边第一项是右边第一项是稳稳态分量态分量，它等于，它等于外加激励即直流外加激励即直流电压；电压；第二项则是第二项则是暂态暂态分量分量，它随时间，它随时间的增长而按指数的增长而按指数规律逐渐衰减为规律逐渐衰减为零。零。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析二二 一阶电路全响应的两种分解一阶电路全响应的两种分解 全响应分解为稳全响应分解为稳态分量与暂态分态分量与暂态分量，能较明显地量，能较明显地反映电路的工作反映电路的工作阶段阶段，便于分析，便于分析过渡过程的特点。过渡过程的特点。全响应全响应 = = 稳态分量稳态分量 + + 暂态分量暂态分量 全响应全响应 = = 零输入响应零输入响应 + + 零状态响应零状态响应全响应分解为零全响应分解为零输入响应和零状输入响应和零状态响应，能明显态响应，能明显地地反映响应与激反映响应与激励的因果关系励的因果关系，体现了线性电路体现了线性电路的叠加性，而且的叠加性，而且便于分析计算。便于分析计算。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析三三 分析一阶电路全响应的三要素法分析一阶电路全响应的三要素法 无论是把全响应分解为无论是把全响应分解为稳态分量和暂态分量之和，稳态分量和暂态分量之和，还是分解为零输入响应和零还是分解为零输入响应和零状态响应之和，都不过是不状态响应之和，都不过是不同分法，而且上述的分量或同分法，而且上述的分量或响应均是全响应的特例。全响应均是全响应的特例。全响应，响应，它是由初始值、特解它是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的和时间常数三个要素决定的。三要素法三要素法：是一阶电路的求解方法及其响应形式进行：是一阶电路的求解方法及其响应形式进行归纳后得出的一个通用法则。归纳后得出的一个通用法则。 在同一个一阶电路中的在同一个一阶电路中的各响应的各响应的时间常数都是相同时间常数都是相同的的。对只有一个电容（或电。对只有一个电容（或电感）元件的电路，感）元件的电路， （ ），）， 为换路后该电容（或为换路后该电容（或电感）元件电感）元件 所接二端电阻性所接二端电阻性网络除源后的网络除源后的等效电阻等效电阻。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析 直流电源激励下的三要素法公式直流电源激励下的三要素法公式全响应全响应 = = 稳态分量稳态分量 + + 暂态分量暂态分量设：电路响应为设：电路响应为 ，其中，其中 稳态分量为稳态分量为 ； 初始值为初始值为 ； 时间常数为时间常数为 ； 则：一阶电路全响应为则：一阶电路全响应为代入初始值代入初始值 ，有，有 ，从而得全响应为，从而得全响应为三要素法三要素法公式公式三要素三要素第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析 正弦电源激励下的三要素法公式正弦电源激励下的三要素法公式全响应全响应 = = 稳态分量稳态分量 + + 暂态分量暂态分量正弦激励时全响应仍是稳态分量与暂态分量之和，但此时正弦激励时全响应仍是稳态分量与暂态分量之和，但此时稳态分量：稳态分量： ，是同频率的正弦量。，是同频率的正弦量。暂态分量：暂态分量：所以：一阶电路全响应为所以：一阶电路全响应为代入初始值代入初始值 ，有，有 ，从而得全响应为，从而得全响应为稳态分量稳态分量 的初始值的初始值三要素三要素第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析解解：例例：图中，设电路已达稳态。于：图中，设电路已达稳态。于 时断开开关，求断开开关后时断开开关，求断开开关后电流电流 。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析解解：例例：图中，电路已达稳态。于：图中，电路已达稳态。于 时开关闭合，求时开关闭合，求 。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析解解：先求电感中电流。：先求电感中电流。例例：图示电路，：图示电路， 时开关由时开关由1 1投向投向2 2，设换路前电路已达稳态，设换路前电路已达稳态，求电流求电流 和和 。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析求电流求电流列列 电路左边网孔电路左边网孔KVLKVL方程方程得得所以，响应为所以，响应为第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析换路前的稳态电路中的电流为换路前的稳态电路中的电流为例例：图示电路中，：图示电路中， 。换路前电路已达稳态，求在。换路前电路已达稳态，求在 时换路后的电感电流时换路后的电感电流 。 故电感电流初始值为故电感电流初始值为解解：第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析换路后的稳态电路中的电流为换路后的稳态电路中的电流为稳态电流为稳态电流为其初始值为其初始值为换路后的电流为换路后的电流为第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析10.5 10.5 阶跃函数和一阶电路的阶跃响应阶跃函数和一阶电路的阶跃响应一一 阶跃函数阶跃函数阶跃幅度等于阶跃幅度等于1 1阶跃幅度等于阶跃幅度等于单位阶跃函数单位阶跃函数：是一种奇异函数，其数学定义和波形如下是一种奇异函数，其数学定义和波形如下阶跃函数阶跃函数第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析阶跃幅度等于阶跃幅度等于 单位阶跃函数可以用来单位阶跃函数可以用来“起始起始”任意一个函数任意一个函数 延迟阶跃函数延迟阶跃函数第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析 单位阶跃函数可以用来表示阶梯波形单位阶跃函数可以用来表示阶梯波形第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析阶跃函数在电路中的作用阶跃函数在电路中的作用阶阶跃跃函函数数的的“起起始始”性性在在电电路路中中表表现现为为具具有有开开关关特特性性，故又称为故又称为开关函数开关函数。例如，电路在例如，电路在 时接通到一个电压为时接通到一个电压为 的直流电压源，的直流电压源，则此换路动作可用阶跃函数表示为则此换路动作可用阶跃函数表示为 。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析二二 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应阶跃（单位）响应阶跃（单位）响应：电路对（单位）阶跃激励的零状：电路对（单位）阶跃激励的零状态响应。态响应。把把直直流流激激励励下下电电路路的的零零状状态态响响应应中中的的激激励励量量改改为为阶阶跃跃量量，其其响响应应就成为阶跃响应。就成为阶跃响应。例：例：RC串联电路在阶跃电压串联电路在阶跃电压 激励下，电路的零状态响应激励下，电路的零状态响应为为第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析解解：脉冲电压可以分解脉冲电压可以分解为两个阶跃电压之和，为两个阶跃电压之和，即即例例：求脉冲电压：求脉冲电压 在在 电路中产生的电路中产生的响应响应 。 两个阶跃响应分别为两个阶跃响应分别为第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析电路的零状态响应为两个阶跃响应的叠加，即电路的零状态响应为两个阶跃响应的叠加，即第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析10.7 10.7 串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应二阶电路：二阶电路：可用二阶微分方程描述的电路。可用二阶微分方程描述的电路。在在二二阶阶电电路路中中，给给定定的的初初始始条条件件应应有有两两个个，它它们们由由储储能能元元件件的的初初始始值值决决定定。RLC串串联联电电路路是是最典型的二阶电路。最典型的二阶电路。一一 方程和特征根方程和特征根 设各元件电压与电流的参考方向如图所示，换路后由设各元件电压与电流的参考方向如图所示，换路后由KVL得得第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析其中其中代入方程中，得代入方程中，得 二阶常系数线性二阶常系数线性 齐次常微分方程齐次常微分方程 其特征方程为其特征方程为第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析两个特征根为两个特征根为零输入响应为零输入响应为 由初由初 始条件确定始条件确定这里只分析电路的一种初始条件情况，即这里只分析电路的一种初始条件情况，即两两个个特特征征根根仅仅与与电电路路参参数数和和结结构构有有关关，与与激激励无关。励无关。特特征征根根的的不不同同情情况况，响应的形式也随着不同。响应的形式也随着不同。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析特征的三种情况特征的三种情况振荡放电过程振荡放电过程2.2.临界非振荡放电过程临界非振荡放电过程3.3.二二 ，非振荡放电，非振荡放电非振荡放电过程非振荡放电过程1.1. 为为两个不相等的负实根两个不相等的负实根，且，且 。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析方程通解：方程通解：代入初条件得代入初条件得电压为电压为第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析电路响应为电路响应为第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析响应过程响应过程： 电电容容电电压压和和电电流流始始终终不不改改变变方方向向，表表明明电电容容在在整整个个过过渡渡过过程程中中恒恒处处于于放放电电状状态态，其其电电压单调地下降到零。压单调地下降到零。 电电流流的的初初始始值值为为零零，稳稳态态值值也也为为零零，放放电电过过程程中中电电流流必必然然要要经经历历一一次次最最大大值值。电电流流达达最最大大值值的的时时间间发发生生在在电电感感电电压压为零的时刻。为零的时刻。 电电感感电电压压的的初初始始值值为为U0，稳稳态态值值为为零零，在在电电流流达达到到最最大大值值时时，电电感感电电压压为为0。所所以以电电感感电电压压必必有有一一个个负负的的最最大大值值，发发生在生在2tm处。处。电流达到最大值的时间电流达到最大值的时间第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析能量转换情况能量转换情况：在整个过渡过程中，电容一直释放其电场能量。：在整个过渡过程中，电容一直释放其电场能量。 以前，电流增加，电容释放的能量除一部分被电阻消耗外，另以前，电流增加，电容释放的能量除一部分被电阻消耗外，另有一部分转变为电感的磁场能量。有一部分转变为电感的磁场能量。 时电感储能达到最大，时电感储能达到最大，电感电压为零。电感电压为零。 以后，电流减小，电感释放其存储的磁场以后，电流减小，电感释放其存储的磁场能量，电容仍继续放电，直到电场储能和磁场储能全部被电阻能量，电容仍继续放电，直到电场储能和磁场储能全部被电阻所耗尽，放电结束，。所耗尽，放电结束，。 在过渡过程中，电感的能量没有回馈给电容，不存在电场在过渡过程中，电感的能量没有回馈给电容，不存在电场与磁场之间能量往返授受，即不能形成振荡。因此称为非振荡与磁场之间能量往返授受，即不能形成振荡。因此称为非振荡放电放电。放电放电。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析例例：图示电路中：图示电路中, , 时换路。求换路后的时换路。求换路后的 、 及及 。解解：是非振荡放电。是非振荡放电。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析三三 ，振荡放电，振荡放电 为为一对共轭复根一对共轭复根令：令：第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析方程通解：方程通解：代入初始条件代入初始条件得：得：第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析于是，电路响应为：于是，电路响应为：衰减系数衰减系数：越大，衰减越快。越大，衰减越快。自由振荡角频率自由振荡角频率 ：是一个与电路参数有：是一个与电路参数有关与激励无关的量，表明衰减振荡快慢。关与激励无关的量，表明衰减振荡快慢。谐振角频率谐振角频率0：是：是RLC串联电路在正弦激串联电路在正弦激励下的谐振角频率。励下的谐振角频率。第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析 、 都都是是振振幅幅按按指指数数规规律律衰衰减减的的正正弦弦函函数数，这这种种放放电电过过程程称称为为振振荡荡放放电电。在在整整个个过过渡渡过过程程中中，电电压压、电电流流将将周周期期性地改变方向，储能元件也将周期性地交换能量。性地改变方向，储能元件也将周期性地交换能量。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析振荡放电过程振荡放电过程：在：在0tt1 期间，期间，uC 减小，减小，i 增大，电容释放的能量增大，电容释放的能量 除被电除被电阻消耗外，一部分转换磁场能量存储于电感中；阻消耗外，一部分转换磁场能量存储于电感中； 在在 t1tt2 期期间间， uC及及i及及都都在在减减小小，电电容容和和电电感感都都释释放放其其储储能能。此此时时间间内内的的情情况况与与非非振振荡荡放放电电过过程程相相似似。在在 t = t2 时时， uC为为零零，i 的的量量值值不不为为零零,即，此瞬间，电容储能已完全释放，但电感储能尚未放尽；即，此瞬间，电容储能已完全释放，但电感储能尚未放尽； 在在 t2tt3 期期间间， uC反反向向增增大大，i减减小小，电电感感释释放放能能量量，一一部部分分被被电电阻阻所所消消耗耗外外，另另一一部部分分给给电电容容反反向向充充电电。到到 t = t3 时时，i =0，充充电电结结束束，磁磁场场能量已放尽能量已放尽 。能量转换、吸收概况表能量转换、吸收概况表 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析以后电容又开始反方向放电，其过程与上述一样，只不过是因能量已在电阻以后电容又开始反方向放电，其过程与上述一样，只不过是因能量已在电阻中消耗了一部分，总能量较前半周期为小，所以再次放电时，电容的初始电中消耗了一部分，总能量较前半周期为小，所以再次放电时，电容的初始电压要小于压要小于U0 。电容如此往复充电和放电，就形成了振荡放电的物理过程。电容如此往复充电和放电，就形成了振荡放电的物理过程。 这种过程理论上将无限期地进行下去，不过到一定时间以后能量已基本这种过程理论上将无限期地进行下去，不过到一定时间以后能量已基本耗尽，工程上可以认为电路中各电压、电流已衰减到零，电路中的过渡过程耗尽，工程上可以认为电路中各电压、电流已衰减到零，电路中的过渡过程也就算结束了。也就算结束了。能量转换、吸收概况表能量转换、吸收概况表 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析 等幅振荡等幅振荡条件：条件： ，则有，则有等幅振荡放电过程等幅振荡放电过程：电压、电流：电压、电流的振幅不衰减。等幅振荡放电的的振幅不衰减。等幅振荡放电的产生，其产生，其实质实质是由于电容的电场是由于电容的电场储能在放电时转换成电感中的磁储能在放电时转换成电感中的磁场储能，而当电流减小时，电感场储能，而当电流减小时，电感中的磁场储能又反过来向电容充中的磁场储能又反过来向电容充电而转换为电容中的电场储能，电而转换为电容中的电场储能，如此反复而无能量损耗，因而，如此反复而无能量损耗，因而，在电路中就形成了等幅振荡。在电路中就形成了等幅振荡。 第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析解解：，电路为振荡放电情况。，电路为振荡放电情况。例例：RLC串联串联电路中，电容电路中，电容C已充电至已充电至U0=100V=100V，并已知，并已知 C=1F=1F，R =1000=1000，L=1H=1H，求换路后的，求换路后的 、 、 以及以及 。 得：得：第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析所以，响应为所以，响应为当当 ，即，即 时，电流最大为时，电流最大为第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析四四 ，临界放电，临界放电 为两个相等的负实根为两个相等的负实根电容电压、电流为电容电压、电流为代入初始条件代入初始条件第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析于是，电路响应为：于是，电路响应为：响应过程响应过程：电容电压从：电容电压从U0开始保持正值逐渐衰减到零。开始保持正值逐渐衰减到零。 电电流流先先从从零零开开始始，保保持持正正值值，最最后后等等于于零零。电电流流达达最最大大值的时间发生在电感电压等于零处。放电为非振荡的。值的时间发生在电感电压等于零处。放电为非振荡的。 电流达极值的时间：电流达极值的时间：第十章第十章 线性电路过渡过程的时域分析线性电路过渡过程的时域分析振荡放电过程，又称为欠阻尼情况。振荡放电过程，又称为欠阻尼情况。2.2.临界非振荡放电过程，又称为临界阻尼情况。临界非振荡放电过程，又称为临界阻尼情况。3.3.非振荡放电过程，又称为过阻尼情况。非振荡放电过程，又称为过阻尼情况。1.1. 再再 见见 ！