曲线积分习题课曲线积分习题课一、主要内容一、主要内容1. 两类曲线积分的概念两类曲线积分的概念, 两类曲线积分两类曲线积分 的性质及两类曲线积分的关系的性质及两类曲线积分的关系.2. 两类曲线积分的计算方法两类曲线积分的计算方法.3. 格林公式格林公式, 平面曲线积分与路径无关平面曲线积分与路径无关 的条件的条件. 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定三代一定二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)格林公式与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题思路思路闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式第二类曲线积分第二类曲线积分的计算法的计算法 + +LyyxQxyxPd),(d),( - - = =DyxyPxQIdd)(二、二、典型例题典型例题例例. 计算计算其中其中L为双纽线为双纽线解解: 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为利用利用对称性对称性 , 得得例例 计算计算 其中其中L为为 解解圆周圆周: ，方向沿逆时针，方向沿逆时针. 解解解：解：条件极值问题条件极值问题例例分析分析令令如果存在二元函数如果存在二元函数使得使得则必有则必有由此确定由此确定用线积分或不定积分求用线积分或不定积分求解解令两者相等得令两者相等得即即以下用两种方法求以下用两种方法求(1,0) (x,0)法一法一在右半平面内任取一点在右半平面内任取一点作为积分路径的起点作为积分路径的起点,可得可得用曲线积分用曲线积分的一般表达式是的一般表达式是C为任意常数为任意常数.法二法二 用不定积分用不定积分因为因为所以所以另一方面另一方面, 由于由于由此得到由此得到从而从而第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课选选 择题择题BCCCC